高考数学总复习 （教材回扣夯实双基+考点突破+瞭望高考）第二章第12课时 导数与函数的单调性、极值课件.ppt

第12课时导数与函数的单调性 极值 基础梳理1 函数的单调性 1 函数单调性的充分条件 设函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 0 则f x 为 函数 如果f x 0 则f x 为 函数 单调递增 单调递减 2 函数单调性的必要条件 设函数y f x 在某个区间内可导 如果y f x 在该区间上单调递增 或递减 则在该区间内有 或 f x 0 f x 0 2 函数的极值 1 设函数f x 在点x0及其附近有定义 如果对x0附近的所有点 都有f x f x0 我们就说f x0 是f x 的一个 记作 极大值与极小值统称为 极大值 y极大值 f x0 极小值 y极小值 f x0 极值 2 判别f x0 是极值的方法一般地 当函数f x 在点x0处连续时 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是 极大值 极小值 思考探究导数为零的点都是极值点吗 提示 不一定是 例如 函数f x x3 有f 0 0 但x 0不是极值点 课前热身1 教材习题改编 函数f x x3 3x的单调递减区间是 a 0 b 0 c 1 1 d 1 1 答案 c 2 函数f x x3 ax2 3x 9 已知f x 在x 3时取得极值 则实数a等于 a 2b 3c 4d 5答案 d 3 教材习题改编 函数f x 的定义域为区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图象如图所示 则函数f x 在区间 a b 内的极小值点有 a 1个b 2个c 3个d 4个答案 a 4 2012 福州质检 函数f x x 3 ex的极小值是 解析 f x x 3 ex x 3 ex x 2 ex 令f x 0 解得x 2 所以f x 的极小值是f 2 e2 答案 e2 5 函数f x xlnx在 0 5 上的单调递增区间是 求函数单调区间的基本步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求导数f x 3 由f x 0或f x 0时 f x 在相应区间上是增函数 当f x 0时 f x 在相应区间上是减函数 已知函数f x mx3 nx2 m n r m 0 函数y f x 的图象在点 2 f 2 处的切线与x轴平行 1 用关于m的代数式表示n 2 求函数f x 的单调增区间 思路分析 1 利用导数的几何意义求解 注意理解切线与x轴平行的含义 2 解不等式f x 0 注意分类讨论 得到相应的单调区间 解 1 由已知条件得f x 3mx2 2nx 又f 2 0 3m n 0 故n 3m 2 n 3m f x mx3 3mx2 f x 3mx2 6mx 令f x 0 即3mx2 6mx 0 当m 0时 解得x2 则函数f x 的单调增区间是 0 和 2 当m0时 函数f x 的单调增区间是 0 和 2 当m 0时 函数f x 的单调增区间是 0 2 已知函数单调性 求参数范围 设函数f x 在 a b 内可导 若f x 在 a b 内是增函数 则可得f x 0 从而建立了关于待求参数的不等式 同理 若f x 在 a b 内是减函数 则可得f x 0 已知f x ex ax 1 1 求f x 的单调增区间 2 若f x 在定义域r内单调递增 求a的取值范围 3 是否存在实数a 使f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 思路分析 1 通过解f x 0求单调递增区间 2 转化为恒成立问题 求a 3 注意由题知 x 0为f x 的极小值点 解 1 f x ex a 若a 0 f x ex a 0恒成立 即f x 在r上递增 若a 0 ex a 0 ex a x lna f x 的单调递增区间为 lna 2 f x 在r内单调递增 f x 0在r上恒成立 ex a 0 即a ex在r上恒成立 a ex min 又 ex 0 a 0 3 假设存在a满足条件 法一 由题意知ex a 0在 0 上恒成立 a ex在 0 上恒成立 ex在 0 上为增函数 x 0时 ex最大为1 a 1 同理可知ex a 0在 0 上恒成立 a ex在 0 上恒成立 a 1 综上 a 1 法二 由题意知 x 0为f x 的极小值点 f 0 0 即e0 a 0 a 1 此时f x ex x 1 可证得在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 略 误区警示 2 中易忽略 a 0 中的 3 用法二解 要加以论证才严密 求可导函数f x 极值的步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数f x 3 求方程f x 0的根 4 检验f x 在方程f x 0的根的左右两侧的符号 如果在根的左侧附近f x 0 右侧附近f x 0 那么函数y f x 在这个根处取得极小值 2010 高考安徽卷 设函数f x sinx cosx x 1 0 x 2 求函数f x 的单调区间与极值 思路分析 按照求函数单调区间和极值的步骤求解 名师点评 1 可导函数的极值点必须是导数值为0的点 但导数值为0的点不一定是极值点 即f x0 0是可导函数f x 在x x0处取得极值的必要不充分条件 例如函数y x3在x 0处有y x 0 0 但x 0不是极值点 此外 函数不可导的点也可能是函数的极值点 已知函数解析式 可利用导数及极值的定义求出其极大值与极小值 反过来 如果已知某函数的极值点或极值 也可利用导数及极值的必要条件建立参数方程或方程组 从而解出参数 求出函数解析式 设x 1与x 2是函数f x alnx bx2 x的两个极值点 1 试确定常数a和b的值 2 试判断x 1 x 2是函数f x 的极大值点还是极小值点 并说明理由 方法技巧1 注意单调函数的充要条件 尤其对于已知单调性求参数值 范围 时 隐含恒成立思想 2 求极值时 要求步骤规范 表格齐全 含参数时 要讨论参数的大小 失误防范1 利用导数讨论函数的单调性需注意的几个问题 1 确定函数的定义域 解决问题的过程中 只能在函数的定义域内 通过讨论导数的符号 来判断函数的单调区间 2 在对函数划分单调区间时 除了必须确定使导数等于0的点外 还要注意定义区间内的不连续点或不可导点 3 注意在某一区间内f x 0 或f x 0 是函数f x 在该区间上为增 或减 函数的充分条件 2 可导函数的极值 1 极值是一个局部性概念 一个函数在其定义域内可以有许多个极大值和极小值 在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值 也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系 2 若f x 在 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在某区间上单调增或减的函数没有极值 命题预测从近几年的高考试题来看