2015年高考数学《新高考创新题型》之8解析几何（含精析）.doc

之8.解析几何（含精析）一、选择题。1如图，已知椭圆，双曲线(a0，b0)，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（ ）A、5 B、 C、 D、2如图所示，已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于、两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.3已知在平面直角坐标系中，圆的方程为，直线过点且与直线垂直.若直线与圆交于两点，则的面积为（ ）A1 B C2 D 4方程与的曲线在同一坐标系中的示意图可能是（ ）二、填空题。5圆锥曲线中不同曲线的性质都是有一定联系的，比如圆可以看成特殊的椭圆，所以很多圆的性质结论可以类比到椭圆，例如；如图所示,椭圆C:可以被认为由圆作纵向压缩变换或由圆作横向拉伸变换得到的。依据上述论述我们可以推出椭圆C的面积公式为 .6.若P0(x0，y0)在椭圆1(ab0)外，则过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线方程是1.那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线1(a0，b0)外，则过P0作双曲线的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是 .7我们把离心率的双曲线称为黄金双曲线如图是双曲线的图象，给出以下几个说法：双曲线是黄金双曲线；若，则该双曲线是黄金双曲线；若为左右焦点，为左右顶点，（0，），（0，）且，则该双曲线是黄金双曲线；若经过右焦点且，则该双曲线是黄金双曲线其中正确命题的序号为 8若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：f(x)kxb和g(x)kxb，则称直线l：ykxb为f(x)和g(x)的“隔离直线”已知h(x)x2，(x)2eln x(其中e为自然对数的底数)，根据你的数学知识，推断h(x)与(x)间的隔离直线方程为 .9设分别为椭圆:的左右顶点,为右焦点,为在点处的切线,为上异于的一点,直线交于,为中点,有如下结论:平分;与椭圆相切;平分;使得的点不存在.其中正确结论的序号是_.10以下四个关于圆锥曲线的命题中：设为两个定点，为非零常数，则动点的轨迹为双曲线；过定圆上一定点作圆的动点弦，为坐标原点，若则动点的轨迹为圆；设是的一内角，且，则表示焦点在轴上的双曲线；已知两定点和一动点，若，则点的轨迹关于原点对称.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）.三、解答题。11如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:,设是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.（1）若直线，互相垂直，求圆的方程；（2）若直线，的斜率存在，并记为，求证：；（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由12已知双曲线，分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为.设过右焦点的直线与双曲线C的右支交于两点，其中点位于第一象限内.（1）求双曲线的方程；（2）若直线分别与直线交于两点，求证：；（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。13如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点.的最大值是，的最小值是，满足.(1) 求该椭圆的离心率；(2) 设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点.记的面积为，的面积为，求的取值范围.14已知椭圆过点，其焦距为（）求椭圆的方程；（）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，求面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线和，切点分别为当点在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由直线l的方程为，与联立，可得或，c=2b，故选：B3A【解析】圆的方程为，即，圆的圆心为，半径为2.直线过点且与直线垂直直线.圆心到直线的距离.直线被圆截得的弦长，又坐标原点到的距离为，的面积为.4A【解析】原方程可化为；当异号且时，为7【解析】对于，则，所以双曲线是黄金双曲线；对于，整理得解得，所以双曲线是黄金双曲线；对于，由勾股定理得，整理得由可知所以双曲线是黄金双曲线；对于由于，把代入双曲线方程得，解得，由对称关系知为等腰直角三角形，即，由可知所以双曲线是黄金双曲线.8y2xe【解析】容易观察到h(x)和(x)有公共点(，e)，又(x)20，即x22xe，所以猜想h(x)和(x)间的隔离直线为y2xe，下面只需证明2eln x2xe恒成立即可，构造函数(x)2eln x2xe.由于(x) (x0)，即函数(x)在区间(0，)上递增，在(，)上递减，故(x)()0，即2eln x2xe0，得2eln x2xe.故猜想成立，所以两函数间的隔离直线方程为y2xe.9【解析】设，则的方程为：，令得.对，的方程为：即，所以点M到直线PF的距离为若，则为的斜边中线，这样的有4个，故不成立.10【解析】对于，由双曲线的定义可知，动点的轨迹为双曲线的一支，所以不正确；对于，由，可知点为弦的中点，连结，则有即，而均为定点，所以点的轨迹是以为直径的圆，所以正确；对于，由两边平方可得，所以，因为是的一个内角，可判断为钝角，所以且，联立，从而方程为，表示焦点在轴上的椭圆，所以错误；对于，设动点，则由可得，将代入等式左边可得，所以动点的轨迹关于原点对称，即正确；综上可知，真命题的序号是.11（1）；（2）；（3）定值为36【解析】（1）因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以；再结合点在椭圆上，得到关于的方程组进行求解；（2）设出的直线方程，利用直线与圆相切，得到与的关系；再根据在椭圆上，得出关系，整理即可；（3）分别联立两直线与椭圆的方程，得出的关系，借助进行证明.试题解析：（1）由圆的方程知，圆的半径的半径，因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以，即，又点在椭圆上，所以， 联立，解得所以所求圆的方程为（2）因为直线：，：，与圆相切，所以,化简得同理，所以是方程的两个不相等的实数根，因为点在椭圆C上，所以，即，所以，即 （3）是定值，定值为36，理由如下：法一：（i）当直线不落在坐标轴上时,设,联立解得所以，同理，得，由，所以 （ii）当直线落在坐标轴上时,显然有，综上： 法二：（i）当直线不落在坐标轴上时,设,因为，所以,即， 因为在椭圆C上，所以， 即， 所以，整理得，所以， 所以 即可试题解析：（1）由题可知： 双曲线C的方程为：（2）设直线的方程为：，另设： 又直线AP的方程为，代入 同理，直线AQ的方程为，代入 （3）当直线的方程为时，解得. 易知此时为等腰直角三角形，其中，即，也即：. 下证：对直线存在斜率的情形也成立. 结合正切函数在上的图像可知，13（1）；（2）.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆与直线相交问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出F点坐标，数形结合，根据椭圆的性质，得到代入已知中，得到，计算出椭圆的离心率；第二问，根据题意，设出椭圆方程和直线方程，两方程联立，消参，利用韦达定理，得到和，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范围.试题解析：(1) 设，则根据椭圆性质得而，所以有，即，因此椭圆的离心率为. (2) 由(1)可知，椭圆的方程为.根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，并设则由消去并整理得从而有，所以.因为，所以，.由与相似，所以.令，则，从而，即的取值范围是. 14（1）；（2）；（3）【解析】（1）设椭圆的方程，用待定系数法求解即可；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程第三步：求解判别式计算一元二次方程根第四步：写出根与系数的关系第五步：根据题设条件求解问题中结论在解决与抛物线性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别