高考数学一轮复习 9.1 空间几何体的三视图、表面积与体积课件 文 新人教A版.ppt

9 1空间几何体的三视图 表面积与体积 一 简单几何体的结构特征 简单几何体主要是指柱体 锥体 台体 球或几个几何体的组合体 其中棱柱 棱锥是考试的重点 棱柱是有上下两个平行平面 其余各面是相邻交线互相平行的平行四边形的几何体 棱锥是有一个面是多边形 其余各面是有一个公共顶点的三角形的几何体 台体是用平行于底面的平面去截锥体 截 面与底面之间的部分 二 空间几何体的投影 直观图 三视图 1 平行投影的投射线都是互相平行的 中心投影的投射线是由中心一点发出的 2 根据斜二测画法作空间几何体的要点是 与y轴 z轴平行或重合的直线方向不变 长度变为原来的一半 而与x轴平行或重合的直线方向 长度都不变 3 三视图是几何体的正 主 视图 侧 左 视图和俯视图的统称 三视图之间的规律是 正俯长对正 正侧高平齐 俯侧宽相等 三视图的摆放为正侧视图水平对齐 正俯视图竖直对齐 画三视图时要注意线的实 虚分明 三 简单几何体的表面积 或全面积 和体积 1 设圆柱的底面半径为r 母线长 即高为h 为l 则其侧面积为s侧面积 2 rl 全面积为s全 2 rl 2 r2 体积为v r2l 2 如果圆锥的底面半径为r 母线长为l 高为h 则其侧面积为s侧面积 rl 全面积为s全 rl r2 体积为v r2h 3 如果圆台的底面半径分别为r r 母线长为l 高为h则其侧面积为s侧面积 r r l 全面积为s全 r r l r2 r2 体积为v r2 rr r2 h 4 棱柱 棱锥 棱台的体积公式分别为v sh v sh v h s s 5 设r为球半径 则球的表面积公式为s 4 r2 体积为v r3 说明 对柱体 锥体 台体而言 表面积包括底面积和侧面积 对每个计算公式的理解和应用应与它们的侧面展开图统 一起来 关于体积 柱体是底面积乘高 锥体是底面积乘高还要乘以三分之一 关于球的表面积和体积的问题关键是在于对球半径的求解 1 如图所示 一个空间几何体的正 主 视图和侧 左 视图都是边长为2的正方形 俯视图是一个直径为2的圆 则这个几何体的全面积为 a 2 b 4 c 6 d 8 答案 c 解析 由三视图知该空间几何体为圆柱 所以其全面积为 12 2 2 1 2 6 2 某几何体的俯视图是长为8 宽为6的矩形 正 主 视图是一个底边长为8 高为5的等腰三角形 侧 左 视图是一个底边长为6 高为5的等腰三角形 则该几何体的体积为 a 24 b 80 c 64 d 240 解析 由题可知 该几何体为四棱锥 其底面是长为8 宽为6的矩形 棱锥的高为5 所以v 8 6 5 80 答案 b 3 若一个底面是正三角形的三棱柱的正 主 视图如图所示 则其表面积等于 解析 由正 主 视图可知此三棱柱的底面是一个边长为2的正三角形 且此三棱柱的高为1 所以三棱柱的两个底面积和为2 4 2 侧面积为3 2 1 6 所以其表面积为6 2 答案 6 2 题型1几何体的侧面展开图 例1如图 在侧棱长为2的正三棱锥v abc中 avb bvc cva 40 过点a作截面aef分别交vb vc于点e f 求截面 aef周长的最小值 用化曲为直的方法转化为平面问题来处理 这里我们可以将该棱锥体沿某条相关的棱剪开并平铺 分析 一般来讲 求截面的周长或有关线段的长 都必须利 解析 将正三棱锥v abc沿侧棱va剪开 使其侧面展开图平铺在一个平面上 如图 则ae ef fa ae ef fa1 因为ae ef fa1 aa1 线段aa1 即a e f a1四点共线时 的长即为 所求 aef周长的最小值 作vd aa1 垂足为d 由va va1 知d为aa1的中点 由已知 avb bvc cva1 40 得 avd 60 在rt avd中 ad vasin60 2 3 即aa1 2ad 6 所以截面 aef周长的最小值为6 点评 求有关几何体表面上两点间的最小距离 1 将几何体沿着某棱剪开 画出其侧面展开图 2 将所求曲线问题转化为平面上的线段问题 3 结合已知条件求得结果 变式训练1已知在直三棱柱abc a1b1c1中 底面为直角三角形 acb 90 ac 6 bc cc1 p是bc1上一动点 如图所示 则cp pa1的最小值为 解析 pa1在平面a1bc1内 pc在平面bcc1内 将其铺平后转化为平面上的问题解决 计算a1b ab1 bc1 2 又a1c1 6 故 a1bc1是 a1c1b 90 的直角三角形 铺平平面a1bc1 平面bcc1 如图所示 cp pa1 a1c 在 a1c1c中 由余弦定理得 a1c 5 故 cp pa1 min 5 答案 5 题型2三视图与直观图 例2已知正三棱锥v abc的正 主 视图 俯视图如图所示 其中va 4 ac 2 求该三棱锥的表面积 分析 根据正 主 视图 俯视图画出直观图 利用相关数据先求出直观图中的斜高 再求表面积 解析 由正 主 视图 俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示 由题可知 va vb vc 4 ab bc ac 2 取bc的中点d 连接vd 则vd bc 有vd 则s vbc vd bc 2 s abc 2 2 3 所以正三棱锥v abc的表面积为 3s vbc s abc 3 3 3 点评 把几何体的表面积与体积的计算与三视图结合起来进行考查是高考的一个热点 解决此类问题的关键是正确地观察三视图 把它还原为直观图 特别要注意从三视图中得到正确的几何体的相关量 如本题的正 主 视图中ab的长度并不等于2 其视图实际上是直观图中ad 而俯视图中的ab长度才等于2 否则 计算就会出现问题 变式训练2如图所示 在下列几何体各自的三视图中 有且仅有两个视图相同的是 a b c d 形 三角形和圆 三棱台的正 主 视图 侧 左 视图 俯视图都不相同 正四棱锥的正 主 视图 侧 左 视图 俯视图依次为三角形 三角形 正方形 答案 d 解析 正方体的正 主 视图 侧 左 视图 俯视图都是正方形 圆锥的正 主 视图 侧 左 视图 俯视图依次是三角 题型3几何体的表面积或体积 例3 如图所示的三棱锥o abc为长方体的一角 其中oa ob oc两两垂直 三个侧面oab oac obc的面积分别为1 5cm2 1cm2 3cm2 求三棱锥o abc的体积 分析 根据几何体的结构特点 本小题可采用等体积法 从a b c中任取一点为三棱锥的顶点 另外三点所在的平面为底面求体积 解析 设oa ob oc的长依次为xcm ycm zcm 则由已知可得 xy 1 5 xz 1 yz 3 解得x 1 y 3 z 2 显然三棱锥o abc的底面积和高是不易求出的 于是我们不妨转换视角 将三棱锥o abc看成以c为顶点 oab为底面 易知oc为三棱锥c oab的高 于是vo abc vc oab s oab oc 1 5 2 1 cm3 点评 等体积变换法 从不同的角度看待原几何体 通过改变顶点和底面 利用体积不变的原理 来求原几何体的体积 变式训练3一等边圆锥 轴截面为正三角形 内接于一球 若圆锥底面半径为r 求该球的体积和表面积 解析 如图 设圆锥的轴截面截球面为大圆o s为圆锥的顶点 sc为轴 又设球半径为r sc的延长线交大圆o于m 由 mca acs 得 即ac2 sc cm 由ac r 则sc r cm 2r r 故r2 r 2r r 所以r r 由球的体积公式和表面积公式 得v r3 r3 s 4 r2 r2 1 需要明确几何体的结构特征与其侧面展开图之间的统一性 对求侧面积和求线段长的最值有着必然的联系 所以对一些常见的几何体的侧面展开图应该熟悉 2 把握好三视图与直观图之间的转化 学会读图绘图 熟悉三视图的规则和斜二测画法规则 3 对于几何体的表面积和体积的计算 一是公式不能用错 二是计算一定要仔细 因为这类题型本身考查的就是计算能力 例 如图所示 在下列条件中 能推断该几何体是三棱台的是 a1b1 2 ab 3 b1c1 3 bc 4 a1b1 1 ab 2 b1c1 1 5 bc 3 a1c1 2 ac 3 a1b1 1 ab 2 b1c1 1 5 bc 3 a1c1 2 ac 4 a1b1 ab b1c1 bc a1c1 ac 错解 因为台体是由锥体用平行于底面的平面所截而得到的 所以要使这个几何体为台体 只需a1b1 ab b1c1 bc a1c1 ac 由所给条件知 满足 故填 几何体是否为台体 必须紧扣台体的两个基本特征 一是由锥体截得 二是截面与锥体的底面平行 这就要求对应边的比值相等且不为1 正解 因为台体是由锥体用平行于底面的平面所截而得到的 所以要使这个几何体为台体 只需a1b1 ab b1c1 bc a1c1 ac 且对应边的比值相等但不为1 故正确答案为 答案 剖析 本题的错因在于对概念的内涵把握不准 判断一个 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 1 基础再现 若一个正棱锥的底面边长与侧棱长相等 则这个棱锥一定不是 a 三棱锥 b 四棱锥 c 五棱锥 d 六棱锥 解析 因为正六边形的边长等于其外接圆的半径 而如果侧棱长等于底面边长的话 则其侧棱与底面半径相等 所以这个棱锥一定不是正六棱锥 答案 d 2 基础再现 一个几何体的三视图如图所示 则这个几何体的表面积为 a 72 b 66 c 60 d 30 解析 由三视图可知 几何体是一个底面边长分别为3 4的直角三角形 高为5的三棱柱 且每个侧面都是矩形 故其表面积s 2 3 4 3 5 4 5 5 5 72 答案 a 3 基础再现 已知水平放置的 abc是按 斜二测画法 得到如右图所示的直观图 其中b o c o 1 a o 那么原 abc是一个 a 等边三角形 b 直角三角形 c 三边中只有两边相等的等腰三角形 d 三边互不相等的三角形 解析 依斜二测画法的规则可得 bc b c 2 ao 2a o 2 易知原 abc为等边三角形 答案 a 4 视角拓展 一个圆锥和一个半球有公共底面 如果圆锥的体积和半球的体积相等 则它的母线与轴所成角正弦值为 a b c d 答案 c 解析 设圆锥底面半径为r 母线为l 轴长为h 则依题得 r3 r2h 即h 2r 所以母线l r 故母线与轴所成角正弦值为 5 高度提升 一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体 余下的几何体的三视图如图 则该圆锥的体积为 a b c 3 d 解析 该几何体的直观图如图所示 由正 主 视图得pb 由侧 左 视图得bc 由俯视图得ob 1 由勾股定理算得oc op 2 所以该圆锥的体积v 22 2 答案 b 6 基础再现 由若干个小正方体组成的几何图形的三视图如下图所示 则组成这个组合体的小正方体的个数是 答案 5个 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 7 视角拓展 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2 这个球的表面积为12 则这个正四棱柱的体积为 解析 因为正四棱柱的体对角线长等于球的直径 易知r 设底边长为x 则 2 2 2x2 22 可得底面边长等于2 所以体积等于8 答案 8 8 视角拓展 圆柱的侧面展开图是边长为6 和4 的矩形 则圆柱的表面积为 解析 分两种情况 即底面圆的周长可以为6 和4 答案 24 2 8 或24 2 18 9 高度提升 某几何体的一条棱长为 在该几何体的正 主 视图中 这条棱的投影是长为的线段 在该几何体的侧 左 视图与俯视图中 这条棱的投影长分别是a和b 则a b的最大值是 解析 如图 在空间直角坐标系o xyz中 棱pc的正 主 视图为pd pc在面xoz上的投影为pb 俯视图为oc 则 pc pd pb a oc b 设ob x od y op z 则 上式相加得a2 b2 2 2 x2 y2 z2 2 2 a2 b2 8 由 得a b 4 答案 4 10 视角拓展 已知正方体ac1的棱长为a e f分别为棱aa1与cc1的中点 求四棱锥a1 ebfd1的体积 解析 因为eb bf fd1 d1e a 所以四棱锥a1 ebfd1的底面是菱形 连接ef 则 efb efd1 由于三棱锥a1 efb与三棱锥a1 efd1等底同高 三 解答题 本大题共3小题 每小题14分 所以 2 2 2 a a3 11 高度提升 如图 将半径为72cm的扇形oab剪去小扇形ocd 余下的扇环abcd的面积为648 cm2 围成一个圆台 圆台的下底与上底半径之差是6cm 求圆台的高 解析 设圆台的上下底半径 母线长分别为r r l 其轴截面如图所示 解得r 6 r 12 l 36 设圆台高为h h 6cm 根据题意 12 能力综合 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形 正 主 视图是一个底边长为8 高为4的等腰三角形 侧 左 视图