高考数学总复习 12.4导数及其运算课件 人教版.ppt

第四讲导数及其运算 4 导数的几何意义函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率 即k f x0 相应地 切线方程为y y0 f x0 x x0 应该指出 在通常情况下 我们不用定义求函数在某一点处的导数 而是先求导函数 进而求导数值 但必须正确掌握函数在某点处的导数的定义 学会运用定义解决相关问题 3 比较导数的定义与切线的斜率 瞬时速度的定义 导数定义中的平均变化率 在切线的斜率定义中就是割线的斜率 在瞬时速度定义中就是平均速度 因此 曲线y f x 在x x0处切线的斜率就是f x0 物体在t0时刻的瞬时速度就是位移s s t 在t0处的导数s t0 4 注意区分曲线在p点处的切线和曲线过p点的切线 前者p点为切点 后者p点不一定为切点 一般情况下 曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点 axln a 注意 用导数定义求导是求导数的基本方法 但运算较繁琐 利用常用函数的导数公式以及导数运算法则 可以大大简化求导过程 降低运算难度 1 和或差的导数 两个可导函数和或差的导数等于两个函数的导数的和或差 2 积的导数 两个可导函数积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数 加上第二个函数的导数乘以第一个函数 3 商的导数 两个可导函数商的导数等于分子的导数与分母的积 减去分母的导数与分子的积 再除以分母的平方 注意 1 导数的概念本身就是求函数在某一点处导数的方法之一 而利用可导函数四则运算的求导法则 复合函数的求导法则将一些复杂运算转化为几种常见函数和指数函数 对数函数的求导法则运算 在求函数导数的过程中 首先要注意分析函数的结构和特征 选择恰当的求导法则和公式 然后再进行求导 2 由积的导数公式可得 c u c u c为常数 因此对函数进行求导时 可把函数的常数因子提到导数运算外来 四 复合函数的导数复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积 即 设y f u u x 则yx yu ux f u x 注意 1 掌握复合函数的求导方法 关键在于分清函数的复合关系 适当选定中间变量 明确分步计算中的每一步是对哪个变量求导 2 复合函数的复合次数为3次或3次以上时 法则仍然适用 比如y g u u u v v v x 则yx g u u v v x 答案 b 解析 由题意得 y e 2x 1 e 2x 2x 2e 2x 则在点 0 2 处的切线斜率为k 2e0 2 切线方程为 y 2x 2 答案 a 解析 f x 4 3cosx 0 可设f x 4x 3sinx a 又 f 0 0 f 0 a 0 f x 4x 3sinx 又 f x 4x 3sinx f x f x 为奇函数 且在 1 1 内单调递增 答案 b 5 设f x xlnx 若f x0 3 则x0等于 题后总结 1 求函数的导数时要准确地把函数分割为基本初等函数的和 差 积 商及其复合运算 再利用运算法则求导 在求导过程中 要仔细分析函数解析式的结构特征 紧扣法则 联系基本初等函数求导公式 对于不具备求导法则的结构形式要适当变形 2 复合函数的求导方法 分清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的 适当选定中间变量 分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导 而其中特别要注意的是与中间变量的关系 根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则 求出各函数的导数 并把中间变量表示成自变量的函数 12分 若直线y kx与曲线y x3 3x2 2x相切 试求k的值 规范解答 y x3 3x2 2x y 3x2 6x 2 y x 0 2 2分又 直线与曲线都经过原点 则 若直线与曲线切于原点时 k 2 4分 题后总结 1 曲线的切线方程的求法 已知切点 x0 f x0 a 求出函数f x 的导数f x b 将x0代入f x 求出f x0 即得切线的斜率 c 写出切线方程y f x0 f x0 x x0 并化简 如果已知点 x1 y1 不是切点 则设出切点 x0 f x0 表示出切线方程 再将 x1 y1 代入切线方程 求出x0 从而确定切线方程 2 已知直线与曲线相切时 若切点不明确 则可设出切点p x0 y0 利用曲线对应的方程求得曲线在p x0 y0 处切线的斜率 再利用切线方程 求得直线的斜率 最后利用两斜率相等建立方程求解 活学活用 2 已知直线l1为曲线y x2 x 2在点 1 0 处的切线 l2为该曲线的另一条切线 且l1 l2 1 求l1 l2的方程 2 求由直线l1 l2和x轴所围成的三角形的面积 错因分析 解本题易出现的错误为 1 不理解导数的几何意义 求错切线方程 2 不能根据第 1 问的结果寻找合理的方法求解g t 在根据两点间距离公式求出g t 后 不能正确利用根与系数的关系进行整体代入 导致最后结果错误 状元笔记 导数的几何意义函数在一点处的导数值是函数图象在该点处的切线的斜率 但在许多问题中 往往是要解决函数图象外的一点向函数图象上引切线的问题 解决这类问题的基本思想是设出切点坐标 根据导数的几何意义写出切线方程 如本题中写出曲线上任意一点处的切线方程后 把p点坐标代入 就会得到一个仅仅含有参数t的方程 而