高考数学一轮复习 第二章 第2讲 函数的单调性与最值配套课件 理 新人教A版 .ppt

第2讲函数的单调性与最值 考点梳理 1 单调函数的定义设函数f x 的定义域为i 如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量x1 x2 当x1 x2时 若 则f x 在区间d上是增函数 若 则f x 在区间d上是减函数 2 单调性 单调区间的定义若函数f x 在区间d上是 或 则称函数f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 区间d叫做f x 的单调区间 1 函数的单调性 f x1 f x2 f x1 f x2 增函数 减函数 一般地 设y f x 的定义域为a 如果存在x0 a 使得对于任意的x a 都有 那么称f x0 为y f x 的最大值 记为ymax f x0 如果存在x0 a 使得对于任意的x a 都有 那么称f x0 为y f x 的最小值 记为ymin f x0 2 函数的最值 f x f x0 f x f x0 一个命题规律求函数的单调区间及单调性的应用 如应用单调性求值域 比较大小 解 或证明 不等式等 运用定义法或导数法判断或证明函数的单调性等 函数的单调性是高考的热点问题 助学 微博 函数单调性的四种判断方法 1 定义法 取值 作差 变形 定号 下结论 2 复合法 同增异减 即内外函数的单调性相同时 为增函数 不同时为减函数 3 导数法 利用导数研究函数的单调性 4 图象法 利用图象研究函数的单调性 答案 1 考点自测 解析因为f x 在 0 上单调递增 且x2 1 2x x x 0 所以f x2 1 f x 答案f x2 1 f x 解析因为f x 是定义域 0 上的增函数 所以由f x2 2 f 3x 得x2 2 3x 即x2 3x 2 0 解得1 x 2 答案 1 2 3 2013 连云港模拟 已知函数f x 2x lnx 若f x2 2 f 3x 则x的取值范围是 解析因为2x与log2x都是 1 2 上的增函数 所以f x 2x log2x是 1 2 上的增函数 所以f 1 f x f 2 即2 f x 5 答案 2 5 4 2012 镇江市调研 函数f x 2x log2x x 1 2 的值域为 解析f x 在 a 上是减函数 对于g x 只有当a 0时 它有两个减区间为 1 和 1 故只需区间 1 2 是f x 和g x 的减区间的子集即可 则a的取值范围是0 a 1 答案 0 1 审题视点可利用定义或导数法讨论函数的单调性 考向一函数单调性的判断 当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 函数f x 在 1 1 上递减 当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 函数f x 在 1 1 上递增 方法总结 证明函数的单调性用定义法的步骤 取值 作差 变形 确定符号 下结论 1 若a 2 试证f x 在 2 内单调递增 2 若a 0且f x 在 1 内单调递减 求a的取值范围 a 0 x2 x1 0 要使f x1 f x2 0 只需 x1 a x2 a 0恒成立 a 1 综上所述知0 a 1 3 若f x m2 2am 1对所有的a 1 1 恒成立 求实数m的取值范围 考向二函数单调性的应用 3 f 1 1 f x 在 1 1 上单调递增 在 1 1 上 f x 1 问题转化为m2 2am 1 1 即m2 2am 0 对a 1 1 成立 下面来求m的取值范围 设g a 2m a m2 0 若m 0 则g a 0 0 对a 1 1 恒成立 若m 0 则g a 为a的一次函数 若g a 0 对a 1 1 恒成立 必须g 1 0 且g 1 0 m 2 或m 2 m的取值范围是m 0或m 2或m 2 方法总结 函数单调性的应用 主要有两个方面 即应用单调性求字母取值范围 二是应用单调性比较数值大小或解函数不等式 2 由题意 当x 1时 2 ax 2 a 0 所以a 2且a 1 a 0 若a0 则2 ax是减函数 要使f x 是区间 0 1 上的减函数 必有a 1 0 即a 1 所以1 a 2 综上 得a的取值范围是 0 1 2 考向三函数的最值及其应用 方法总结 不等式m f x 恒成立 m f x max m f x 恒成立 m f x min 训练3 若对任意x 0 1 函数f x x x a 2的值恒为负数 则实数a的取值范围是 答案 1 3 定义新的函数有关的概念 是近几年我省高考的一大亮点 无论填空题还是解答题都可能出现 解这类问题关键是化归 即将不熟悉的新问题化归到一般性的常规的数学问题 热点突破5函数中创新性问题的求解方法 一 定义新的函数概念与已知函数原有概念的关系 示例 2011 四川卷 函数f x 的定义域为a 若x1 x2 a且f x1 f x2 时总有x1 x2 则称f x 为单函数 例如 函数f x 2x 1 x r 是单函数 下列命题 函数f x x2 x r 是单函数 若f x 为单函数 x1 x2 a且x1 x2 则f x1 f x2 若f a b为单函数 则对于任意b b 它至多有一个原象 函数f x 在某区间上具有单调性 则f x 一定是单函数 其中的真命题是 写出所有真命题的编号 审题与转化 第一步 本题考查 单函数 的定义 映射的概念 四种命题间的关系 规范解答 第三步 对于函数f x x2 取x1 1 x2 1可知不正确 该命题为定义的逆否命题与原命题等价 是真命题 由于f x 是单函数 所以对于集合b中的任意元素b 至多只有一个原象 所以正确 f x x2在区间 0 上具有单调性 但它在r上不是单函数 故填 反思与回顾 第四步 本题考查学生对新概念 单函数 的理解及其性质的应用 考查学生对所学知识 映射 与新概念之间的联系及应用 属于较难题 1 求证 函数f x 具有性质p b 2 求函数f x 的单调区间 审题与转化 第一步 由性质p a 的定义直接验证 反思与回顾 第三步 讨论函数的单调性 如无特殊说明 尽可能用导数法 另外 本题容易忽视对方程x2 bx 1 0根的讨论 即验证x1 1 x2 1 答案 高考经典题组训练 解析y cos2x与y log2 x