江苏省南通市中学高考数学总复习 第47讲 计数原理优秀课件.ppt

第47讲计数原理 主要内容 一 聚焦重点两个计数原理 三 廓清疑点排列还是组合 二 破解难点有条件的排列组合问题 聚焦重点 两个计数原理 基础知识 完成一件事 有n类方式 在第1类方式中有m1种不同的方法 在第2类方式中有m2种不同的方法 那么完成这件事共有n m1 m2 mn种不同的方法 分类计数原理 完成一件事 需要分成n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 那么完成这件事共有n m1 m2 mn种不同的方法 分步计数原理 问题研究 应该使用哪个计数原理 基本知识 分类计数原理 每一个办法都可以把事件完成 分步计数原理 每一个步骤不能独立完成事件必须所有的步骤都完成事件才完成 经典例题1 例1某班有男生25人 女生20人 从该班选出2人参加座谈会 要求 男女生各一名 有多少种不同的选法 思路分析 思路1 男生一类 女生一类 用分类计数原理 所以共有25 20 45种不同的选法 思路2 要求男女生各一名 因此要分成两个步骤完成 所以应该使用分步计数原理 只选完男生或只选完女生后 事件没有完成 使用分类计数原理错误 例1某班有男生25人 女生20人 从该班选出2人参加座谈会 要求 男女生各一名 有多少种不同的选法 求解过程 解 选出男女生各1名 可以分为2个步骤 第一步选出1名男生 有25种不同方法 第二步选出1名女生 有20种不同方法 根据分步计数原理 选出男女各一名 共有25 20 500个不同的选法 答 选出男女生各1名的共有500种不同的选法 解答题中必不可少 还是25 20 2 1000 回顾反思 2 思维误区 未能分清分类和分步 导致错误使用计数原理 1 基本策略 使用计数原理求解 3 思维瑕点 解答题最后未作答 拓展延伸 变题某班有男生25人 女生20人 从该班选出2人分别担任班长和团支部书记 要求 性别不同 有多少种不同的选法 思路1 要求男女生各一名 因此要分成两个步骤完成 所以应该使用分步计数原理 即与上面的例1相同 只选未排 思路2 要求男女生各一名并安排职务 因此要分成三个步骤完成 求解过程 解 完成该事件 可以分为3个步骤 第一步选出1名男生 有25种不同方法 第二步选出1名女生 有20种不同方法 第三步对选出的两人安排职务 有2种不同方法 根据分步计数原理 共有25 20 2 1000个不同的选法 答 选出男女生各1名并担任班长和团支部书记共有1000种不同的选法 经典例题2 例2用4种不同颜色给如图所示的区域上色 要求相邻两块涂不同的颜色 共有多少种不同的涂法 思路分析 例2用4种不同颜色给如图所示的区域上色 要求相邻两块涂不同的颜色 共有多少种不同的涂法 思路1 分步计数原理 按照1 2 3 4的顺序上色 同色呢 思路2 分类讨论 两处是否同色分步计数原理 按照顺序上色 求解过程 解 完成该事件 可以分为两类 第一类 不同色 按照1 2 3 4的顺序进行涂色 根据分步原理 共有4 3 2 2 48种不同的涂色方法 第二类 同色 按照1 2 4的顺序进行涂色 根据分步原理 共有4 3 1 3 36种不同的涂色方法 根据分类计数原理 共有48 36 84种不同的涂法 答 共有84种不同的涂法 回顾反思 1 思想方法 分类讨论 3 思维误区 直接用分步计数原理求解 2 解题策略 用不同的计数原理求解涂色问题 破解难点 有条件的排列组合问题 问题研究 如何求解含有附加条件的排列组合应用问题 基础知识 经典例题3 例3用0到9这10个数字能组成多少个没有重复数字的三位数 思路分析 思路1 这是排列问题 直接用排列数求解 思路2 优先考虑0 思路3 优先考虑首位数字 例3用0到9这10个数字能组成多少个没有重复数字的三位数 未注意0这个特殊元素 优限法 优先考虑特殊元素或特殊位置 思路4 去除首位数字为0的情形 去杂法 去除不符合条件的情形 直接求解 间接求解 求解过程 解法1 思路2 求解过程 解法2 思路3 求解过程 解法3 思路4 拓展延伸 变题用0到9这10个数字能组成 个没有重复数字的三位偶数 思路1优先考虑首位 可以在1到9中选择 再考虑末位 有0 2 4 6 8这5个选择 中间一位除去首末两个数外有8个选择 所以共有9 5 8 360个选择 思路分析 变题用0到9这10个数字能组成 个没有重复数字的三位偶数 选了2呢 思路2优先考虑首位 分为两类 第一类首位是奇数 有5个选择 末位有5个偶数选择 中间一位有8个选择 所以共有5 5 8 200个选择 第二类首位是偶数 有除0外4个偶数选择 末位有含0在内剩下的4个偶数选择 中间一位有8个选择 所以共有4 4 8 128个选择 根据分类计数原理 共有200 128 328个这样的偶数 思路分析 变题用0到9这10个数字能组成 个没有重复数字的三位偶数 位置优先 328 思路3优先考虑末位 分为两类 第一类末位是0 则首位和中间位有9 8 72个选择 第二类末位不是0 有除0外4个偶数选择 首位有不含0和末位的剩下的8个数选择 中间一位有8个选择 所以共有4 8 8 256个选择 根据分类计数原理 共有72 256 328个这样的偶数 思路分析 变题用0到9这10个数字能组成 个没有重复数字的三位偶数 位置优先 元素优先 328 拓展延伸2 变题五个人排成一排 其中甲不排头且乙不排尾的不同排列方法为 种 思路1先将5人全排列 然后去除甲排头的情况 再去除乙排尾的情况 思路分析 变题五个人排成一排 其中甲不排头且乙不排尾的不同排列方法为 种 a b 思路2先将5人全排列 然后去除甲排头的情况 再排出乙排尾的情况 再加上甲排头且乙排尾的情况即可 思路分析 变题五个人排成一排 其中甲不排头且乙不排尾的不同排列方法为 种 78 思路3优先考虑元素甲 可以分为下面几类 第一类甲在第2 4位 则乙可以在第1 4位的剩余位置 除甲乙以外的人全排列 思路分析 变题五个人排成一排 其中甲不排头且乙不排尾的不同排列方法为 种 第二类甲在末位 则乙可以在第1 4位的任何位置 除甲乙以外的人全排列 再根据分类计数原理求出最后答案 78 回顾反思 1 思想方法 分类讨论思想 补集思想 2 解题策略 特殊位置 特殊元素优先 去除不符合条件的排列的策略 3 思想误区 出现重复或者遗漏 经典例题4 例43名女生和4名男生排成一排 其中女生必须排在一起的不同排法共有多少种 思路分析 例43名女生和4名男生排成一排 其中女生必须排在一起的不同排法共有多少种 女生未排 女生内部未排 思路分析 例43名女生和4名男生排成一排 其中女生必须排在一起的不同排法共有多少种 捆绑法 求解过程 回顾反思 1 思想方法 整体思想 2 解题策略 有必须相邻的元素 可以将它们捆绑起来 看为一个整体求解 3 思维误区 对被捆绑的元素未排序 经典例题5 例53名女生和4名男生排成一排 其中任意两个女生都不相邻的不同排法共有多少种 思路分析 例53名女生和4名男生排成一排 其中任意两个女生都不相邻的不同排法共有多少种 对立事件 插空法 求解过程 例53名女生和4名男生排成一排 其中任意两个女生都不相邻的不同排法共有多少种 回顾反思 1 解题策略 有不相邻的元素 可以将它们插到其他元素的中间或两头 2 思维误区 将相邻事件看成是不相邻的对立事件 经典例题6 例63名女生和4名男生排成一排 其中3个女生的顺序一定的不同排法共有多少种 思路分析 例63名女生和4名男生排成一排 其中3名女生的顺序一定的不同排法共有多少种 思路1由于3名女生的顺序一定 所以将她们捆绑 然后和4名男生一起排列即可 不一定相邻 思路2由于3名女生的顺序一定 所以将她们和4名男生一起全排列 对排列的结果可以按照3名女生的顺序分为6类 6类的排列个数相同 将全排列除以6即可 思路分析 例63名女生和4名男生排成一排 其中3名女生的顺序一定的不同排法共有多少种 思路3由于3名女生的顺序一定 所以将她们在7个位置中的位置选定 然后再将她们按照顺序安排到相应的位置 然后再将4名男生全排列后依次安排到剩余的位置 先组合后排列 求解过程 例63名女生和4名男生排成一排 其中3名女生的顺序一定的不同排法共有多少种 求解过程 例63名女生和4名男生排成一排 其中3个女生的顺序一定的不同排法共有多少种 回顾反思 2 解题策略 先选择后排列的求解策略 3 思维误区 顺序一定 理解为 一定相邻且顺序一定 1 思想方法 分类思想 廓清疑点 排列还是组合 问题研究 怎样从实际问题的情景中甄别 有序 还是 无序 从而确定是排列问题还是组合问题 经典例题7 例7从10名学生中选出4名按照由高到低的顺序排列 则有 种不同的排列方法 思路分析 例7从10名学生中选出4名按照由高到低的顺序排列 则有 种不同的排列方法 思路1从10名学生中选出4名进行排列 思路2从10名学生中选出4名 由于这4名学生一旦选定 由高到低的顺序就已经确定了 因此他们是无序的 只需选出即可 组合问题 求解过程 例7从10名学生中选出4名按照由高到低的顺序排列 则有 种不同的排列方法 210 经典例题8 例8某医院要同时派出三个医疗小组 每个小组都由一名医生和一名护士构成 现在3名医生和3名护士都已经选定 则有 种不同的医疗小组组成方式 思路分析 例8某医院要同时派出三个医疗小组 每个小组都由一名医生和一名护士构成 现在3名医生和3名护士都已经选定 则有 种不同的医疗小组组成方式 思路1一个小组一个医生一个护士 因此将医生分到三个小组 再将护士分到三个小组 运用分步计数原理就可以求出 重复 组合 有序 思路分析 例8某医院要同时派出三个医疗小组 每个小组都由一名医生和一名护士构成 现在3名医生和3名护士都已经选定 则有 种不同的医疗小组组成方式 思路2一个小组一个医生一个护士 不同的小组在于医生和护士的组合方式不同 因此医生固定不动 仅需将护士排列就可以