高考数学 相似三角形的判定及有关性质课件.ppt

选修4 1几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质 知识梳理 1 平行线等分线段定理 相等 平分 平分 2 平行线分线段成比例定理 1 定理 三条平行线截两条直线 所得的 成比例 2 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段 对应线段 成比例 3 相似三角形的判定及性质 1 相似三角形的判定 定义 对应角 对应边 的两个三角形叫做相似三角形 预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 所构成的三角形与原三角形 相等 成比例 相交 相似 判定 相等 成比例 相等 成比例 相等 成比例 成比例 2 相似三角形的性质 4 直角三角形的射影定理定理 直角三角形斜边上的高是 的比例中项 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 两直角边在斜边上射影 比例中项 小题快练 1 2015 牡丹江模拟 如图 正三角形abc中 d e分别在ac ab上 ae be 则有 a aed bedb aed cbdc aed abdd bad bcd 解析 选b 在正三角形abc中 ae be 在 aed与 cbd中 a c 故 aed cbd 2 2014 广东高考 如图 在平行四边形abcd中 点e在ab上且eb 2ae ac与de交于点f 则 解析 显然 cdf aef 则答案 3 3 2015 长沙模拟 如图 d是 abc中bc边上一点 点e f分别是 abd acd的重心 ef与ad交于点m 则 解析 连接ae af 并延长交bc于g h 因为点e f分别是 abd acd的重心 所以 2 所以ef gh 所以 2 答案 2 4 2015 中山模拟 如图 在梯形abcd中 ad bc bd与ac相交于o 过o的直线分别交ab cd于e f 且ef bc 若ad 12 bc 20 则ef 解析 由题意ad ef bc 则 aod cob 则则则eo 同理fo 20 则ef 15 答案 15 考点1平行线分线段成比例定理 典例1 如图 将一块边长为12的正方形纸abcd的顶点a折叠至边上的点e 使de 5 折痕为pq 求 解题提示 过点m作平行线构造平行线段组 规范解答 如图所示 过m作mn ad交dc于n 所以又因为am me 所以dn ne de 所以nc ne ec 7 因为pd mn qc 所以 规律方法 平行线分线段成比例定理及推论的应用 1 利用平行线分线段成比例定理来计算或证明 首先要观察平行线组 再确定所截直线 进而确定比例线段及比例式 同时注意合比性质 等比性质的运用 2 解决此类问题往往需要作辅助的平行线 要结合条件构造平行线组 再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题 变式训练 如图 ad平分 bac de ac ef bc ab 15cm af 4cm 求be和de的长 解析 如图 因为de ac 所以 3 2 又ad平分 bac 所以 1 2 所以 1 3 即ae ed 因为de ac ef bc 所以四边形edcf是平行四边形 所以ed fc 即ae ed fc 设ae de fc xcm 由ef bc得即解得x1 6 x2 10 舍去 所以de ae 6cm be 15 6 9 cm 加固训练 如图 e f是四边形abcd的对角线ac上的两点 ae cf be df be df ad dc 求证 四边形abcd是菱形 证明 因为df be 所以 dfa bec 因为cf ae ef ef 所以af ce 在 adf和 cbe中 因为df be dfe bef af ec 所以 adf cbe sas 所以ad bc 所以 dac bca 所以ad bc 所以四边形abcd是平行四边形 因为ad dc 所以四边形abcd是菱形 考点2相似三角形的判定与性质 典例2 如图 abc中 bac 90 ad bc交bc于点d 若e是ac的中点 ed的延长线交ab的延长线于f 求证 解题提示 利用 dbf adf rt abd rt cba进行比例式的转化证明 规范解答 因为e是rt adc斜边ac的中点 所以ae ec de 所以 edc ecd 又 edc bdf 所以 edc c bdf 又ad bc且 bac 90 所以 bad c 所以 bad bdf 所以 dbf adf 所以又rt abd rt cba 因此所以 规律方法 证明相似三角形的一般思路 1 先找两对内角对应相等 2 若只有一个角对应相等 再判定这个角的两邻边是否对应成比例 3 若无角对应相等 就要证明三边对应成比例 变式训练 如图 在 abc中 bac 90 ad是bc边上的高 e是bc边上的一个动点 不与b c重合 ef ab eg ac 垂足分别为f g 1 求证 2 fd与dg是否垂直 若垂直 请给出证明 若不垂直 请说明理由 3 当ab ac时 fdg为等腰直角三角形吗 并说明理由 解析 1 在四边形afeg中 因为 fag afe age 90 所以四边形afeg为矩形 所以af eg 根据题意易证 adc egc 所以 2 fd dg 证明过程如下 因为 abc为直角三角形 ad bc 所以 fad c 又由 1 可知 所以 afd cgd 所以 adf cdg 又 cdg adg 90 所以 adf adg 90 即 fdg 90 所以fd dg 3 当ab ac时 fdg是等腰直角三角形 理由如下 因为ab ac bac 90 所以ad dc 又因为 afd cgd 所以 1 fd dg 又 fdg 90 所以 fdg为等腰直角三角形 加固训练 已知 abc中 bf ac于点f ce ab于点e bf和ce相交于点p 求证 1 cpf bpe 2 efp bcp 证明 1 因为bf ac于点f ce ab于点e 所以 bfc ceb 又因为 cpf bpe 所以 cpf bpe 2 由 1 得 cpf bpe 所以又因为 epf bpc 所以 efp bcp 考点3直角三角形中的射影定理 典例3 如图所示 cd垂直平分ab 点e在cd上 df ac dg be f g分别为垂足 求证 af ac bg be 解题提示 利用射影定理表示出ad bd 再利用ad bd证明 规范解答 因为cd垂直平分ab 所以 adc bdc 90 ad db 在rt adc中 因为df ac 所以ad2 af ac 同理bd2 bg be 所以af ac bg be 规律方法 对射影定理的理解和应用 1 利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影 2 要善于将有关比例式进行适当的变形转化 有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式 并且注意射影定理的其他变式 3 注意射影定理与勾股定理的结合应用 变式训练 如图 在 abc中 c 90 bac的平分线ad交bc边于d 求证 证明 过c作ad的垂线 垂足为e ce的延长线交ab于f 则由射影定理得ac2 ae ad 过e作eg bc交ab于g 因为