2018年中考数学第一轮复习---二次函数.doc

2018年中考数学第一轮复习- 二次函数及其综合应用(部分难题附答案)【中考目标】1.理解二次函数的概念; 会用描点法画二次函数的图象；利用二次函数的图象，理解二次函数的增减性、最值；会求解析式中字母的值等；2.会把二次函数的一般式化为顶点式，会确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向;3.掌握二次函数平移的规律； 4.掌握二次函数与一元二次方程的关系;会用待定系数法求二次函数的解析式;5.掌握二次函数、一次函数、反比例函数中的两个函数图像交点的意义并运用；6.会分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值；7.掌握二次函数与平面图形等知识的综合应用.【中考知识清单】一、二次函数的定义： 一般地,如果y= （a、b、c是常数,a0）那么y叫做x的二次函数.二、二次函数的图象和性质：1、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象是一条 ，其顶点坐标为 对称轴是 2、在抛物y=ax 2+bx+c(a0)中：当a0时，开口向 ，当x-时，y随x的增大而 ，当x 时，y随x的增大而增大;当a0时，开口向 当x-时，y随x增大而增大，当x 时，y随x增大而减小. 注意如下图几个特殊形式的抛物线的特点，分别写出它们的表达式： (1) ， ， ， （4） . 三、二次函数的三种表达式1.一般式： （a,b,c为常数，a0）2.顶点式： （a0，a、h、k为常数），它直接显示二次函数的顶点坐标是 .3.两根式： （a0，a、为常数），其中、是图象与x轴交点的横坐标.4.三种表达式之间的关系： 顶点式 一般式两根式四、二次函数图象的平移 二次函数的平移问题本质可看作是顶点问题的平移,要掌握抛物线的平移，只要找准顶点平移即可.五、二次函数y= ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系：a:开口方向 ：向上则a 0,向下则a 0 a越大，开口越 b:对称轴位置，与a、b联系，用 ；判断b=0时，对称轴是 c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c 0；负半轴上则c 0；当c=0时，抛物过 点d:特殊值判断：在抛物线y= ax2+bx+c中，当x=1时，y= ;当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号.六、二次函数与一元二次方程、不等式的关系二次函数yax2bxc与x轴交点交点的 是一元二次方程ax2bxc0的解二次函数图象与x轴交点个数b24ac0二次函数图象与x轴有_个交点b24ac0二次函数图象与x轴有_个交点b24ac0二次函数图象与x轴_交点二次函数图象与不等式利用图象求不等式ax2bxc0或ax2bxc0的解集.【合作探究】考点一：二次函数的定义应用例1、设是二次函数，且图像抛物线的开口向下，则m=_.考点二、二次函数的图象及性质例2、对于二次函数y=2（x+1）（x-3），下列说法正确的是（）A图象的开口向下 B当x1时，y随x的增大而减小 C当x1时，y随x的增大而减小 D图象的对称轴是直线x=-1 例3、已知二次函数y=a（x-2）2+c（a0），当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）Ay3y2y1 By1y2y3 Cy2y1y3 Dy3y1y2 例4、对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：它的图象与x轴有两个公共点； 如果当x1时y随x的增大而减小，则m=1；如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3其中正确的说法是 （把你认为正确说法的序号都填上）考点三：图象平移（左加右减，上加下减）例5.在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）来源:学_科_网Z_X_X_KA（-2，3） B（-1，4） C（1，4） D（4，3）例6.把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是 例7.若a+b+c=0,a0,把抛物线y= ax2+bx+c向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.考点四、二次函数y= ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系：例8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）对于下列命题：b-2a=0；abc0；a-2b+4c0；8a+c0其中正确的有（） A3个 B2个 C1个 D0个例9.已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+cm=0没有实数根，有下列结论：b24ac0；abc0；m2其中，正确结论的个数是（）A 0 B1C2 D3例10.如图，是二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象的一部分，给出下列命题：a+b+c=0；b2a；ax2+bx+c=0的两根分别为3和1；a2b+c0其中正确的命题是 （只要求填写正确命题的序号）考点五：二次函数与一元二次方程的关系;会用待定系数法求二次函数的解析式例11.已知函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()Ak4 Bk4 Ck4且k3Dk4且k3例12.把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180后得到的图象的解析式为 例13.根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 。考点六：二次函数、一次函数、反比例函数的图像综合应用及图象交点的意义例14直线y3 x1与yxk 的交点在第四象限，则k 的范围是（ ）（A）k （B）k1 （C）k1 （D）k1或k1例15.已知函数y=（xm）（xn）（其中mn）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（）ABCD例16.已知函数y1x2与函数y2x3的图象大致如图， 若y1y2，则自变量x的取值范围是（ ）Ax2 Bx2或x C2x D.x2或x考点七：二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值；例17.在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润解：（1）y是x的一次函数，设y=kx+b，图象过点（10，300），（12，240），y=30x+600，当x=14时，y=180；当x=16时，y=120，即点（14，180），（16，120）均在函数y=30x+600图象上y与x之间的函数关系式为 y=-30x+600；（2）w=（x6）（30x+600）=30x2+780x3600，即w与x之间的函数关系式为 w=-30x2+780x-3600(x)；（3）由题意得：6（30x+600）900，解得x15w=30x2+780x3600图象对称轴为：x=13a=300，抛物线开口向下，当x15时，w随x增大而减小，当x=15时，w最大=1350，即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元考点八：二次函数与平面图形(等腰三角形、直角三角形、平行四边形)、相似等知识的综合应用例18.如图，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P（1）求a，k的值；（2） 抛物线的对称轴上有一点Q，使ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3） 在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E在RtAQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，在RtBQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3m）2，AQ=BQ，1+m2=4+（3m）2，m=2，Q点的坐标为（2，2）；（3）当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线又对称轴x=2是AC的中垂线，M点与顶点P（2，1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为（2，1）此时，MF=NF=AF=CF=1，且ACMN，四边形AMCN为正方形在RtAFN中，AN=，即正方形的边长为【测评】1.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（1，2），与x轴的一个交点A在点（3，0）和（2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：b24ac0；a+b+c0；ca=2；方程ax2+bx+c2=0有两个相等的实数根其中正确结论有 2.抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a2b+c的值为3.对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为 4.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，1）和C（4，5）三点（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值 5. 如图，已知二次函数y=a（xh）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60到OA，试判断点A是否为该函数图象的顶点？ 6.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，）（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使SPOA=2SAOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使AQO与AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由（3）存在。过点B作BPOA，则tanBOP=tanBAP=。BOA=30。设Q1坐标为（x，），过点Q1作Q1Fx轴，OABOQ1A，Q1OA=30，OF=Q1F，即x=，解得：x=9或x=0（舍去）。Q1坐标为（9，3），根据函数的对称性可得Q2坐标为（3，3）。Q点的坐标（9，3），（3，3）。7.如图，已知抛物线y=ax2x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y= x2交于B、C两点，其中点C是直线y= x2与y轴的交点，连接AC （1）求抛物线的解析式；（2）证明：ABC为直角三角形；（3）ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由（3）解：ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为，理由如下：一点为C，AB、AC、BC边上各有一点，如图2，此时AGFACBFEB设GC=x，AG=x，GF=22x，S=GCGF=x（2）=2x2+2x=2（x）2=2（x）2+，即当x=时，S最大，为AB边上有两点，AC、BC边上各有一点，如图3，此时CDECABGAD，设GD=x，AD=x，CD=CAAD=x，DE=5x，S=GDDE=x（5x）=x2+5x= （x1）21=（x1）2+，即x=1时，S最大，为综上所述，ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为【作业】 1. 如图，抛物线y=x2