高考数学总复习 第3节 三个重要的不等式课件 新人教A版选修45.ppt

选修4 5不等式选讲 第三节三个重要的不等式 一 柯西不等式1 柯西不等式 1 二维形式 若a b c d都是实数 则 a2 b2 c2 d2 当且仅当时 等号成立 2 向量形式 设 是两个向量 则 当且仅当 是 或存在实数k 使时 等号成立 ac bd 2 ad bc 零向量 k a1b1 a2b2 anbn 2 bi 0 ai kbi 三角不等式的几何意义是什么 提示 记o 0 0 a x1 y1 b x2 y2 则不等式的几何意义是在 oab中两边之和大于第三边 当且仅当o a b三点共线 并且点a b在原点o两旁时等号成立 二 排序不等式1 乱序和 反序和与顺序和 设a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn r 且a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn 设c1 c2 c3 cn是数列b1 b2 b3 bn的任意一个排列 则分别将s a1c1 a2c2 a3c3 ancn s1 a1bn a2bn 1 a3bn 2 anb1 s2 a1b1 a2b2 a3b3 anbn称为数组 a1 a2 a3 an 和数组 b1 b2 b3 bn 的 与 乱序和 反序和 顺序和 2 排序不等式 又称 设a1 a2 an b1 b2 b3 bn为两组实数 c1 c2 cn是b1 b2 bn的任一排列 则a1bn a2bn 1 anb1 a1c1 a2c2 ancn a1b1 a2b2 anbn 当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn时 反序和等于顺序和 排序原理 三 贝努利不等式1 如果x是实数 且 n为大于1的自然数 那么有 1 x n 2 设 为实数 x 1 如果 则 1 x 1 x 如果 则 1 x 1 x 当且仅当时等号成立 x 1 x 0 1 nx 0 1 0或 1 x 0 答案 a 答案 c 答案 b 答案 1 5 如图所示 矩形opaq中 a1 a2 b1 b2 则阴影部分的矩形的面积之和 空白部分的矩形的面积之和 填 或 解析 这可沿题图中线段mn向上翻折比较即知 当然由题图我们可知 阴影面积 a1b1 a2b2 而空白面积 a1b2 a2b1 根据顺序和 反序和可知答案为 答案 考向探寻 1 利用柯西不等式证明不等式 2 利用柯西不等式求最值 1 将f x 2 0转化为m x 0 根据 x m的解集求出m 2 用柯西不等式证明或用基本不等式证明 1 解 因为f x 2 m x f x 2 0等价于 x m 由 x m有解 得m 0 且其解集为 x m x m 又f x 2 0的解集为 1 1 故m 1 利用柯西不等式证明不等式或求最值时 一定要注意等号成立的条件 活学活用 1 已知a b c 1 m a2 b2 c2 求m的最小值 1 利用排序不等式证明不等式 关键是构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个不等式 2 在没有给定字母大小的情况下 要使用排序不等式 必须限定字母的大小顺序 而只有对称性的字母才可以直接限定字母的大小顺序 否则要根据具体情况分类讨论 贝努利不等式可把二项式的乘方 1 x n缩小为1 nx的形式 这在数值估算和放缩法证明不等