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1 概率论与数理统计 十二 开始王柱2011 11 07 2 设Z是随机变量X Y的函数 Z g X Y 函数g x y 是连续函数 则Z也是一个随机变量 且 1 1设离散随机变量X Y的分布律为P X xk Y yj pkjk j 1 2 若级数 绝对收敛 则有 多维随机变量函数的数学期望 第四章随机变量的数字特征 被称为随机变量函数Z g X Y 的数学期望 3 1 2连续型随机变量X Y的概率密度为f x y 若积分 绝对收敛时 则有 被称为随机变量函数Z g X Y 的数学期望 4 设X的分布律为P X xk pkk 1 2 当级数 特别 随机变量自己的数学期望1 3离散随机变量的均值 数学期望 绝对收敛时 数学期望为 1 4连续型随机变量的均值 数学期望 绝对收敛时 则数学期望为 设X的概率密度为f x 若积分 5 1 5数学期望的性质 以下均设所遇到的数学期望存在 10设C为常数 则有E C C 20设C为常数 X是随机变量 则有E CX CE X 30X Y是两个随机变量 则有E X Y E X E Y 这个性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况 40X Y是两个相互独立的随机变量 则有E XY E X E Y 这个性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况 6 定义 设X是一个随机变量 若E X E X 2 存在 则称E X E X 2 为随机变量X的方差 记为D X 或Var X 即D X Var X E X E X 2 还称 2 方差 为标准差或均方差 7 2 2对连续型随机变量X的D X 有 2 3随机变量X的方差D X 可以用如下公式计算 2 1对离散型随机变量X的方差 即为 8 2 4方差的性质 以下均设所遇到的方差存在 10设C为常数 则有D C 0 20设C为常数 X是随机变量 则有D CX C2D X 30X Y是两个相互独立的随机变量 则有D X Y D X D Y 这个性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之和的情况 40D X 0的充要条件是X以概率1取常数C 即P X C 1 9 0 1分布 设X为服从0 1分布的随机变量 则E X pD X pq 几种重要随机变量的数学期望及方差 1 二项分布 设X为服从参数为n p的随机变量 n重贝奴利试验 则E X npD X npq 2 设X为服从参数为N M n的超几何分布 则E X nM N 10 4 设X为服从参数为p的几何分布 则 3 泊松分布 设X为服从参数为 的随机变量 则 11 标准正态分布X N 0 1 则 5 正态分布Y N 2 注意到 Y X 因此E Y D Y 2 6 均匀分布X在 a b 上均匀分布 则 12 7 设X为服从参数为 的指数分布 则 13 例2 系统L由五个相互独立的子系统Li i 1 5连接而成 求两种连接方式 串联 并联 系统L的平均寿命 设子系统Li的寿命为X 概率密度为 其中 0 它们的分布函数为 14 解 2 并联 时 系统L的寿命Z max Xi 的分布函数为 系统L的寿命Z max Xi 的密度函数为 15 解 1 串联 时 系统L的寿命Z min Xi 的分布函数为 系统L的平均寿命E N 1 5 系统L的寿命Z min Xi 的密度函数为 两个比较 系统L的平均寿命E M E N 137 60 1 5 11 4 16 解 3 备用 时 系统L的寿命Z X Y的密度函数为 系统L的寿命Z X1 X2 X3 X4 X5的密度函数很难求 但系统L的平均寿命E Z 5E X 5 比较 系统L的平均寿命E Z E M 5 137 60 2 2E Z E N 5 1 5 25 17 例3 按规定 某车站每天8 00 9 00 9 00 10 00都恰有一辆车到站 但到站的时刻是随机的 且两车到站的时间是相互独立的 其规律为 1 一人8 00到站 求他候车时间的数学期望 2 又一人8 20到站 求他候车时间的数学期望 解 18 例4 N人团体普查验血 每人分验需N次 k人一组 若正常则一次通过k人 否则再分验k次 共k 1次 设每人化验呈阳性的概率为p 且这些人化验反应是相互独立的 求适当的k 以使总化验的次数最少 解 k人为一组时 组内每人平均化验的次数为X 则 则N个人平均化验的总次数为 对固定的p 选取k使得小于1且取到最小值 就是最好的 19 P 0 1 q 0 9时 k 4可使 当N 1000 4人为一组时 则N个人平均化验的总次数为 小于1且取到最小值 就是最好的 平均来说 可以减少40 的工作量 演示21 20 则有 D 2X 4 D X D X Y D X D Y 2 D X 因此 2X与X Y是不同的随机变量 例4 2 4 X Y是两个相互独立 相同分布的随机变量 21 定义4 3 1 量E X E X Y E Y 称为随机变量X与Y的协方差 记为Cov X Y 即Cov X Y E X E X Y E Y 而 4 3协方差及相关系数 定义4 3 2 称为随机变量X与Y的相关系数 22 4 1对任意两个随机变量X和Y 有 4 2将定义式展开易得 我们常常利用这一式子算协方差 即 因此 当X和Y相互独立时 从而 23 4 3协方差的性质 以下均设所遇到的协方差存在 10Cov X Y Cov Y X Cov X X D X 30设a b为常数 则有Cov aX bY abCov X Y 40X1 X2 Y是任三个随机变量 则有Cov X1 X2 Y Cov X1 Y Cov X2 Y 20Cov X c 0 50当X和Y相互独立时 24 求 例4 3 1 X Y 的概率密度函数为 解 25 试证明X与Y不相关 但两者并不相互独立 例4 3 2 设X在区间上服从均匀分布 解 26 可见 另外 对于一切满足0 a 1的实数a都有 因而 故X与Y两者并不相互独立 本例的X与Y两者有明显的函数关系 但又是不相关的 相关系数反映了X与Y之间的一种什么样的 相关 关系呢 实质上 相关系数刻画的只是随机变量之间线性相关的程度 27 例 X Y 为二维正态分布N 0 0 1 1 其概率密度为 其中 1 1为常数 算 0 28 X Y 为二维正态分布N 1 2 12 22 则 X Y 的概率密度函数为 1 2 1 0 2 0 1 1为常数 令 X 1X 1 Y 2Y 2 又例 X Y 为二维正态分布N 0 0 1 1 且 29 算 30 1 设X和Y是随机变量 a b为常数 令Z Y bX a 则Z也是随机变量 相关系数意义的解释 显然E Z E Y bE X a 上式当b Cov X Y D X 时达到最小值D Y 1 XY2 D Z E Y bX a E Y bE X a 2 E Y E Y b X E X 2 E Y E Y 2 2bE Y E Y X E X b2E X E X 2 D Y 2bCov X Y b2D X 31 因此由 顺便注意 当上式取等号时可推出 1 XY2 0 即1 XY E Z2 D Z E Z 2 D Y 2bCov X Y b2D X E Y bE X a 2 D Y 1 XY2 上式中等号 当且仅当b Cov X Y D X 和a E Y b E X E Y E X Cov X Y D X 时成立 演示20 32 定理4 3 1 1 XY 1 2 XY 1的充要条件是存在常数a b使P Y bX a 1 证明 由 XY 1 可取a b 如前 得 E Z 0 D Z E Z 2 0 P Z 0 1 P Y b X a 1 反之 由P Y b X a 1 可得P Z 0 1 进而 E Z 0 D Z 0 0 D Z D Y 1 XY2 可得 XY 1 33 我们看 e E Z2 是 以X的线性函数bX a来近似表示Y 的均方误差 D Y 1 XY2 可看出 XY 是一个可以用来表征X Y之间线性关系紧密程度的量 当 XY 较大时 我们说X Y之间线性相关程度较好 当 XY 较小时 我们说X Y之间线性相关程度较差 当 XY 0时 称X和Y不相关 即X和Y线性无关 此为定义4 3 2 当 XY 1时 X Y之间以概率1存在着线性关系 34 我们再看 设随机变量X和Y的相关系数 XY存在 当X和Y相互独立时 Cov X Y 0 从而 XY 0 我们有X和Y线性不相关 但当随机变量 X Y 服从二维正态分布时 X和Y线性不相关 与X和Y相互独立是等价的 反之 X和Y线性不相关 X和Y却不一定相互独立 35 已知 参数为 1 2 1 2 的二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布 并且都不依赖参数 亦即对于给定的 1 2 1 2 不同的 对应不同的二维正态分布 但它们的两个边缘分布却是一样的 前已有 参数为 1 2 1 2 的二维正态分布X和Y相互独立的充要条件是 0 现在又有 二维分布X和Y线性不相关的定义是 0 因此有 参数为 1 2 1 2 的二维正态分布X和Y相互独立的充要条件是X和Y线性不相关 即 0 36 例4 3 3 设 X Y 服从二维正态分布 其边缘分布均为标准正态分布 且X与Y不相关 试写出 X Y 的联合概率密度函数 解 X与Y的概率密度函数分别为 又 X Y 服从二维正态分布 且X与Y不相关 因而X与Y相互独立 于是 X Y 二维随机变量的联合概率密度 37 定义4 4 1 设X和Y是随机变量 若E Xk k 1 2 存在 则称它为随机变量X的k阶原点矩 简称k阶矩 4 4矩 协方差矩阵 若E X E X k k 1 2 存在 则称它为随机变量X的k阶中心矩 若E XkYl k l 1 2 存在 则称它为随机变量X和Y的k l阶混合矩 若E X E X k Y E Y l k l 1 2 存在 则称它为随机变量X和Y的k l阶混合中心矩 38 C11 E X1 E X1 2 二维随机变量 X1 X2 有四个二阶中心矩 设它们都存在 C12 E X1 E X1 X2 E X2 C21 E X2 E X2 X1 E X1 C22 E X2 E X2 2 将它们排成矩阵的形式 这个矩阵称为随机变量 X1 X2 的协方差矩阵 39 设n维随机变量 X1 Xn 的二阶混合中心矩都存在 Cij Cov Xi Xj E Xi E Xi Xj E Xj i j 1 2 n 则称矩阵 为随机变量 X1 Xn 的协方差矩阵 40 设n维随机变量 X1 Xn 的二阶混合中心矩都存在 ij Xi Xj Cov Xi Xj D Xi D Xj 0 5 i j 1 2 n 则称矩阵 为随机变量 X1 Xn 的相关系数矩阵 41 例4 4 1 X Y 为二维正态分布N 1 2 12 22 则 X Y 的概率密度函数为 其中 1 2 1 0 2 0 1 1为常数 现在换个写法 42 令 协方差矩阵为 它的行列式为 逆矩阵为 43 看 则概率密度为 推广到n维 44 令 协方差矩阵为 它的行列式为 逆矩阵为 则概率密度为 45 n维正态变量具有以下三条重要性质 1 n维随机变量 X1 X2 Xn 服从n维正态分布的充要条件是X1 X2 Xn的任意线性组合l1X1 l2X2 lnXn都服从一维正态分布 2 X1 X2 Xn 服从n维正态分布 设Y1 Y2 Yk是X1 X2 Xn的任意线性函数 则 Y1 Y2 Yk 也服从k维正态分布 3 X1 X2 Xn 服从n维正态分布 则 X1 X2 Xn相互独立 与 X1 X2 Xn两两不相关 是等价的 即协方差矩阵为对角型 相关系数矩阵为单位矩阵 46 当级数 4 5条件期望 一 离散型二维随机变量 X Y 的条件数学期望 绝对收敛时 称其为 在X xi条件下 关于 随机变量Y的条件数学期望 记为 设在X xi条件下随机变量Y的条件分布律 47 二 连续型二维随机变量 X Y 的条件数学期望 绝对收敛时 则称其为 在X x条件下 关于 随机变量Y的条件数学期望 记为 若积分 设在条件X x下Y的条件概率密度为fY X y x 48 概率论与数理统计 十二 结束 作业 习题四的16 17 18 20 演示20 演示21 49 16 50 17 51 18 52 20 53 矩母函数定义 两个重要的函数 设随机变量X的各阶原点矩为 k E Xk 则称 为随机变量X的矩母函数 显然有 和 54 特征函数定义 设随机变