ula-GF——基于股票股票指数外汇市场期权的实证研究.doc

Copula拟合优度检验有什么实际用途？基于股票、商品、外汇期权的实验证据摘要：在文中，最优Copula-VaR模型和几个Copula拟合优度测试的用处在于对股票、商品、外汇期货实验数据全面实证研究的分析。实际上，我试图回答两个问题：（1）那个参数估计Copula函数是给定线性资产组合的最优风险值（VaR）估计和最优期望损失（ES）估计；（2）如何在给定样本条件下确定最优VaR和ES参数Copula函数。为了回答这些问题，从超过8种不同时间窗口的435组线性资产组合估计12，000组二元投资组合的VaR和ES。结果显示，虽然GARCH边际Copula模型VaR估计比相关基础模型估计好，但是最优Copula参数形式的确定还是一个未解决的严重问题。对三个国家Copula模型拟合优度测试方法的分析表明，没有一个测试能够明确的确定最优参数形式。除这些结论之外，超过80%的组合认为，所有五个参数Copula模型ES估计比实际组合高估或低估的相关基础估计差。而且，回顾测试表明，最优参数Copula既依靠风险的措施，又依靠时间的变化。1.介绍Copula模型已经成为统计依赖结构之间建模和分析的主要工具，随机变量之间遵从一个事实：与线性相关相反，Copula完全抓住了随机向量内在结构之间的独立性。特别在金融领域，Copula常被运用于市场风险组合的价值风险（VaR）计算或信用违约风险建模。许多研究都试图回答这些问题：参数Copula是最优的组合价值风险（VaR）估计以及这个最优参数Copula如何通过拟合优度测试（GoF）事先预测。然而，以前几乎所有基于Copula-VaR模型的实证研究只是通过相对较少的资产数量提供零星的数据在二元情况下进行分析。另外，基于Copula拟合优度测试（GoF）的模拟研究大多假设边际是知道的，而没有考虑拟合优度测试（GoF）对VaR计算的失效性。如果边际不明或者指定错误，这些在实际中是常有的情况，那么，这些对VaR估计的Copula拟合优度测试（GoF）的作用则保持相对的未知。在文中，我分析了最优的二元Copula-VaR模型以及通过各种资产分类在全面实证研究的基础上分析对Copula一些拟合优度测试（GoF）的用处。实际上，我试图回答两个问题：（1）那个参数估计Copula函数是给定线性资产组合的最优风险值（VaR）估计和最优期望损失（ES）估计；（2）如何在给定样本条件下确定最优VaR和ES参数Copula函数。为了回答这些问题，从超过8种不同时间窗口的435组线性资产组合估计12，000组二元投资组合的VaR和ES。具体而言，我使用了美国、欧洲、亚洲的股票、股票指数、外汇期权和商品价格，在组合风险分散的众多机会中进行实证研究。在每一个组合中，来自1000个交易日滚动时间窗口和往回的750个交易日，至少有五个不同的Copula-GARCH模型进行估计。在这些模型中，假定边际服从GARCH模型（1,1）过程交代的可能条件异方差数据。本文的贡献或创新很多，并且通过几方面扩展了以前的实证研究。第一，这篇文章第一次实证研究评估了对最优VaR、ES参数Copula选择的特定Copula拟合优度测试（GoF）的适用性。这项研究第一次表明，在参数Copula对金融数据的设置拟合中，大部分GoF测试不能选择参数Copula最优的VaR和ES估计。第二，本文是第一个在以前最优家庭参数Copula建模市场风险选择研究上进行概括。第三，通过使用VaR、ES和几个适合Copula模型的时间窗口，我试图明晰这个问题：是否最优参数Copula家庭和GoF测试的建议质量独立于时间和风险措施使用的选择。结果显示，ES估计是非常不好的。第四，基于使用更多灵活混合Copula的扩张近期结果显示，这些模型的大部分组合不能提高标准参数Copula的结果。第五，通过Hobak Haff,Aas,Frigessi,Diks,Panchenko 和van Dijk选择最优Copula，采用了KullbackLeibler Information Criterion (KLIC)。本文剩下的部分是这样安排的。第二部分介绍了相关的理论和基于Copula模型VaR估计的实证文献，以及参数Copula家庭系数的选择。第三部分讨论了Copula-GARCH模型在实证研究中的应用。第四部分介绍了数据以及实证研究的轮廓，第三小节给出了结果。第五部分结论。2.相关文献以及假设发展基于对VaR估计参数Copula家庭的最优选择实证研究或多或少可以分为三组。第一组，作者常常发现椭圆（elliptical）Copula函数是最优的。Malevergne和Sornette：第一个对直线资产依赖结果构建最优Copula模型的实证研究。第二组，研究发现最优阿基米德（Arvhimedean）Copula函数。Junker与May(2005)在他们研究中发现，当与椭圆（elliptical）Copula相比时，用GARCH边际转变Frank Copula能提高VaR和ES的估计，但他们的结论是基于德国的单独二元组合的分析。另外，他们只考虑对一般分布的GoF检验而没有考虑Copula函数的特性。Palaro和Hotta(2006)对构成S&P500和NASDAQ指数的二元组合进行研究也发现或多或少一样的结论。他们发现，对称Joe-Clayton Copula函数同GARCH边际一起表现比椭圆(elliptical)Copula模型要好。第三组，近期研究发现，最优参数Copula函数以及资产回报之间的独立性结构和力量是随时间变化的。为了研究这个问题，Rodriguez(2007)，Okimoto(2008)，Chollette，Heinen,和Valdesogo(2009)与Markwat，Kole和van Dijk（2010）开始的几个研究利用混合Copula允许Copula参数形式随时间变化。因此，我在实证研究中额外使用混合Copula为了检验这个假设:与非条件Copula模型相比，是否越多灵活混合Copula模型，VaR和ES估计越好。以上几个研究的共同特性是，当用于VaR估计和最优参数Copula家庭时Copula模型表现比相关基础模型好。在提出假设前，我们首先要分清最优Copula模型：第一个不等式表明：最优Copula模型VaR和ES估计应该接近预期风险措施价值。第二个不等式表明：最优Copula模型估计不应该低于实际组合风险。假设1：对于每一个组合与每一个时间窗口估计，这里存在一个最优参数Copula家庭（或混合Copula），这样相应的Copula-GARCH模型VaR与ES估计比相关基础模型估计要好，因为没有低估组合风险。假设2：不管风险措施和时间估计的使用，对于每一个组合分析Gaussian/Student t/Clayton/Frank/Gumbel copula的VaR和ES估计比相关基础模型估计要好，并且剩余的参数Copula模型没有低估组合风险。也就是说，最优VaR和ES模型在混合Copula模型中给出。假设3：对于一个给定的组合，最优参数Copula的选择独立于风险措施和时间窗口，由于时间系列用来拟合模型的。假设4：对于一个组合，最优VaR参数Copula通过使用一个（或多个）目前特别的Copula拟合优度测试（GoF）或KLIC能够在样本中识别。3.对价值风险（VaR）和预期损失（ES）估计的Copula模型3.1参数Copula函数Copula分析的数学基础是由Sklar（1959）和Hoeffding（1940）建立的。考虑随机向量X=（X1，Xd），d维联合分布函数（cdf）G和边际cdf F1,.，Fd。定理 5：让Ft,Gt为连续分布，Ht为联合二元条件分布，Ct就是唯一存在的条件Copula函数。Gaussian Copula:Studentt 分布Td:D维t分布：Frank Copula函数：Cdf:Clayton copula:二元Gaussian copula参数：经过改进的方程：本研究所使用的联合Copula函数：3.2Copula-GARCH模型Rit表示资产i的二元时间系列的滞后回报。第一，预测时间跨度T。在估计期间，描述d维条件Copula参数配合rit. Uit观测代替样本Rit：第二，对于二元时间系列滞后回报，时间K每一天t的预测对GARCH模型的模拟符合时间t-1的观测。同理：在本文实证研究中，设定。VaR超标建模为：3.3Copula拟合优度测试（GoF）3.3.1基于Copula实证过程的拟合优度检验最近提出的大多数有关Copula的拟合优度检验，都是基于Deheuvels实证Copula和Copula参数的假设之间的比较。Deheuvels从独立分布的估计中提出的实证Copula估计定义如下：第一类最低距离估计者在这文章中将会考虑基于实证过程：基于CE的Cramrvon-Mises 和 KolmogorovSmirnov的统计数据如下：3.3.2基于Kendall的依附函数的拟合优度检验实证研究中第二类拟合优度经验（GoF）由 Savu和Trede（2008），Genest,Quessy,和Remillard（2006）提出，是基于Kendall的概率积分转换。随机向量X结合cdf G和边际Fi:K是V概率积分转换cdf，V t=Ce:基于实证过程的拟合优度检验：特别统计检验：3.3.3基于Rosenblatts转换的拟合优度检验第三类拟合优度测试（GoF）由Rosenblatt提出，是基于Rosenblatt的概率积分转换，它奖一系列相关变量转换为独立变量U(0;1)，给出多元分布。Rosenblatts的X转换：一种用于Cramrvon-Mises统计的实证版本： 3.3.4基于KLIC (KullbackLeibler information criterion)准则的Copula选择拟合优度测试（GoF）仅仅只能够回答一个确定的参数Copula是否能够很好的拟合一个数据集合，最近也被Diks et al. (2010)扩展用为KLIC (KullbackLeibler information criterion)准则。KLIC可以用来比较一系列参数Copula函数的适合性，它测量给定给定Copula密度与实际Copula密度的偏差。copula KLIC定义为： 在实证研究中，用拟合优度测试（GoF）的结果基于它们的KLICs比较选择参数Copula函数，为的回答，是否最优参数Copula函数的选择可以顺利的通过拟合优度测试(GoF)和信息原则。4.实证研究本文研究的主要目的是为了估计足够大组合的VaR和ES，并且后台测试相关Copula基础模型估计的结果。使用大量组合以及选择实证研究方法的主要动机是希望获得风险管理的Copula-GARCH模型的缺陷和好处结果普遍接受的愿望。4.1实证研究设计（1）1500组投资组合的随机组成：1500组不同投资组合由直线资产集组成。为了实现相对异质组合，对模拟组合的第一类资产从四类资产中选择作为统一的资产，而投资组合的第二类资产从相同类型的资产中被随机选择。换言之，一类资产同相同类型资产的不同资产随机结合。（2）时间窗口的选择：所有估计的投资组合是八种不同时间窗口的重复，每一个组合由估计窗口跨度1000个交易日且回测窗口跨度750个交易日组成。（3）单变量模型：预测期内对于每一个投资组合的每一天t， 所描述的GARCH模型（1,1）被安排在每一个投资组合资产1000个日志回报前预测。（4）多变量模型：单变量VaR和ES首先通过标准相关基础模型的使用结合。而且，所描述的条件Copula和混合Copula被安排在通过规范性最大似然的时间t上的1000个观测值。（5）模型估计：对于每一个投资组合，五个Copula模型的拟合根据1000个初始观测值通过使用三个描述的拟合优度测试估计。另外，有关Kullback-Leibler Information Criterion的最优拟合Copula模型也要决定。（6）后台测试：通过比较实际VaR,ES与模型估计以及条件覆盖的VaR-模型所描述的覆盖测试，我们可以充分评估模型估计投资组合风险的能力。4.2数据和统计总结 在实证研究中，我使用股票、股票指数、外汇期货和商品每天的回报以实现相对异质组合的多样化机会。数据包括EU股票指数, NYSE U.S. 100 指数和TOPIX 100 指数，DowJones Stoxx 50, the Hang Seng, the FTSE 100，NASDAX100，NASDAQ主要组成指数列表中所有公司的股票。除了股票的回报，我使用了美国美元对日元，瑞士法郎和英镑，英镑对瑞士法郎以及如原油、棉花或黄金商品的外汇期货汇率。我使用的数据来自Datastream汤姆森金融公司，时间1998年11月3日至2008年6月2日。表一列出了样品的资产类别的回报汇总统计摘要：4.3结果首先，比较了各种模型样本以外投资组合损失的VaR 和ES 估计，如下Fig.1.相应的，预期损失估计的结果显示在Fig.2.由Fig.1.和Fig.2.可知，correlation-based和Gumbel copula高估的投资组合风险，其他的正常。为了回答这些不同类型资产的结果仍然保持有效，Fig.3.Fig.6.相应显示了对商品和非商品两种样本VaR和ES估计的直方图和密度。Fig.3. ：276组商品投资组合的直方图Fig.4. ：1224组非商品投资组合的直方图Fig.5. ：276组商品投资组合的kernel密度Fig.6. :1224组非商品投资组合的kernel密度从Fig.3. 和Fig.4.中我立刻看到，投资组合的不同资产类别直接影响Copula模型VaR估计的质量：在Fig.4. 中，Copula-GARCH模型低估了非商品投资组合的VaR，Fig.3.中，商品投资组合的组合风险估计得又更好。 Fig.5. Fig.6.类似。表二显示了分析结果：假设2下，为了回答上面描述的Copula模型VaR和ES估计那个最优。要做到这一点，我重新分类了投资组合，根据对应的参数Copula形式，至少有一个Copula模型是最优的。结果显示在表三：关于最优参数Copula函数的形式是不是随时间而变化的问题，我计算了在两个时间窗口重叠的250个贸易日最优参数Copula函数形式变换的概率。概率结果显示在表4：表4结果再次显示，最优参数Copula函数不随时间而变化。下一步，为了回答一个或多个特别描述的Copula拟合优度测试（GoF）是否能够识别最优参数Copula函数形式（假设4）的问题。这个结果测试显示于表5和表6：接下来，我尝试回答的问题是混合Copula函数或者Kullback-Leibler 信息标准（Information Criterion ）能够帮助减轻之前发现的参数Copula函数的弱点。对于混合Copula函数，接下来的Fig.7.和Fig.8.显示了第一时间窗口1500组投足组织的估计值减去预期的VaR值以及相应ES估计结果。Fig.7. ：Fig.8. ：相应ES估计结果最后，我分析了KLIC选择VaR和ES最优参数Copula函数的有用性。同时，我分析了最优参数或混合Copula函数通过KLIC在样本中识别的投资组合百分比。在表7中，我们看到，对欧洲股票组成的大部分投资组合，KLIC并不能识别最优的VaR参数Copula函数。5.结论本文的目的是为了分析最优二元copula-VaR模型