2018年高考秘籍－破解导数压轴题策略：7.导数不等式的证明－凸凹法（1）.doc

导数中的不等式证明【考点点睛】放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。命题角度1 构造函数命题角度2 放缩法命题角度3 切线法命题角度4 二元或多元不等式的证明思路命题角度5 函数凹凸性的应用在求解过程中，力求“脑中有形，心中有数”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.命题角度5 函数凹凸性的应用【考法点拨】不等式恒成立问题中，许多试题的几何背景是曲线与切线静态或动态的上下位置关系，进而应用曲线的凸凹性可获得思路自然、过程简洁的图解.【知识拓展】一般地，对于函数的定义域内某个区间上的不同的任意两个自变量的值，总有（当且仅当时，取等号），则函数在上是凸函数，其几何意义：函数的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的上方.，则单调递减，在上为凸函数；总有（当且仅当时，取等号），则函数在上是凹函数，其几何意义：函数的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的下方.，则单调递增，在上为凹函数. 【典例11】（安徽省太和中学2018届5月质检）已知函数，曲线在处的切线方程为（1）求证：时，；（2）求证：【解析】（1）函数的定义域为，又，所以该切线方程为 由于，所以为凹函数，必有设，则，令，则，当时，所以在上单调递增，又，所以，即在上单调递增，所以，故时，；（2）由（1）知：当时，. 利用切线法放缩的途径令，则，所以，所以，化简可得，得证.【方法归纳】本题，其，说明函数为凹函数，因此有.此类问题实质上，第（1）小题的研究正是为第（2）小题的解决而服务的，呈现“层层递进”的特点.【典例12】（成都市2018届高中毕业班二诊文科）已知函数.（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；（2）当时，证明：.【解析】（1）由，得恒成立，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以，即，故的取值范围是； （2）有（1）知时，有，直线是函数的切线，由于，则所以. 向待证式的结构靠拢寻求放缩的途径要证，可证，只需证，也是应用函数的凸凹性进行切线放缩的重要途径易证（证明略），所以；要证，可证， 往往是含有的不等式放缩的途径易证（证明略），由于，所以，所以，综上所述，当时，证明：.【方法归纳】若第（1）小题是探求参数的范围问题，第（2）小题的解决往往运用第（1）小题所求范围的界点对于的不等关系进行放缩，此类问题实质就是应用函数凸凹性进行切线放缩法.【典例13】（咸阳市2018届三模）已知函数，.（1）若在上恒成立，求实数的取值范围； （2）求证：.【解析】（1）等价于，即，记，则，当时，在上单调递增，由，所以，即不恒成立；当时，时，单调递增，不恒成立；当时，在上单调递减，所以，即恒成立；故在上恒成立，实数的取值范围是；（2）当时，在上成立，即