概率论与数理统计练习册.doc

概率论与数理统计练习册复习题和自测题解答第一章复习题1、 一个工人生产了n个零件，以事件表示他生产的第i个零件是正品（i1，2，3，n），用表示下列事件：（1） 没有一个零件是次品；（2） 至少有一个零件是次品；（3） 仅仅只有一个零件是次品；（4） 至少有两个零件是次品。解：1）2）3）4）2、任意两个正整数，求它们的和为偶数的概率。解： 3、从数1，2，3，n中任意取两数，求所取两数之和为偶数的概率。解：第i次取到奇数（i1，2）；A两次的和为偶数 当n为奇数时：当n为偶数时：4、在正方形中任意取一点，求使方程有两个实根的概率。XY解： 5、盒中放有5个乒乓球，其中4个是新的，第一次比赛时从盒中任意取2个球去用，比赛后放回盒中，第二次比赛时再从盒中任意取2个球，求第二次比赛时取出的2个球都是新球的概率。解：第一次比赛时拿到i只新球（i1，2） B第二次比赛时拿到2只新球1）6、两台机床加工同样的零件，第一台加工的零件比第二台多一倍，而它们生产的废品率分别为0.03与0.02，现把加工出来的零件放在一起（1）求从中任意取一件而得到合格品的概率；（2）如果任意取一件得到的是废品，求它是第一台机床所加工的概率。解：从第i台机床加工的零件中取（i1，2） B取一件合格品1）2）7、已知某种产品的正品率是0.9，现使用一种检验方法，这种方法认正品为合格品的概率是0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求用这种方法检验为合格的一件产品确是正品的概率。解：A产品是合格品；B产品被认为是合格品 8、假设患肺癌的人中吸烟的占90，不患肺癌的人中吸烟的占60，假设患肺癌率为0.5，求不吸烟的得肺癌的概率。解：A患上肺癌；B吸烟者 9、某型号的高射炮，每门命中敌机的概率为0.4，现若干门炮同时射击，欲以99的把握击中敌机，问至少要配置几门高射炮？解：由解得10、一居民区间有6部户用电话，平均每小时每用户用6分钟，而且各用户是否用电话是相互独立的。求（1）刚好有2户用电话的概率；（2）至少有2户用电话的概率；（3）最多有2户用电话的概率。解：A用户使用电话 1） 2）3）第一章 自测题1、 设在一次实验中，事件A发生的概率为p，现进行n次独立重复试验，则A至少发生一次的概率是多少？事件A至多发生一次的概率是多少？解：2、三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。现随机地取一箱，再从这个箱子中取出一球，求这个球为白球的概率。若已知取出的一球为白球，此球属于第二个箱子的概率是多少？解：从第i个箱子里取球；B取到白球 3、设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，则事件A在一次实验中出现的概率为多少？解： 4、设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解：有i件不合格品 5、设工厂A和工厂B的次品率分别为1和2，现从由A和B的产品分别占60%he 40%的一批产品中随机地抽取一件，发现是次品，则该次品属于A生产的概率是多少？解：A从A厂中取；B从B厂中取；C取到次品 6、假设一批产品中一、二、三等品各占60，30，10，从中任意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率是多少？解：取到i等品（i1，2，3） 7、设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P（A）。解：由得到8、一射手对同一目标独立的进行4次射击，若至少命中一次的概率为80/81，求该射手的命中率。解：设命中率为p，则有9、设有来自三个地区的各10名，15名，和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份，7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽取两份。（1）求先抽到的一份是女生表的概率；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。解：取第i个地区；（i1，2）；B第i份取到女生的报名表（i1，2，3） 1） 2）10、设A、B、C两两独立，证明A、B、C相互独立的充要条件是A与BC独立。证明：11、一实习生用一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i个零件不合格的概率为，（i=1，2，3），以X表示3个零件中合格品的个数，求P（X2）.解：第i个零件合格 12、甲袋中有2个白球1个黑球，乙袋中有1个白球2个黑球，从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋任取1球放入甲袋，求甲袋中仍是2个白球1个黑球的概率。解：A从甲袋中取白球；B从乙袋中取白球 13、1架长机和2架僚机一同飞往某目的地进行轰炸，但要到达目的地非有无限电导航不可，而只有长机具有此项设备。一旦到达目的地，各机将独立进行轰炸，且轰炸目标的概率均为0.3。在到达目的地之前，必须经过高射炮阵地上空，此时任一飞机被击落的概率为0.2，求目标被炸毁的概率。解：A长机到达目的地；有i台僚机到达目的地（i0，1，2） C目标被击毁 而 （i0，1，2） 第二章复习题1、 设随机变量相互独立且密度函数相同，均为Y表示中取值大于的随机变量的个数，求。解： 2、向区间内随机投掷10个点，求区间（0.6，0.8）内至少有一个点的概率。解：第i个落点的坐标；Y落在指定区间的点的个数 U（0，1）；Yb（10，0.2） 3、设，且二次方程无实根的概率为0.5，求。解：4、在电源电压不超过200伏、200240伏、超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001、0.2，假设电源电压，求1）、该元件损坏的概率；2）、该电子元件损坏时，电源电压在220240伏的概率解： 1）A元件被损坏2）5、假设一长家生产的每台仪器以概率0.70可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定位不合格不能出厂。现该长生产了台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰有两件不能出厂的概率；（3）其中至少有两件不能出厂的概率。解：A产品为合格品；B经调试后为合格品；C产品可以出厂 X可以出厂的产品数量1）2）3） 6、某地抽样结果表明，考生的外语成绩X（百分制）近似服从正态分布，96分以上占考生总数的2.3，求考生的外语成绩在60分到84分之间的概率。解： 7、设随机变量X的概率密度为f(x)，求下列随机变量Y的概率密度：1）解：1） 当y0时 2） 3）当时 当y0时 8、假设随机变量X在(1,2)上服从记均匀分布，试求随机变量的概率密度。解：， 当时 当时 当时 9、假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明在区间(1,2),内服从均匀分布。解：, 即证10、设随机变量X的概率密度为，求随机变量的分布函数。解：25第三章复习题一、 设Y服从参数为的指数分布，令 求1）的联合分布；2）在下的条件分布。解：1)、 2)、二 设某班车起点站上客人数X服从参数为的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为p（0p1）且中途下车与否相互对立。以Y表示在中途下车的人数，求1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；2）二维随机变量的联合概率分布。解：1）、（0mn）2）、三、设随机变量X，Y的联合分布是正方形上的均匀分布，试求的概率密度。解：四、设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为p（0p1）的01分布，定义，1）求Z的分布率；2）求X与Z的联合分布率；3）p为何值时，X与Z相互独立。解：；1）、2）、3）、由相互独立的定义得：所以解得五、设的联合密度为求X与Y中至少有一个小于1/2的概率。解：六、一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知X,Y的联合分布函数为1）问X、Y是否独立？2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率。解：1）由得两者相互独立2）七、已知随机变量和的概率分布为 而且，求1）的联合分布率；2）问是否对立？解：1）， （类似可以得到其它的概率分布） x1-101001002) 所以不相互独立八、设随机变量相互对立，且具有相同的分布率：，求行列式的概率分布。解： 九、设随机变量X，Y相互独立，且都服从几何分布：，求的分布率。解： 十、设二维随机变量在矩形区域上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度。解： 第三章 自测题三、计算题1、传送15个信号，每个信号在传递过程中失真的概率为0.06，每个信号是否失真相互独立，试求1）恰有一个信号失真的概率；2）至少有两个信号失真的概率。解：记X为15个信号中传递失真的个数，则XB（15，0.06）1）2）、2、某种型号晶体管的寿命X的概率密度为一台设备中装有此种晶体管3个，求在使用最初1500小时内1） 没有晶体管损坏的概率；2） 至少有一个晶体管损坏的概率P（假设晶体管损坏与否相互独立）。解：记X为没有损坏的晶体管的个数，Xb(3,)1)2)3、测量误差X服从,必须要测量多少次才能使至少有一次误差不超过10m的概率大于0.9解：设测量次数为n，由题意有4、一信息同时经过三条信道独立的自A传输到B，假定这三条信道的传输时间都是随机变量，其概率密度分别为，求信息最先到达B的时间的概率密度解：记，5、将n个球随机的放入标有1，2n的n个盒子中去，每个盒子撞球的个数不限，设有球的盒子的最大标号为X，求X的分布率解：样本空间的样本点个数：事件所含的样本点个数：，即n个球放到k个盒子中的样本点个数除掉n个球放到k-1个盒子中的样本点个数。6、已知随机变量X的分布函数单调连续，求的概率密度解：7、随机变量X与Y相互独立，其中X的概率分布为，而Y的概率密度为，求随机变量UX+Y的概率密度解：第四章 复习题1、设X的密度函数为，不作积分计算出DX解：由 2、 独立的抛n次硬币，用Y表示正面出现的次数，X表示反面出现的次数，求X与Y的相关系数解：3、 在长为a的线段上任意取两点长度的数学期望。解：设 4、 将n只球（1n号）随机地放进n只盒子（1n号）中去，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为总的配对数，求EX。解： 表示所有配对的个数 5、设X为随机变量，C是常数，证明，对于。解：6、 设有密度函数，求。解：记 7、 自动生产线在调整正常情况下生产出废品的概率为p，在出现一个废品后立即进行调整，求在第一次调整后第二次调整前所生产的平均产品数。解：设第一次调整后与第二次调整前生产的产品数为X，则：8、 已知协方差矩阵为，求与的相关系数。解： 9、 设X的密度函数仅当时非零，证明。证明： 10、 已知，令，求，。解：由已知 11、 设X与Y独立，且都服从N（0，1/2），求D|X-Y|。解：由已知 12、中秋节期间某食品商场销售月饼，每出售一公斤可获利a元，过了季节就要处理剩余的月饼，每出售一公斤净亏损b元。设该商场在中秋节期间月饼销售量X（单位：公斤）服从m，n上的均匀分布。为使商场中秋节期间销售月饼获利最大，该商场应购进多少月饼。解：设进货量为y，销售量为X，则XU(m,n)则利润要使得达到最大值，即当时第四章 自测题6、某流水生产线上每个产品不合格的概率p，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修，设开机后第一次停机时