北方工业大学 力学.ppt

第五章梁和结构的位移 1概述 挠度 转角的概念2梁的挠曲线近似微分方程及其积分3叠加法计算梁的挠度和转角4梁的刚度校核 提高梁的刚度措施5结构的位移 1 杆件结构的位移 变形 结构形状的改变 位移 结构上各点位置的移动量 杆件横截面的转动量 位移 线位移 角位移 水平线位移 竖向线位移 线位移 一概述 5结构的位移 引起结构位移的原因 还有什么原因会使结构产生位移 相对线位移 相对角位移 A B两截面的角位移 A和 B之和称为A B两截面的相对角位移 即 AB A B 上述各种位移统称为 广义位移 为什么要计算位移 C D两点产生水平线位移之和称为C D两点的水平相对线位移 即 CDH CH DH 2 计算位移的目的 1 校核结构的刚度 在工程上 吊车梁允许的挠度 1 600跨度 高层建筑的最大位移 1 1000高度 最大层间位移 1 800层高 3 为求解超静定结构提供位移条件 2 施工过程中对结构的位移进行计算和监控 二 变形体的虚功原理 虚功原理 第一状态 力状态 的外力 包括荷载和反力 在第二状态 位移状态 所引起的位移上所做的外力虚功 等于第一状态内力在第二状态内力所引起的变形上所做的内力虚功 虚功原理里存在两个状态 力状态必须满足平衡条件 位移状态必须满足协调条件 外力虚功W12 内力虚功 虚功方程 实功 虚功 力 外力或内力 在因其本身引起的位移 对内力而言则为变形 上所作的功 实功恒为正 力 外力或内力 在因其它原因产生的位移上作的功 如力与位移同向 虚功为正 反向时 虚功为负 ij 位移状态j 既然力与位移彼此独立无关 故可将力与位移视为两种独立的状态 力状态i 同一体系 Pi ij 计算虚功时 从第i个状态取力 从第j个状态取位移 虚功 虚功强调 做功的力与位移无关 虚功原理具体应用的两种方式 1 对于给定的力状态 另虚设一个位移状态 利用虚功方程来求解力状态中的未知力 2 对于给定的位移状态 另虚设一个力状态 利用虚功方程来求解位移状态中的未知位移 本章讨论用虚力原理求结构的位移 三 结构位移计算的一般公式 1 单位荷载法 虚力原理的两个状态 位移状态 实际状态 力状态 虚拟状态 位移状态 位移 由给定的荷载 温度变化及支座移动等因素引起的 力状态 在拟求位移 k的方向假想 虚拟 设置一个单位力FPk 1 外力虚功 内力虚功 平面杆件结构位移计算的一般公式 由虚功原理W W 有 2 设置单位荷载时应注意的问题 1 虚拟单位力FP 1必须与所求位移相对应 求A点竖向线位移的虚拟状态 求两点相对线位移的虚拟状态 求A截面角位移的虚拟状态 求两截面相对角位移的虚拟状态 求C点水平位移的虚拟状态 求BE杆转角的虚拟状态 2 虚拟单位力的方向可以可以任意假定 若计算结果为正 表示实际位移的方向与虚拟力的方向一致 反之 则实际位移方向与虚拟力的方向相反 根据材力公式 因无支座移动 四 静定结构在荷载作用下的位移计算 式中 虚拟状态中由于广义单位荷载所产生的内力 MP FQP FNP 由于实际荷载作用所产生的内力 位移计算公式的简化 1 梁和刚架 略去轴向变形和剪切变形影响 2 桁架 只考虑轴力影响 3 拱 一般只考虑弯曲变形对扁拱 f l 1 5 4 组合结构 荷载法计算结构位移的步骤 1 在拟求位移的方向虚设相应的单位荷载 2 求两种状态下的内力 3 代入各种结构的位移计算公式计算 例1 简支梁的位移计算 求图示简支梁中点C的竖向位移 CV和截面B的转角 B 解 1 求C点的竖向位移 虚拟状态如图 实际状态虚拟状态 MP q lx x2 2 因对称 只计算一半 实际状态虚拟状态 MP q lx x2 2 2 求B截面的转角 五 图乘法 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时 要计算下面的积分 MP图 1 因为是直杆 所以可用dx代替ds 2 因为EI是常数 所以EI可提到积分号外 为直线变化 故有 有 上述积分就等于一个弯矩图的面积 乘以其形心所对应的另一个直线弯矩图上的竖标yc 再除以EI 若结构上各杆均可图乘 则位移计算公式为 而 注意事项 1 图乘法的应用条件 2 EI为常数 图乘法计算位移公式 1 杆轴为直线 2 竖标yc必须取自直线图形 而不能从折线和曲线中取值 若M图与MP图都是直线图形 则yc可以取自其中任一图形 M图 MP图 3 若与在杆件的同侧 取正值 反之 取负值 4 若Mp图是曲线图形 图是折线图形 则应当从转折点分段图乘 然后叠加 6 如图形较复杂 可分解为简单图形 5 当杆件为变截面时亦应分段计算 二次抛物线 2hl 3 二次抛物线 hl 3 二次抛物线 2hl 3 几种常见图形的面积和形心位置 hl 2 M图 MP图 l 使用图乘法时应注意的问题小结 1 yC必须取自直线图形 2 若MP图是曲线图形 当M为折线图形时 必须分段计算 3 当杆件为变截面时亦应分段计算 4 图乘有正负之分 5 若两个图形均为直线图形时 则面积 纵标可任意分别取自两图形 6 图乘时 可将弯矩图分解为简单图形 按叠加法分别图乘 7 三角形 标准二次抛物线的面积 形心公式必须牢记 将 yc代入图乘公式计算所求位移 画出结构在实际荷载作用下的弯矩图Mp图 分段计算Mp 或 图面积 及其形心所对应的 或Mp 图形的竖标值yc 图乘法的解题步骤 在所求位移处沿所求位移的方向虚设广义单位力 并画出其单位弯矩图图 解 1 绘制MP图 1 求A端截面的转角 2 建立相应的虚拟状态 绘制 3 图乘求转角 求图示简支梁A端截面的转角及跨中竖向位移 例5 10 2 求跨中截面的竖向位移 由对称性可得 1 绘制MP图 2 建立相应的虚拟状态 绘制 3 图乘求位移 求图示悬臂梁B点