王争如 第2章 2k因子设计.ppt

2 1因子设计的一般概念2 22k因子设计 第2章2K因子设计 主讲 王争如 2 1因子设计的一般概念 1 因子设计概念 实验中所涉及到的全部实验因素的各水平全面组合形成不同的实验条件 每个实验条件下进行两次或两次以上的独立重复实验 因子设计的最大优点是所获得的信息量很多 可以准确地估计各实验因素的主效应的大小 还可估计因素之间各级交互作用效应的大小 2k因子设计是k个试验因素都设置两水平的试验设计 共有2k个组合 是多因素全因子试验中处理最少的设计 广泛应用于各种科学研究之中 实验牵涉2个或更多因子欲研究其效果时 一般而言 因子设计 FactorialDesign 是最有效率的方法 当中所有可能的因子水准组合都被测试过 如 因子A有a个水准 因子B有b个水准 则每次反复有ab种处理 A1 A2 B1 B2 A1B1 A1B2 A2B1 A2B2 2 主要效果 MainEffect 概念 一因子 如A 的效果定义为此因子改变其水准 A1 A2 A3 所产生反应的改变 也是实验研究中的首要因子 例2 1 1设某一试验有两个因子A和B 因子A有两个水平A1 A2 因子B有两个水平B1 B2 试验所得结果数据表2 1 1所示 表2 1 1两因子实验数据表之一 表2 1 2两因子试验数据表之二 试考查因子A B的效果 解先考虑表2 1 1的情形 因子A的主要效果可看成在A的第一个水平下的平均反应与第二个水平下的平均反应之差 记为A 类似地 因子B的主要效果是 再考虑表2 1 2的情形因子A的主要效果是 Text 因子B的主要效果是 分别画出这两种情况的图形 如图2 1 1所示 a b 图2 1 1 a 无交互作用 b 有交互作用 3 交互作用 Interaction 概念 某实验中 可能发现某因子水平间反应的差异在其它因子的各水平下是不同的 此称之为因子间有交互作用 一般而言 当交互作用大时 所对应之主效果就无太多的实质的意义 同时 对AB交互作用的了解比主效果更有用 且一个显著的交互作用将会遮掩主效果的显著性 当显著的交互作用出现时 须将其它因子的水平固定后 再检视欲研究的因子 由图2 1 1看出 在 a 中B1和B2线近似平行 而在 b 中B1和B2两条线明显的相交 说明在第一种情况下 因子A B间没有交互作用 第二种情况下 因子A B间有交互作用 2 22k因子设计 主要讲22设计 2k因子设计的理解假设试验中共有k个因子 每个因子都有两个水平 这些水平可以是数量性的 如温度 压力的两个值 也可以不是数量性的 如两个机器 两种操作方法等 这些都是质量性的 这种设计的安排共有2k个不同的组合 每种组合下取一个观察值 总观察值共有2k个 因此叫2k因子设计 我们对2k设计作如下假设 1 因子是固定的 2 设计是完全随机的 3 一般都满足正态性 4 反应近似于线性 假设每一种水平组合下作n次重复观察 即取n个观察值 为了分析问题的方便引进下列记号 A 因子A的效果 B 因子B的效果 AB 交互作用A B的效果a 因子A在高水平 因子B在低水平情况下观察值之和 b 因子A在低水平 因子B在高水平情况下观察值之和 ab 因子A B都在高水平下观察值之和 l 因子A B都在低水平下的观察值之和 22设计 2 2 1 2 2 2 因子A的平均效果 在B的低水平下为 在B的高水平下为 总的平均效果是这两个数的平均值 即 因子B的平均效果 在A的低水平下为 在A的高水平下为 总的平均效果是这两个数的平均值 即 2 2 3 交互作用A B的平均效果AB定义如下 它是在B的高水平下与在B的低水平下 A的平均效果之差的平均值 即 也可以看作在B的高水平下与在B的低水平下 A的平均效果之差的平均值 即 由图2 2 1结合所得个公式可以看出 1 因子A的效果A是右边 高水平 两项之和减去右边 低水平 两项之和 再被2n除 2 因子B的效果B是上边 高水平 两项之和减去下边 低水平 两项之和 再被2n除 3 交互作用A B的效果AB是右上方 两高水平 与左下方 两低水平 两项之和减去左上方 A低B高 与右下方 A高B低 两项之和 再被2n除 b ab l a 0低 1高 高l 低0 因子B 因子A 图2 2 122设计的因子水平组合 定义2 2 1若有线性组合满足约束条件 则称这样的线性组合为对照 contrast 并记为 2 2 4 2 2 5 有了这一定义 则C的离差平方和为 方差分析 根据式 2 2 4 和式 2 2 5 从式 2 2 1 式 2 2 2 和式 2 2 3 可以定义因子A B 交互作用A B的总效果分别为 2 2 6 2 2 7 2 2 8 它们都是ab a b和l的线性组合 组合的系数只有1和 1 满足 同时有 因此 A B AB的离差平方和分别为 2 2 9 2 2 10 2 2 11 例2 2 1考虑一个化学反应过程 这里有两个因素 因素A为反应物的浓度 它有两个水平 15 25 因素B为催化剂的是否使用 有两个水平 不用 用 每种组合作3次试验 因素各水平的组合情况为 A low 15 B low 不用催化剂A hight 25 B low 不用催化剂A low 15 B hight 用催化剂A hight 25 B hight 用催化剂 试分析因子A B和交互作用A B对化学反应的影响 解用前面的分析方法解这个问题由表2 2 1 很容易求出l 28 25 27 80 a 36 32 32 100 b 18 19 23 60 ab 31 30 29 90 全部试验得出的观察值如表2 2 1 表2 2 1 由此得 见式 2 2 6 2 2 7 和 2 2 8 因子A B和交互作用A B的平均效果分别为 注意 n 3 见式 2 2 1 2 2 2 和 2 2 3 再由式 2 2 9 式 2 2 10 和式 2 2 11 得离差平方和分别为 参照第1章方差分析中式 1 2 35 求总离差平方和ST和误差平方和SE 列方差分析表 如表2 2 2所示表2 2 2 对A B给出a 0 01 对AB给出a 0 05 查出F0 01 1 8 11 26 F0 05 1 8 5 23 FA 53 15 11 26 FB 19 13 11 26 FAB 2 13 5 23 所以 因子A B对化学反应均有显著影响 A的影响更显著 交互作用A B无显著影响 22设计的符号准则各因子的线性组合式按顺序l a b ab写出来 称为标准顺序 用这个因子的效果 各项的系数如表2 2 3所示 表2 2 3 如引进符号I表示整个实验的总和全用 号 把 1 1 简写为 并把行与列交换 这样就得出一个完整的符号表如表2 2 4所示 表2 2 422设计效果计算符号表 表2 2 4从纵向看 每列按l a b ab配上该列顺序的 号构成的和式 就是该列因子的 对照 定义式 表2 2 4有下列性质 1