线性代数方程组.ppt

第三章线性代数方程组 第一节矩阵的秩第二节线性代数方程组的解第三节向量的线性相关与线性无关第四节线性方程组的结构 第一节矩阵的秩 3 1 1矩阵的秩的概念3 1 2秩的计算 返回 3 1 1矩阵的秩的概念 定义1对于m n矩阵A 称其一切非退化方子矩阵的最高阶数k为A的秩 rank 记作r A 并规定r 0 0 例1求下面矩阵的秩 因为矩阵没有4阶子式 则r A 4 矩阵A的第1 2行是对应成比例的 而A的任一个3阶只是必然同时含有A的第1和第2行的部分 按行列式的性质知A的任一3阶子式皆等于零 故r A 3 并且有2阶子式所以r A 2 矩阵的秩的一些相关性质 若发现A有一个非零k阶子式 则必有r A k 而在r A k时 表明A又非零的k阶子式 但并不说明A的k阶子式均不为零 然而可以断定一切高于k阶 如果存在的话 的子式必为零 若A是m n矩阵 则必有r A min m n r A r A 当且仅当A是零矩阵时 r A 0 若A是n阶矩阵 则r A n 当且仅当det A 0时 r A n 故也将行列式不为零的矩阵 非退化矩阵 称为满秩阵 并称退化阵为降秩阵 返回 3 1 2矩阵秩的计算 定义2称满足以下两个条件的m n矩阵为梯矩阵 1 第k 1行的首非零元 如果有的话 前的零元个数大于第k行的这种零元个数 k 1 2 m 1 2 如果某行没有非零元 则其下所有行的元全为零 行最简形式一个矩阵的非零行的第一个非零元为1 且这些非零元所在列的其它元素都为0 例2对A进行行初等变换化为行最简形式B 解 定理1任一m n矩阵A经有限次行初等变换后秩不变 推论1任一m n矩阵A经有限次列初等变换后秩不变 推论2设A是任一m n矩阵 而B是m 或n 阶满秩阵 则必有r BA r AB r A 推论3若已知任一m n矩阵A的标准形分解A PNQ其中N 则必有r A r 即为单位阵的阶数 定理2任一m n矩阵A必可通过有限次行初等变换而化成梯矩阵 例3对矩阵用行初等变换法将其化成梯矩阵 解 根据定理1 从最后的梯矩阵B可以看出矩阵A的秩 即r A r B 3 计算矩阵的秩的方法 求一个与A等价的梯矩阵 然后数出该梯矩阵的非零行的行数而观察得到r A 返回 第二节线性代数方程组的解 3 2 1齐次与非齐次线性方程组相容性的判定定理3 2 2齐次与非齐次线性方程组求解步骤与举例 返回 3 2 1齐次与非齐次线性方程组相容性的判定定理 定理3n元线性方程组Ax b 1 无解的充要条件是r A r 2 有惟一解的充要条件是r A r n 3 有无限多解的充要条件是r A r n 返回 3 2 2齐次与非齐次线性方程组的求解步骤与举例 1 对于非齐次线形方程组 把它的增广矩阵 化成阶梯形 从 的行阶梯形可同时看出r A 和r 若r A r 则方程组无解 2 若r A r 则进一步把 化成行最简形式 而对于齐次线性方程组 则把系数矩阵A化成行最简形式 3 设r A r r 把行最简形式中r个非零首元所对应的非零元对应的未知数取作非自由未知量 其中n r个未知量取作自由未知量 并令自由未知量分别等于 由 或A 的行最简形式 即可写出含n r个参数的通解 例1求解非齐次线性方程组解 对增广矩阵 实行行初等变换 即得 亦即通解为定理4 1 线性方程组Ax b有解的充要条件是r A r A b 2 n元齐次线性方程组Ax 0有非零解的充要条件是r A n 返回 第三节向量的线性相关与线性无关 3 3 1概念3 3 2性质3 3 3向量组的秩3 3 4矩阵的行秩与列秩 返回 3 3 1向量的线性相关与线性无关的概念 定义3对给定的一组k个向量 若存在不全为零的数 使成立称这k个向量 或该向量组 是线性相关的 相反 当且仅当时上式才成立 则称它们是线性无关的 例1已知向量线性无关 而试证向量亦线性无关 解 从定义出发 考察由于 成为由线性无关 可推出对这个齐次方程组 因系数行列式可推出必有 故亦线性无关 返回 3 3 2性质 定理5向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可依其余向量线性表示 k 2 定理6若已知向量线性无关 而加上向量后 向量 成线性相关 则向量必可由线性表出 且表出式是惟一确定的 性质1对一组给定向量 若将其每个向量都删去若干具有相同序号的分量 形成一组 截短 向量 则当线性无关时 原向量必线性无关 性质2一组线性无关向量的任一部分组必线性无关 性质3给定一组向量 若对其每个向量 都添加 插入若干同序号的分量 形成一组 加长 向量线性相关时 原向量必线性相关 性质4具有线性相关部分向量组的任一组向量必是线性相关的 性质5含有零向量的任一组向量必是线性相关的 性质6当n k时 k个n维向量必线性相关 线性相关性与线性方程组解的关系 确定向量的线性相关性 相当于确定以为系数矩阵的齐次线性方程组是否有零解 确定向量能否由线性表出 相当于讨论非齐次线性方程组的相容性 返回 3 3 3向量组的秩 定义4称给定一组向量之具有如下两条性质的部分组 为最大线性无关 部分 组 1 线性无关 2 每个向量皆可由其线性表示 例2求向量组的一个最大线性无关组 解 设 对A进行行初等变换化为阶梯形矩阵 向量组的三个非零行的第一个非零向量分别位于第1 2 4列 故为向量组的一个最大无关组 定义5若是给定向量组的一个最大线性无关组 则称该最大线形无关组所含向量的个数r为给定向量组的秩 等价向量组 对给定的两组向量 若前一组的每个向量皆可由后一组向量线性表出 同时 后一组的每个向量也可由前一组向量线性表出 就称这两组向量等价 返回 3 3 4矩阵的行秩与列秩 定义6对m n矩阵 分别称列向量组及行向量组的秩A的列秩与行秩 分别记作及 定理7设A是任一m n矩阵 则其列秩必等于A的秩r A 行秩必也等于A的秩r A 即有 r A 返回 第四节线性方程组解的结构 3 4 1齐次线性方程组3 4 2非齐次线性方程组 返回 3 4 1齐次线性方程组 齐次线性方程组解的性质 1 两个解的和还是方程组的解 2 一个解的倍数还是方程组的解 3 解的线性组合还是方程组的解 定义7齐次线性方程组Ax 0的一组解称为Ax 0的一个基础解系 如果 1 Ax 0的任一个解都能表成的线性组合 2 线性无关 定理8在齐次线性方程组有非零解的情况下 它有基础解系 并且基础解系所含解的个数等于n r 这里r表示系数矩阵的秩 n r也就是自由未知量的个数 返回 3 4 2非齐次线性方程组 若把一般线性方程组Ax b的常数项换成0 就得到齐次线性方程组Ax 0 则方程组Ax 0称为方程组Ax b的导出组 非齐次线性方程组解的性质 线性方程组Ax b的两个解的差是它的导出组Ax 0的解 线性方程组Ax b的一个解与它的导出组Ax 0的一个解之和还是这个线性方程组的解 定理 如果是方程组Ax b的一个特解 那么方程组的任一解 都可以表成 其中 是导出组Ax 0的一个解 推论在方程组Ax b有解的条件下 解是唯一的充