数学模型-市场经济中蜘蛛网模型.ppt

1 一 抵押贷款买房问题 相关背景 名流花园用薪金 买高品质住房对于大多数工薪阶层的人士来说 想买房 简直是天方夜谭 现在有这样一栋 自备款只需七万人民币 其余由银行贷款 分五年还清 相当于每月只需付1200人民币 那么 这对于您还有什么问题呢 谁都希望有一套属于自己的住房 但又没有足够的资金一次买下 这就产生了贷款买房的问题 下面是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告 任何人看了这则广告都会产生许多疑问 且不谈广告上没有谈住房面积 设施等 人们关心的是 如果一次付款买这套房要多少钱呢 银行贷款的利息是多少呢 为什么每个月要付1200元呢 是怎么算出来的 2 分析与建模 需要借多少钱 用记 月利率用记R 贷款通常按复利计 每月还多少钱用x记 借期记为N个月 而一开始的借款为A0 所以该问题可用数学表达式表示如下 1 1 因为我们都知道 若知道了一次付款买房的价格 如果自己只能支付一部分款 那就要把其余的款项通过借贷方式来解决 只要知道利息 就可以算出5年还清 每月要付多少钱才能按时还清贷款 从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子做出决策了 若用记第k个月时尚欠的款数 则一个月后 加上利息 欠款 不过又还了x元所以总的款数为 3 由 利用数学归纳法 知 故 这就是 x R之间的显式关系 是迭代关系 1 1 的解 4 针对广告中的情形 N 5年 60个月 每月还款x 1200元 已知 但即一次性付款购买价减去70000元后剩下的要另外去借的款 并没有告诉你 此外银行贷款利率R也没有告诉你 着造成我们决策的困难 然而 由 1 2 可知60个月后还清 即 0 从而得 1 3 1 3 式表示N 60 x 1200给定时和R之间的关系式 如果我们已经知道一行的贷款利息R 就可以算出 例如 若R 0 01 则由 1 3 式子可算得 52946元 如果该房地产公司说一次性付款的房价小于70000 53946 123946元的话 你就应自己去银行贷款 事实上 利用Matlab等数学软件可把 1 3 式的图形画出来 从而可进行估算决策 5 例1某校一对年轻夫妇为买房要用银行贷款60000元 月利率0 01 贷款期25年 300月 这对年轻夫妇希望知道每月还多少钱 25年后就可以还清 假设这对夫妇每月可有节余700元 是否可以去买房呢 现在 60000 R 0 01 k 300 利用Matlab等数学软件 容易算得x 632元 700元 着说明该夫妇有买房能力 6 例二 恰此时这对夫妇看到某借贷公司的一则广告 若借款60000元 22年还清 只要 解先就 i ii 两条作一个粗略的分析 可先孤立分析 i 和 ii 看看能否缩短归还期 分析 i 这时 60000不变 x 316 月利率变为半月利率可粗略地认为刚好是原R的一半 即R 0 005 这样取R是否合理 请思考实际情况是怎么样的 于是由 1 2 式求出的归还期N 即由求N 利用Matlab数学软件可解得 i 每半个月还316元 ii 由于文书工作多了的关系要你预付3个月的款 即316 6 1896元 这对夫妇想 提前3年还清当然是好事 每半个月还316元 那一个月不正好是632元 只不过多跑一趟去交款罢了 要预付1896元 当然使人不高兴 但提前3年还清省下来的钱可是22752元哟 是1896元的十几倍啊 这家公司是慈善机构呢还是仍然要赚我们的钱呢 这对夫妇请你给他们一个满意的回答 7 即N 598 半个月 24 92年 即只能提前大约1个月还清 由此可见 该借贷公司如果只有第1个条件的话 那他只能是慈善机构了 当然在实际生活中的贷款买房问题要复杂的多 但上述问题的数学方法仍然具有指导性 分析 ii 这时 60000 1896 58104 这时你只借了58104元 而不是60000元 可以按问题中银行贷款的条件算一算 即令x 632元 每月还款 R 0 01 月息 求使得 0的N 来看看能否提前还清 利用Matlab数学软件 经计算得N 21 09年 即实际上提前将近四年就可还清 该公司只要去同样的银行贷款 即使半个月收来的316元不动 再过半个月合在一起去交给银行 它还可坐收第22年的款近7000元 更何况它可以利用收到的贷款去做短期 半个月内 的投资赚取额外的钱 当你把这种初步分析告诉这对年轻夫妇后 他们一定会恍然大悟 从而作出正确的决策 1 4 8 市场经济中的蜘蛛网模型 在自由贸易市场上你注意过这样的现象吗 一个时期由于猪肉的上市量远大于需求 销售不畅导致价格下降 农民觉得养猪赔钱 于是转而经营其他农副产品 过一段时间后猪肉上市量大减 供不应求导致物价上涨 原来的饲养户看到有利可图 有重操旧业 这样下一个时期会出重现供大于求 价格下降的 9 局面 在没有外面干预的情况下 这种现象将如此循环下去 在完全自由竞争的市场经济中上述现象通常是不可避免的 因为商品的价格是由消费者的需求关系决定的 商品数量越多价格越低 而下一时期商品的数量由生产者的供求关系决定 商品价格越低生产的数量就越少 这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是震荡的 在现实世界里这样的震荡出现不同的形式 有的振幅渐小 10 趋向平稳 有的则振幅越来越大导致经济崩溃 当然政府会对后者采取干预手段 这一节我们先用图形方法建立所谓 蛛网模型 对上述现象进行分析 讨论市场经济趋于稳定的条件 用差分方程建模 对结果进行解释 并适当推广 11 蛛网模型记第k时段商品的数量为xk k 1 2 这里我们把时间离散化为时段 一个时段相当于商品的一个生产周期 如蔬菜 水果可以是1年 肉类则是一个饲养周期 同一时段商品的价格yk取决于数量xk 设yk f xk 1 它反映消费者对这种商品的需求关系 称为需求函数 因为商品的数量越多价格越 12 低 所以在图8 1中用一条下降曲线f表示它 f为需求曲线 下意识段商品的数量xk 1由上一时段价格yk决定 设xk 1 h yk 或yk g xk 1 2 它反映生产者的供应关系 称供应函数 因为价格越高生产产量才越大 所以在图中供应曲线是一条上升曲线 13 图中两个曲线相交于P0 x0 y0 点 P0是平衡点 因为一段对某个k有xk x0 则由 1 2 可知yk y0 xk 1 x0 yk 1 y0 即商品的数量和价格将永远保持在p0 x0 y0 点 但在实际生活中的种种干扰使得x y不可能停止在P0点 不妨设x1偏离x0 如图8 1 我们分析随着k的增加xk yk的变化 14 图8 1需求曲线f和供应曲线g p0是稳定的平衡点 15 数量x1给定后 价格y1由曲线f上的P1点决定 下一个时段的x2由曲线g上P2点决定 y2又由f上的P3点决定 这样得到一些列的点P1 x1 y1 P2 x2 y1 P3 x2 y2 P4 x3 y2 在图8 1上这些点将按箭头所示方向趋向于P0 x0 y0 这表明P0是稳定平衡点 意味着市场经济 商品的数量和价格 将趋向稳定 但是 如果需求函数和供应 16 函数由图8 2的曲线所示 则类似的分析发现 市场经济将按照P1 P2 P3 P4 的规律变化而远离P0 即P0不是稳定的平衡点 市场经济趋向不稳定 17 图8 2P0是不稳定的平衡点 18 图8 1和图8 2中折线P1P2P3P4 形似蛛网 于是 这种需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学上称为蛛网模型 实际上 需求曲线f和供应曲线g的具体形式通常是根据各个阶段商品数量和价格的一些列统计资料x1 y1 x2 y2 得到的 一般地说 f取决于消费者对这种商品的需求程度和他们的消费水平 g则与生产者的生产能力 经营水平 19 等因素有关 一旦需求曲线和供应曲线被确定下来 如何判断它们的交点 平衡点P0得稳定性呢 从图8 1和图8 2不难看出 当市场经济偏离P0点不大 x1 x0 较小 时 P0点得稳定取决于f和g在P0的斜率 记f在P0点斜率的绝对值 因为它是下降的 为Kf g在P0点的斜率 20 为Kg 则当Kf Kg 3 时P0是稳定点的 图8 1 而当Kf Kg 4 时P0点是不稳定的 图8 2 由此可见 需求曲线越平 供应线越陡 越有利于经济稳定 在对这种现象作出 21 解释之前 我们先利用差分方程将蜘蛛网模型的结果用公式表示出来 差分方程形式在P0点附近取函数f和h的线性近似 设 1 2 式分别近似为yk y0 xk x0 0 5 xk 1 x0 yk y0 0 6 22 消去yk 5 6 可合并为xk 1 kxk 1 k x0 k 1 2 7 7 是一阶线性差分方程 对k递推不难得到xk 1 kx1 1 8 23 由此可得 当k 时xk x0 使得P0稳定的条件是 1或 1而k 时 xk 即P0点不是稳定点的条件是 1或 1注意到 5 6 式中 的定义 有Kf kg 所以条件 24 9 10 与蛛网模型的 3 4 式是一致的 模型解释首先考察 得含义 需求函数f的斜率 取绝对值 表示商品供应量减少1个单位时价格的上涨幅度 供应函数h的斜率 表示价格上涨1个单位时 下一时期 商品供应的增加量 所以 的数值反映消费者对商品需求的敏感度 如果这 25 这种商品时生活必需品 消费者处于持币待购状态 商品量少缺 人们立即蜂拥购买 那么 会比较大 反之 若这种商品非必需品 消费者购买心理稳定 或者消费水平低下 则 值小 的数值反映生产经营者对商品价格的敏感度 如果他们目光短浅 热衷于追逐于一时的高利润 价格稍有 26 上涨立即大量增加生产 那么 值会比较大 反之 若他们素质较高 有长远的计划 则 较小 根据 的意义很容易对商场经济稳定与否的条件 9 10 做出解释 当供应函数g 即 固定式 越小 需求曲线越平 表明消费者对商品需求的敏感程度越小 使 9 式成立 越利于经济稳定 当需求函数f 27 即 固定时 越小 供应曲线越陡 表明生产者对价格的敏感程度越小 使 9 式成立 越利于经济稳定 反之 当 较大 表明消费者对商品的需求和生产者对商品的价格都很敏感 则会导致经济不稳定 从上述分析还可以看到 当市场经济趋向不稳定时政府有两种干预办法 一种办法是使 尽量小 极端情 28 情况是 0 即需求曲线水平 这时不论供应曲线如何 即不论 多大 总是稳定的 这相当于政府控制物价 无论商品数量多少 命令价格不得改变 另外一种办法是使 尽量小 极端情况 0 即供应曲线竖直 于是不论需求曲线如何变化 即不管 多大 也总是稳定的 这相当于控 29 制市场上商品数量 当供应少于需求时 政府从外地购买或调拨 投入市场 当供过于求时 政府收购过剩部分 维持商品上市不变 模型的推广如果生产者的管理水平更高一些 他们在决定商品生产数量xk 1时 不是仅根据前一时期的价格yk 而是更具前两个时期的价格yk和yk 1 为了简单起见不妨设取二者的平均值 yk yk 1 2 30 于是供应函数 2 式表示为 11 在P0点附近取线性近似时 6 式表示为 12 31 含义不变 又设需求函数仍为 1 5 式表示 则由 5 12 式得到 13 13