高考数学一轮复习 3.4 数列求和与递推数列课件 文 新人教A版.ppt

3 4数列求和与递推数列 3 已知an an 1 f n n 2 且 f n 成等差 比 数列 则求an可用累加法 4 已知 f n n 2 求an用累乘法 5 已知数列 an 的递推关系 研究an与an 1的关系式的特点 可 1 已知数列 an 的前n项和sn 则an 2 已知数列 an 前n项之积tn 一般可求tn 1 则an 以通过变形构造 得出新数列 f an 为等差或等比数列 6 已知an与sn的关系 利用an sn sn 1 n 2 转化为只含an或sn的递推关系 再利用上述方法求出an 二 数列求和 1 基本公式法 1 等差数列求和公式 sn na1 d 2 等比数列求和公式 sn 2 错位相减法 对于求一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和 常用错位相减法 如 an bn cn 其中 bn 是等差数列 cn 是等比数列 记sn b1c1 b2c2 bn 1cn 1 bncn 则qsn b1c2 bn 1cn bncn 1 两式相减整理即得 3 分组求和 把一个数列分成几个可以直接求和的数列 然后利用公式法求和 4 拆项 裂项 求和 把一个数列的通项公式分成两项差的形式 相加过程中消去 中间项 只剩下有限项再求和 常见的拆项公式有 1 若 an 是公差为d的等差数列 则 2 3 4 5 6 an 5 倒序相加法 根据有些数列的特点 将其倒写后与原数列相加 以达到求和的目的 6 并项求和 把数列的某些项放在一起先求和 然后再求sn 7 其他求和法 如 归纳猜想法 奇偶法等 数列求和的方法多种多样 要视具体情形选用合适的方法 1 数列 an 的通项an 则数列的前10项和等于 a b c d 解析 an 所以前10项和s 1 答案 c 2 已知数列 an 中 a1 1 an 1an an 1 n n n 则的值为 a b c d 解析 由已知得a2 1 1 2 a3 1 a4 1 2 3 a5 1 故 答案 d 3 若数列 an 的通项公式为an 2n 2n 1 则数列 an 的前n项和等于 a 2n n2 1 b 2n n2 2 c 2n 1 n2 1 d 2n 1 n2 2 解析 由分组求和法可知sn 21 2 1 1 22 2 2 1 2n 2 n 1 21 22 2n 2 1 2 n n 2 n 2n 1 n2 2 答案 d 题型1裂项求和与拆项分组求和 例1 1 数列 的前n项和sn等于 a b c 1 d 1 2 已知数列1 1 4 7 3n 2 的前n项和sn 当a 1时 sn 分析 1 an 2 从通项公式入手 分析通项an 3n 2 可知它是由一个等比数列 与一个等差数列 3n 2 组成的 所以可将其转化为一个等比数列与一个等差数列的求和问题 解析 1 因为an 所以sn 1 1 2 因为an 3n 2 所以 sn 1 1 4 7 3n 2 1 1 4 7 3n 2 记tn 1 因为a 1 则tn 而1 4 7 3n 2 所以sn 答案 1 c 2 使用裂项法求和 要注意正 负相消时 消去了哪些项 保留了哪些项 所剩正数项与负数项的项数一样多 切不可漏写未被消去的项 未被消去的项有前后对称的特点 实质上 正 负相消是此法的目的 2 拆项是一种行之有效的求和手段 当数列不能直接求和时 仔细观察式子的结构 看可不可以转化为等差 等比数列求和 或等差 等比数列和的形式 然后分组直接应用等差数列 等比数列求和公式求和 点评 1 裂项法求和的关键是将通项化为两项的差 但是 变式训练1 1 数列5 55 555 的前n项和等于 a 10n 1 b 10n 1 n c d 2 数列 an 的通项公式an n n 若前n项和为sn 则sn 解析 1 an 10n 1 10n sn 10 102 103 10n n n 2 an an sn 1 1 1 答案 1 c 2 1 例2已知数列 an 是等差数列 a2 6 a5 18 数列 bn 的前n项和是tn 且tn bn 1 1 求数列 an 的通项公式 2 求证 数列 bn 是等比数列 3 记cn an bn 求 cn 的前n项和sn 题型2错位相减法与倒序相加法求和 用和tn与项bn的关系与等比数列的定义即可证明数列 bn 是等比数列 由cn an bn 可知cn的通项公式是由一个等差数列和等比数列的积组成 选用错位相减法求数列 cn 的和 解析 1 设 an 的公差为d 则 a2 a1 d a5 a1 4d a2 6 a5 18 a1 2 d 4 an 2 4 n 1 4n 2 分析 利用等差数列的性质求等差数列的通项公式 并利 2 当n 1时 b1 t1 由t1 b1 1 得b1 当n 2时 tn 1 bn tn 1 1 bn 1 tn tn 1 bn 1 bn 即bn bn 1 bn bn bn 1 bn 是以为首项 为公比的等比数列 3 由 2 可知 bn n 1 2 n cn an bn 4n 2 2 n 4 2n 1 n sn 4 12 2 8n 12 n 1 8n 4 n sn 4 2 12 3 8n 12 n 8n 4 n 1 sn sn sn 4 8 2 8 3 8 n 8n 4 n 1 8 8n 4 n 1 4 n 8n 4 n 1 sn 4 4 n 1 n 式是由这种形式构成的可用这种方法 点评 错位相减法实质上是将数列转化为特殊的等比数列 若数列的每一项都可视为由两部分组成 其中第一个因数部分形成等差数列 第二个因数部分形成等比数列 当通项公 变式训练2已知等差数列 an 的前n项和为sn a3 3且s5 2a1 17 等比数列 bn 中 b1 a2 b2s3 6 1 求an和bn 2 设cn an 1bn 设tn c1 c2 cn 求tn 解析 1 a3 3 s5 5a3 15 s5 2a1 17 a1 1 即公差d 2 an 2n 3 b1 a2 1 b2s3 3b2 6 b2 2 公比q 2 bn 2n 1 2 cn an 1bn 2n 1 2n 1 tn 1 3 2 5 22 2n 1 2n 1 2tn 2 3 22 5 23 2n 1 2n 得 tn 1 2 2 2 22 2 2n 1 2n 1 2n 2 2 2 2 22 2 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1 3 2n 2n 3 tn 2n 3 2n 3 例3已知lgx lgy 1 且sn lgxn lg xn 1y lg xn 2y2 lg xyn 1 lgyn 求sn 分析 结合对数的性质和条件 可考虑倒序相加法 解析 因为lgx lgy 1 所以lg xy 1 sn lgxn lg xn 1y lg xn 2y2 lg xyn 1 lgyn sn lgyn lg yn 1x lg yn 2x2 lg yxn 1 lgxn 两式相加得 2sn lgxn lgyn lg xn 1y lg xyn 1 lgyn lgxn lg xn yn lg xn 1y xyn 1 lg yn xn n n2lg xy n2 所以sn 列 即距首 末两端等距离的两项之和相等的形式 点评 倒序相加法主要适用于前后具有 对称性 的数 变式训练3数列 an 满足a1 1 an 1 n n 1 证明 数列 是等差数列 2 求数列 an 的通项公式an 3 设bn n n 1 an 求数列 bn 的前n项和sn 数列 是公差为1的等差数列 2 由 1 知 n 1 1 n 1 an 3 由 2 知bn n 2n sn 1 2 2 22 3 23 n 2n 解析 1 由已知可得 即 1 即 1 n 2n 1 2n 1 2 n 2n 1 sn n 1 2n 1 2 2sn 1 22 2 23 n 1 2n n 2n 1 相减得 sn 2 22 23 2n n 2n 1 例4 1 已知数列 an 满足a1 22 an 1 an 2n 则数列 an 的通项公式为 的最小值为 2 已知sn为数列 an 的前n项和 a1 1 sn n2 an 数列 an 的通项公式an 分析 1 已知a1且an an 1 f n 用 累加法 求出an a1 f 2 f 3 f n 1 f n n 2 但要注意对n 1时进行验证 题型3利用累加法 累乘法求通项 2 由已知可以变形为 f n 用 累乘法 求出an a1 但要注意对n 1时进行验证 解析 1 an 1 an 2n n n 当n 2时 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 22 2 1 2 2 2 n 1 22 2 n2 n 22 当n 1时 符合上式 an n2 n 22 n 1 由函数的知识可知 n 4时 当n 5时 显然知 可知的最小值是 2 a1 1 sn n2 an 当n 2时 sn 1 n 1 2 an 1 an sn sn 1 n2an n 1 2an 1 可得 an a1 1 当n 1时 显然成立 答案 1 an n2 n 22 2 点评 累加法与累乘法其实在等差数列与等比数列通项公式的推导过程中都有体现 一定要领会公式内在的本质要求 不要出现把变量当成常量的错误 变式训练4已知函数f x 则f 0 f 1 若sk 1 f f f f k 2 k z 则sk 1 用含有k的代数式表示 解析 由已知 f 0 f 1 1 f f 1 又 sk 1 f f f f sk 1 f f f f 2sk 1 f f 1 f f 1 f 1 f k 1 1 k 1 sk 1 答案 1 题型4转化为等差数列 等比数列求通项 例5 1 已知数列 an 满足a1 2 且an 1an an 1 2an 0 n n 则a2 数列 an 的通项公式an 2 在数列 an 中 若a1 1 an 1 2an 3 n 1 则该数列的通项an 分析 1 由an 1an an 1 2an 0 两边同时除以an 1an 可得2 1 又可化为 1 1 转化为等比数列求通项公式 2 an 1 2an 3可化为an 1 3 2 an 3 转化为等比数列求通项公式 解析 1 由递推公式an 1an an 1 2an 0 且a1 2 可得a2 an 1an an 1 2an 0 两边同时除以an 1an 可得2 1 即 1 1 是以 为首项 以为公比的等比数列 1 n 1 整理得 an 2 由an 1 2an 3可化为an 1 3 2 an 3 是以4为首项 2为公比的等比数列 an 3 4 2n 1 an 4 2n 1 3 2n 1 3 答案 1 2 2n 1 3 各项 其通项公式可以用累加法 累乘法 还可采用换元思想转化成等差数列或等比数列进一步求得 点评 已知数列的首项和递推公式 可直接写出数列中的 变式训练5 1 对于数列 an 定义数列 an 1 an 为数列 an 的 差数列 若a1 2 an 的 差数列 的通项为2n 则数列 an 的前n项和sn 2 设 an 是首项为1的正项数列 且 n 1 n an 1an 0 n n 则数列的通项an 2n 1 2n 2 22 2 2 2 2n 2 2 2n sn 2n 1 2 解析 1 an 1 an 2n an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 即 将这n 1个式子相乘得 an n 2 显然n 1时也成立 综上可知 an 答案 1 2n 1 2 2 2 由 n 1 n an 1an 0可得 an 1 an an 1 an 0 又 an 是首项为1的正项数列 an 1 an 0 an 1 an 1 直接用公式求和时 一定要注意公式的应用范围和公式的推导过程 2 求数列前n项和的方法主要是变换通项 即对通项公式进行一些有目的的处理 转化为等差 等比数列的求和 4 已知数列的递推公式求数列的通项公式 一般是将已知递推关系用代数法 累加法 累乘法 换元法等转化成基本数列 即等差数列或等比数列 的方法求通项 3 求一般数列的前n项和无通法可循 要掌握某些特殊数列 等差数列 等比数列等 前n项和的求法 学会举一反三 触类旁通 例已知数列 an 是等差数列 且a1 2 a1 a2 a3 12 1 求数列 an 的通项公式 2 令bn anxn x r 求数列 bn 的前n项和 错解 1 设等差数列 an 的公差为d 则a1 a2 a3 3a1 3d 12 又a1 2 所以d 2 所以an 2 n 1 2 2n 2 令sn b1 b2 b3 bn 则由bn anxn 得 sn 2x 4x2 6x3 2 n 1 xn 1 2nxn xsn 2x2 4x3 6x4 2 n 1 xn 2nxn 1 由 得 1 x sn 2 x x2 x3 x4 xn 2nxn 1 2 2nxn 1 所以sn 剖析 上述 2 的解答 在 式中使用等比数列的求和公式时 没有考虑公比x 1的情形 另外 当x 0时 sn是显然的 因此 正确解答要分x 0 x 1与x 0 1三种情况 正解 1 设等差数列 an 的公差为d 则a1 a2 a3 3a1 3d 12 又a1 2 所以d 2 所以an 2 n 1 2 2n 2 令sn b1 b2 b3 bn 则由bn anxn 得 sn 2x 4x2 6x3 2 n 1 xn 1 2nxn 当x 0时 sn 0 当x 1时 sn 2 4 6 2 n 1 2n n2 n 当x 0 1时 xsn 2x2 4x3 6x4 2 n 1 xn 2nxn 1 由 得 1 x sn 2 x x2 x3 x4 xn 2nxn 1 2 2nxn 1 得sn 综上所述 sn 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 1 基础再现 等差数列 an 中 a2 a3 6 则前4项和s4等于 a 6 b 8 c 10 d 12 解析 s4 12 答案 d 2 基础再现 设f n 2 24 27 23n 1 n n 则f n 等于 a b c d 答案 b 解析 由题意发现 f n 是一个以2为首项 公比q 23 8 项数为n 1的等比数列的和 由公式可得f n 3 视角拓展 设sn是等差数列 an 的前n项和 s7 3 a3 a7 则的值为 a b c d 解析 由题知7a4 6a5 答案 a 4 视角拓展 已知等差数列有27项 所有的偶数项之和为170 所有的奇数之和为100 则这个等差数列的中间项为 a 4 b 6 c 8 d 10 解析 设所有奇数项之和为s奇 所有偶数项之和为s偶 则s奇 100 s偶 170 所以s27 s奇 s偶 27a14 270 解得a14 10 这个等差数列的中间项为10 答案 d 5 高度提升 已知等差数列 an 的公差d 0 且a3a5 a3a7 a5a9 a7a9 0 则当前n项和sn取得最大值时 n为 a 5 b 6 c 5或6 d 6或7 答案 c 解析 因为a3a5 a3a7 a5a9 a7a9 a5 a7 a3 a5 a7 a9 a5 a7 a3 a9 0 又因为a5 a7 2a6 a3 a9 所以a6 0 因为d0 a7 0 所以当n 5或6时 sn取得最大值 6 视角拓展 已知数列 an 为等比数列 且a3 a5 2a4 设等差数列 bn 的前n项和为sn 若b4 a4 则s7 解析 因为a3 a5 2a4 所以 2a4 所以a4 2 所以b4 a4 2 所以s7 7a4 14 答案 14 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 7 高度提升 如图满足 1 第n行首尾两数均为n 2 图中的递推关系类似杨辉三角 则第n n 2 行的第2个数是 an a2 2 3 n 1 n 2 an 2 答案 解析 设第n n 2 行的第2个数构成数列 an 则a3 a2 2 a4 a3 3 a5 a4 4 an an 1 n 1 相加得 8 高度提升 设数列 an 是以2为首项 1为公差的等差数列 bn 是以1为首项 2为公比的等比数列 则 解析 an 2 n 1 1 n 1 bn 2n 1 bn 1 2n 1 1 所以 20 1 21 1 22 1 29 1 1 2 22 29 10 10 1033 答案 1033 9 能力综合 已知函数f x x2 bx的图像在点a 1 f 1 处的切线的斜率为3 数列 的前n项和为sn 则s2013的值为 解析 f x 2x b f 1 2 b 3 b 1 f x x2