高考数学一轮总复习 第二篇 第2讲 函数的单调性与最值课件 理 湘教版.ppt

第2讲函数的单调性与最值 2014年高考会这样考 1 考查求函数单调性和最值的基本方法 2 利用函数的单调性求单调区间 3 利用函数的单调性求最值和参数的取值范围 4 函数的单调性和其它知识结合综合考查求函数最值 比较大小 解不等式等相关问题 考点梳理 1 单调函数的定义 1 函数的单调性 任意 f x1 f x2 f x1 f x2 上升的 下降的 2 单调性 单调区间的定义如果函数y f x 是区间i上的递增函数或递减函数 就说f x 在i上 区间i叫做f x 的 严格单调 严格单调区间 3 差分在上述定义中 记x x1 x h x2 条件x1 x2可以写成h 0 f x1 f x2 可以写成f x h f x 0 f x1 f x2 可以写成f x h f x 0 差式f x h f x 叫作函数在区间i上的 如果不加说明 总认为h 0 这样 差分为正的函数就是 差分为负的函数就是 差分 递增函数 递减函数 设d是函数f x 的定义域 i是d的一个非空的子集 1 上界和下界如果有实数b使得f x b对一切x d成立 称b是函数f的一个 如果有实数a使得f x a对一切x d成立 称a是函数f的一个 有上界又有下界的函数叫 否则叫 2 函数的最值 上界 下界 有界函数 无界函数 2 函数的最大值如果有a d 使得不等式 对一切x d成立 就说f x 在x a处取到 称m为f x 的 a为f x 的 3 函数的最小值如果有a d 使得不等式 对一切x d成立 就说f x 在x a处取到 称m为f x 的 a为f x 的 f x f a 最大值m f a 最大值 最大值点 f x f a 最小值m f a 最小值点 最小值 一个防范单调区间只能用区间表示 不能用集合或不等式表示 如有多个单调区间应分别写 不能用符号 联结 也不能用 或 联结 两种形式设任意x1 x2 a b 且x1 x2 那么 助学 微博 两条结论 1 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值 当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到 2 开区间上的 单峰 函数一定存在最大 小 值 a f 3 1 f 1 f 2 f 3 又函数f x loga x 为偶函数 所以f 2 f 2 所以f 1 f 2 f 3 答案b 考点自测 1 已知函数f x loga x 在 0 上单调递增 则 a 恒为正值b 恒等于零c 恒为负值d 无法确定正负解析f x 为奇函数且x 0时f x 为减函数 故f x 在r上是减函数 由x1 x2 0 得x1 x2 故f x1 f x2 即f x1 f x2 0 即f x1 f x2 0 答案c 2 2013 西安调研 设f x 为定义在r上的奇函数 且当x 0时 f x 单调递减 若x1 x2 0 则f x1 f x2 的值 3 2012 广东 下列函数中 在区间 0 上为增函数的是 解析采用验证法 易知函数y ln x 2 在 2 上是增函数 因此在 0 上是增函数 故选a 答案a a 1 0 b 1 0 0 1 c 0 1 d 0 1 解析f x x2 2ax的对称轴为x a 要使f x 在 1 2 上为减函数 必须有a 1 又g x a 1 1 x在 1 2 上是减函数 所以a 1 1 即a 0 故0 a 1 答案d 4 2013 北碚模拟 若函数f x x2 2ax与g x a 1 1 x在区间 1 2 上都是减函数 则a的取值范围是 审题视点 可利用定义或导数法讨论函数的单调性 考向一函数单调性的判断及应用 当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 函数f x 在 1 1 上递减 当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 函数f x 在 1 1 上递增 证明函数的单调性用定义法的步骤 取值 作差 变形 确定符号 下结论 1 若a 2 试证f x 在 2 内单调递增 2 若a 0且f x 在 1 内单调递减 求a的取值范围 a 0 x2 x1 0 要使f x1 f x2 0 只需 x1 a x2 a 0恒成立 a 1 综上所知0 a 1 即a的取值范围为 0 1 审题视点 先确定定义域 再利用复合函数的单调性求解 考向二求函数的单调区间 求复合函数y f g x 的单调区间的步骤 1 确定定义域 2 将复合函数分解成两个基本初等函数 3 分别确定两基本初等函数的单调性 4 按 同增异减 的原则 确定原函数的单调区间 1 求证 f x 在r上是减函数 2 求f x 在 3 3 上的最大值和最小值 审题视点 抽象函数单调性的判断 仍须紧扣定义 结合题目作适当变形 1 证明法一 函数f x 对于任意x y r总有f x f y f x y 令x y 0 得f 0 0 再令y x 得f x f x 考向三抽象函数的单调性及最值 在r上任取x1 x2 则x1 x2 0 f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 x2 又 x 0时 f x 0 f x1 x2 x2 则f x1 f x2 f x1 x2 x2 f x2 f x1 x2 f x2 f x2 f x1 x2 又 x 0时 f x 0 f x1 x2 0 即f x1 f x2 f x 在r上为减函数 2 解 f x 在r上是减函数 f x 在 3 3 上也是减函数 f x 在 3 3 上的最大值和最小值分别为f 3 与f 3 而f 3 3f 1 2 f 3 f 3 2 f x 在 3 3 上的最大值为2 最小值为 2 1 求f 1 的值 2 判断f x 的单调性 3 若f 3 1 求f x 在 2 9 上的最小值 命题研究 从近三年的高考试题来看 函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点 题型既有选择题 填空题 又有解答题 难度中等偏高 客观题主要考查函数的单调性 最值的灵活确定与简单应用 主观题在考查基本概念 重要方法的基础上 又注重考查函数方程 等价转化 数形结合 分类讨论的思想方法 规范解答1 利用函数的单调性求参数的范围 预测2014年高考仍将以利用导数求函数的单调区间 研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点 重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力 教你审题 1 根据导函数大于零和小于零即可得出函数的单调区间 但求解过程中要注意对参数k进行分类讨论 所以f x 的单调递增区间是 k 和 k 单调递减区间是 k k 4分 当k 0时 f x 与f x 的变化情况如下 所以f x 的单调递减区间是 k 和 k 单调递增区间是 k k 6分 阅卷老师手记 1 导数法是研究函数单调性的重要工具 利用导数研究函数单调性应注意三个方面 一是求导之后函数的定义域可能会发生变化 要在函数的定义域内分析导函数的符号 二是若求函数的单调区间可直接转化为f x 0 或f x 0 的解集求解 若函数在区间m上的单调递增 递减 则应转化为f x 0 或f x 0 在区间m上的恒成立问题求解 三是当含有参数时 要注意对参数的取值范围进行分类讨论 3 利用导数法求解函数最值的实质是利用函数的单调性确定最值 应该注意三个问题 一是在利用导函数判断函数单调性时要注意函数定义域 二是准确求导 三是要注意极值与最值的区别 第一步 求函数的定义域 若题设中有对数函数一定先求定义域 若题设中有三次函数 指数函数可不考虑定义域 第二步 求函数f x 的导数f x 并令f x 0 求其根 第三步 利用f x 0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间 并列表 第四步 由f x 在小开区间内的正 负值判断f x 在小