高中数学 4.2参数方程配套课件 北师大版选修4.ppt

第二节参数方程 三年21考高考指数 1 了解参数方程 了解参数的意义 2 能选择适当的参数写出直线 圆和椭圆的参数方程 1 直线 圆和椭圆的参数方程是高考考查的重点 常考查利用参数方程解决最大值 最小值问题 2 高考多以填空题的形式考查 1 参数方程参数方程的概念一般地 在取定的坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标 x y 都是某个变数t的函数 并且对于t取的每一个允许值 由这个方程组所确定的点p x y 都在这条曲线上 那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程 联系x y之间关系的变数t叫作 简称 参变数 参数 相对于参数方程 我们把直接用坐标 x y 表示的曲线方程f x y 0叫作曲线的普通方程 即时应用 判断下列命题是否正确 请在括号中填写 或 1 方程x2 y2 a2 a 0 方程是参数方程 2 参数方程与含参方程一样 解析 方程x2 y2 a2 a 0 表示圆心在原点的圆系 方程表示共渐近线的双曲线系 曲线的参数方程 t为参数 t r 表示一条确定的曲线 含有参数的方程表示具有某一共同属性的曲线系 两者是有区别的 所以 1 2 均错 答案 1 2 2 直线 圆锥曲线的普通方程和参数方程 直线 圆 x a 2 y b 2 r2 y y0 tan x x0 点斜式 t为参数 为参数 椭圆 双曲线 为参数 为参数 a b 0 a 0 b 0 t为参数 p 0 抛物线 y2 2px p 0 即时应用 判断下列命题是否正确 请在括号中填写 或 1 若经过点p0 x0 y0 倾斜角是 的直线l的参数方程为 t为参数 则直线的斜率为tan 2 若圆的参数方程为 为参数 则圆心为 2 1 半径为3 解析 1 经过点p0 x0 y0 倾斜角是 的直线l的参数方程为即 t为参数 t r 当倾斜角时 直线的斜率 当倾斜角时 直线的参数方程为直线的斜率不存在 所以 1 不正确 2 将圆的参数方程 为参数 化为普通方程为 x 2 2 y 1 2 9 所以圆心为 2 1 半径为3 所以 2 正确 答案 1 2 3 普通方程与参数方程普通方程用 直接表示点的坐标之间的关系 参数方程是借助于 间接地反映点的坐标之间的关系 代数式 参数 即时应用 1 参数方程 为参数 且满足0 的普通方程为 2 参数方程 为参数 且满足 的普通方程为 解析 1 参数方程 为参数 且满足0 的普通方程为x2 y2 1 0 y 1 表示上半圆 2 参数方程 为参数 且满足 的普通方程为x2 y2 1 0 x 1 表示右半圆 答案 1 x2 y2 1 0 y 1 2 x2 y2 1 0 x 1 参数方程化为普通方程 方法点睛 参数方程与普通方程互化的方法及注意事项 1 把参数方程化为普通方程 需要根据其结构特征 选取适当的消参方法 常见的消参方法有 代入消参法 加减消参法 平方和 差 消参法 乘法消参法等 2 把曲线c的普通方程f x y 0化为参数方程的关键 一是适当选取参数 二是确保互化前后方程的等价性 例1 1 若直线l y x b与曲线 为参数 且 有公共点 则实数b的取值范围是 2 若直线l t为参数 与曲线 为参数 且0 有两个不同的交点 则实数b的取值范围是 解题指南 本题中参数方程表示圆的一部分 所以可以通过数形结合法解答 规范解答 1 曲线 为参数 且表示圆心在原点 半径为1的右半圆 如图 直线l y x b与曲线有公共点 直线l应介于两直线l1 l2之间 当直线y x b经过点 0 1 时 b 1 当直线y x b与半圆相切时 解得所以要使直线y x b与半圆有公共点 必有答案 2 直线l t为参数 的普通方程为y x b 曲线 为参数 且0 表示以原点为圆心 1为半径的上半圆 如图 直线y x b与曲线有两个不同的交点 直线l应介于两直线l1 l2之间 当直线y x b经过点 0 1 时 b 1 当直线y x b与半圆相切时 解得所以要使直线y x b与半圆有两个不同的交点 必有答案 互动探究 1 若把本例 1 中的 有公共点 改为 有两个不同的交点 则实数b的取值范围是 解析 由本例 1 可知 当直线y x b经过点 0 1 时 b 1 当直线y x b与半圆相切时 解得所以要使直线y x b与半圆有两个不同的交点 必有答案 反思 感悟 化参数方程为普通方程 关键是消去参数 建立关于x y的二元方程f x y 0 常用的消参数公式有 变式备选 2012 深圳模拟 参数方程 m是参数 表示的曲线的普通方程是 解析 由题意 得又故曲线的普通方程为x2 y2 1 y 1 答案 x2 y2 1 y 1 圆的参数方程 方法点睛 将圆的普通方程化为参数方程 1 圆x2 y2 r2的参数方程为 为参数 2 圆 x a 2 y b 2 r2的参数方程为 为参数 提醒 1 参数 的几何意义是om与x轴正方向的夹角 m为圆上的点 2 随着选取的参数不同 参数方程的形式也有不同 但表示的曲线是相同的 3 在建立曲线的参数方程时 要注明参数及参数的取值范围 例2 已知x y满足x2 y 1 2 1 则 1 3x 4y的最大值为 最小值为 2 x 3 2 y 3 2的取值范围是 解题指南 设圆的参数方程 将问题转化为三角函数的问题解决 规范解答 由圆的普通方程x2 y 1 2 1得圆的参数方程为 为参数 1 3x 4y 3cos 4sin 4 4 5sin 其中tan 且 的终边过点 4 3 5 5sin 5 1 4 5sin 9 3x 4y的最大值为9 最小值为 1 答案 9 1 2 x 3 2 y 3 2 cos 3 2 sin 4 2 26 8sin 6cos 26 10sin 其中tan 且 的终边过点 4 3 10 10sin 10 16 26 10sin 36 x 3 2 y 3 2的取值范围是 16 36 答案 16 36 互动探究 若本例条件不变 则的取值范围是 解析 方法一 由于 为参数 sin kcos k 3 即其中tan k 且 的终边过点 1 k 依题意 得解得所以的取值范围是 方法二 由于所以问题可以看成圆x2 y 1 2 1上的动点p x y 与定点a 1 2 的连线的斜率 斜率存在时 设直线y 2 k x 1 与圆相切 则圆心 0 1 到直线kx y k 2 0的距离为1 即解得 过a 1 2 的直线的斜率不存在时 即x 1 与圆相切 结合图形 得的取值范围是答案 反思 感悟 1 解决与圆有关的最大值和最小值问题 常常设出圆的参数方程 转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解决 2 注意运用三角恒等式 辅助角公式求最值 其中且角 的终边经过点 a b 变式备选 如果实数x y满足x2 y2 2x y 0 那么x2 y2的最大值为 最小值为 解析 将x2 y2 2x y 0配方 得 x 1 2 y 2 4 它表示圆心为 1 半径为2的圆 所以圆的参数方程为 为参数 0 2 x2 y2 1 2cos 2 2sin 2 4 sin cos 8 8sin 8 当即时 x2 y2 max 16 当即时 x2 y2 min 0 答案 160 极坐标方程和参数方程的综合问题 方法点睛 直线的参数方程中参数的几何意义 1 设e表示直线向上的方向的单位向量 如图 当参数t 0时 与方向相同 当参数t 0时 与方向相反 因此 总有 t 所以参数t为点m0 x0 y0 到直线上点m x y 的有向线段的数量 即方向 长度 这就是参数t的几何意义 2 常用公式 根据直线的参数方程中t的几何意义 有以下结论 设a b是直线上任意两点 它们对应的参数分别为ta和tb 则 线段ab的中点所对应的参数值等于 例3 1 已知曲线c的极坐标方程是 4cos 以极点为平面直角坐标系的原点 极轴为x轴的正半轴 建立平面直角坐标系 直线l的参数方程是 t为参数 则直线l与曲线c相交所成的弦的弦长为 2 若经过点p 1 2 倾斜角为的直线l与曲线 3相交于a b两点 则 pa pb pa pb 解题指南 1 将参数方程化为普通方程 利用直线与圆的位置关系计算弦长 2 求出直线的参数方程 代入曲线的普通方程 利用直线的参数方程的几何意义以及一元二次方程的根与系数的关系计算 规范解答 1 由曲线c的极坐标方程 4cos 化为直角坐标方程 得x2 y2 4x 0 即 x 2 2 y2 4 直线l的参数方程化为普通方程为x y 1 0 曲线c的圆心 2 0 到直线l的距离为所以直线l与曲线c相交所成的弦的弦长为答案 2 直线l的参数方程为 t为参数 代入圆的直角坐标方程x2 y2 9 整理 得设点a b对应的参数分别是t1 t2 则由t1与t2的符号相反 得 pa pb t1 t2 t1 t2 pa pb t1 t2 4 答案 互动探究 若本例 1 条件不变 则直线l与曲线c的相交弦的中点坐标为 解析 将直线方程y x 1代入圆的方程x2 y2 4x 0 整理 得2x2 6x 1 0 设相交弦ab的端点坐标分别为a x1 y1 b x2 y2 则由根与系数的关系得x1 x2 3 y1 y2 x1 x2 2 1 所以相交弦ab的中点坐标为答案 反思 感悟 利用直线的参数方程研究直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长计算 可以使问题简便 方法是 把l t为参数 代入圆锥曲线c f x y 0 消去x y得到关于t的一元二次方程at2 bt c 0 a 0 其中 b2 4ac 当 0时 l与c有两个公共点 此时方程at2 bt c 0有两个不同的实数根t1 t2 把参数t1 t2代入l的参数方程 即可求得l与c的两个交点m1 m2的坐标 进而可求得 m1m2 变式备选 1 2011 陕西高考 直角坐标系xoy中 以原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 设点a b分别在曲线和曲线c2 1上 则 ab 的最小值为 解析 曲线c1的普通方程是 x 3 2 y 4 2 1 曲线c2的普通方程是x2 y2 1 由于两圆的圆心距为两圆的半径都为