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文档简介
13.4课题学习最短路径问题教学设计一、教学目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题。2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用。3.体会轴对称的“桥梁”作用,感悟转化思想。二、重点难点:重点:1.能将实际问题抽象为数学问题;2.能通过逻辑推理证明所求距离最短。难点:能通过逻辑推理证明所求距离最短,体会轴对称的“桥梁”作用,感悟转化思想。三、教学过程:(一)回顾与思考:1.点到点:两点之间,线段最短。练习一:两个村庄之间要修一条公路,怎样设计才能最省材料?先将实际问题转化为数学问题,将村庄用点来表示,最后利用“两点之间,线段最短”解决。2. 点到线:垂线段最短。练习二:从河边引水到村庄里,怎样铺设管道才能最省材料? 同样先将实际问题转化为数学问题,将村庄用点表示,河流用直线表示,最后利用“垂线段最短”解决。3.思考:同学们觉得上述两个问题有什么共同特点,解决方法有什么类似之处? 都是将实际问题转化为数学问题,从而解决了实际问题。设计意图:回顾反思,掌握知识点间的联系,用问题的形式,引起学生的注意,激发学生探索数学奥秘的热情。(2) 过程探究1、 课例探究探究1. 要在燃气管道l上修建一个泵站C,分别向A、B两镇供气,泵站C修在管道l的什么地方,可以最省材料?转化猜想尝试验证总结请把你的猜想在练习纸上尝试一下,画一画。 A l B设计意图:通过添加一条直线,利用学过的“两点之间,线段最短”解决这一类实际问题,体会以不变应万变的数学方法。 探究2.如图,要在燃气管道l上修建一个泵站C,分别向A、B两镇供气,泵站C修在管道l的什么地方,可以最节省材料?B A l 猜想一下,点C的位置会在哪儿呢? 请把你的猜想在练习纸上尝试一下,画一画,量一量。设计意图:在探究一的基础上,改变点的位置,引导学生用已有的经验和方法解决类似的问题,体会思考问题、解决问题的方法。探究3.在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气,若泵站修在点C处最省材料,你知道点C是怎么找到的吗?试着画一画吧 B A L C 求:线段AC+BC最短。 证明:在l上任取另一点C, 连结BC、AC、BC 直线MN是点B、B的对称轴,点C、C在对称轴上, BC=BC,BC=BC BC+AC=BC+AC=AB BC+AC=BC+AC 在ABC中,AC+BC AB 即:AC+BC AC+BC问:通过以上几个问题的探究、学习,请同学们总结一下,解决类似最短路径问题时,应采用什么方法,具体步骤是什么?设计意图:在探究二的方法选择遇到困难的基础上,给出C点的正确位置,引导学生用已有的经验和方法去验证能否刚好得到C点,最终确定可行的方法,并通过推理验证其正确性和唯一性。总结归纳:解决最短路径问题的基本步骤:1.实际问题-数学问题(点、线);2.未知-已知;3.利用轴对称变换将“折”线段转化为“直”线段;4.根据“两点之间,线段最短” ,确定最短路径。设计意图:通过小组合作,学生经历了思考,探索,总结的过程,加强团队合作,提升自主学习的信心。2、练习巩固:练习1.如图,在平面直角坐标系中,点A(-2,4),B(4,2),在x轴上取一点P,使点P到点A和点B的距离之和最小,求点P的位置.设计意图:将新知应用到平面直角坐标系中,找到问题中的直线,会确定该问题的类型并利用新知解决。练习2. 已知:P、Q是ABC的边AB、AC上的点,你能在BC上确定一点R,使PQR的周长最短吗?设计意图:将图形变换为三角形,让学生在更复杂的图形下,找出基本图形,从而用新知解决问题。练习3.已知等腰ABC,AB=AC,AD是BC边上的高,E是AB边上的中点,(1)在AD上找到点p,使PB+PE最短;(2)在AC上找到点p1,使PB+PE最短。设计意图:应用轴对称的知识方法,解决不同类型的最短路径问题,从轴对称的“桥梁”作用中,感悟转化思想。(三)课堂小结:老师和学生一起回忆:(1)我们学到了什么知识?最短路径问题的基本模型:(同侧) B A l(异侧)A l B(2)我们掌握了什么方法? 利用
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