高考数学一轮复习 第六章 第4讲 等差数列、等比数列与数列求和配套课件 理 新人教A版 .ppt

第4讲等差数列 等比数列与数列求和 考点梳理 1 等差数列与等比数列的联系等差数列 an 中的加 减 乘 除运算与等比数列 an 中的乘 除 乘方 开方对应 2 等差数列与等比数列的探求要判定一个数列是等差数列或等比数列 可用定义法或等差 比 中项法 而要说明一个数列不是等差数列或等比数列 只要说明某连续三项不成等差数列或等比数列即可 1 等差数列与等比数列 1 公式法 直接利用等差数列 等比数列的前n项和公式求和 等差数列的前n项和公式 2 数列求和的常用方法 2 倒序相加法 如果一个数列 an 的前n项中首末两端等 距离 的两项的和相等或等于同一个常数 那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法 如等差数列的前n项和即是用此法推导的 3 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的 那么这个数列的前n项和即可用此法来求 如等比数列的前n项和就是用此法推导的 4 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差 在求和时中间的一些项可以相互抵消 从而求得其和 5 分组转化求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成 则求和时可用分组求和法 分别求和而后相加减 6 并项求和法 一个数列的前n项和中 可两两结合求解 则称之为并项求和 形如an 1 nf n 类型 可采用两项合并求解 例如 sn 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5050 一种转化思路一般数列求和 应从通项入手 若无通项 先求通项 然后通过对通项变形 转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式 从而选择合适的方法求和 助学 微博 答案 11 考点自测 解析由a4 a3 a2q2 a2q 2q2 2q 4 解得q 2 q 1 答案2 2 2011 广东卷 已知 an 是递增等比数列 a2 2 a4 a3 4 则此数列的公比q 3 2012 无锡市第一学期期末考试 设sn是等比数列 an 的前n项和 s3 s9 s6成等差数列 且a2 a5 2am 则m 答案8 答案19 答案7 2 是否存在两个等比数列 an bn 使得b1 a1 b2 a2 b3 a3 b4 a4成公差不为0的等差数列 若存在 求 an bn 的通项公式 若不存在 说明理由 考向一等差数列与等比数列的综合 例1 2011 江西卷 1 已知两个等比数列 an bn 满足a1 a a 0 b1 a1 1 b2 a2 2 b3 a3 3 若数列 an 唯一 求a的值 q2 得a1 q1 q2 q1 1 2 0 由a1 0得q1 q2或q1 1 当q1 q2时 由 得b1 a1或q1 q2 1 这时 b2 a2 b1 a1 0 与公差不为0矛盾 当q1 1时 由 得b1 0或q2 1 这时 b2 a2 b1 a1 0 与公差不为0矛盾 综上所述 不存在两个等比数列 an bn 使b1 a1 b2 a2 b3 a3 b4 a4成公差不为0的等差数列 方法总结 对等差 等比数列的综合问题的分析 应重点分析等差 等比数列的通项及前n项和 分析等差 等比数列项之间的关系 往往用到转化与化归的思想方法 1 求数列 an 的通项公式 2 设数列 bn 满足b1 3 令bn 1 abn 设数列 bn 的前n项和为tn 求数列 tn 6n 中最小项的值 训练1 2012 苏州市自主学习调查 已知数列 an 各项均为正数 其前n项和为sn 点 an sn 在曲线 x 1 2 4y上 2 由已知得b1 3 bn 1 2bn 1 则bn 1 1 2 bn 1 所以 bn 1 是首项为2 公比为2的等比数列 所以bn 1 2 2n 1 2n 即bn 2n 1 所以tn b1 b2 bn 21 22 2n n 设an tn 6n 2n 1 5n 2 则an 1 an 2n 1 5 所以当n 1时 有an 1an 故最小项为a2 23 10 2 4 即数列 tn 6n 中最小项的值为 4 例2 2012 盐城调研二 在数列 an 中 a1 1 且对任意的k n a2k 1 a2k a2k 1成等比数列 其公比为qk 1 若qk 2 k n 求a1 a3 a5 a2k 1 考向二等差数列与等比数列的判定或证明 方法总结 求数列通项或前n项和 首先考虑原数列是否是等差数列或等比数列 可以通过定义或等差 比 中项作出判断或证明 1 求 an 的通项公式 2 等差数列 bn 的各项为正 其前n项和为tn 且t3 15 又a1 b1 a2 b2 a3 b3成等比数列 求tn 解 1 由an 1 2sn 1 可得an 2sn 1 1 n 2 两式相减得an 1 an 2an 则an 1 3an n 2 又a2 2s1 1 3 a2 3a1 故 an 是首项为1 公比为3的等比数列 an 3n 1 训练2 数列 an 的前n项和记为sn a1 1 an 1 2sn 1 n 1 2 设 bn 的公差为d 由t3 15 b1 b2 b3 15 可得b2 5 故可设b1 5 d b3 5 d 又a1 1 a2 3 a3 9 由题意可得 5 d 1 5 d 9 5 3 2 解得d1 2 d2 10 等差数列 bn 的各项为正 d 0 考向三裂项相消法求和 方法总结 使用裂项相消法求和时 要注意正负项相消时消去了哪些项 保留了哪些项 切不可漏写未被消去的项 未被消去的项有前后对称的特点 实质上造成正负相消是此法的根源与目的 审题视点 1 由已知写出前n 1项之和 两式相减 2 bn n 3n的特点是数列 n 与 3n 之积 可用错位相减法 考向四错位相减法求和 方法总结 解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列 3n 1an 的前n项和 从而利用an与sn的关系求出通项3n 1an 进而求得an 另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法 但值得注意的是 这种方法运算过程复杂 运算量大 应加强对解题过程的训练 重视运算能力的培养 训练4 2011 辽宁卷 已知等差数列 an 满足a2 0 a6 a8 10 1 求数列 an 的通项公式 等差数列和等比数列既相互区别 又相互联系 高考作为考查学生综合能力的选拔性考试 将两类数列综合起来考查是高考的重点 这类问题多属于两者基本运算的综合题以及相互之间的转化 规范解答10怎样求解等差与等比数列的综合性问题 示例 2011 湖北卷 成等差数列的三个正数的和等于15 并且这三个数分别加上2 5 13后成为等比数列 bn 中的b3 b4 b5 1 求数列 bn 的通项公式 审题路线图 正确设等差数列的三个正数 利用等比数列的性质解出公差d 从而求出数列 bn 的首项 公比 利用等比数列的定义可解决第 2 问 解答示范 1 设成等差数列的三个正数分别为a d a a d 依题意 得a d a a d 15 解得a 5 2分 所以 bn 中的b3 b4 b5依次为7 d 10 18 d 依题意 有 7 d 18 d 100 解得d 2或d 13 舍去 5分 故 bn 的第3项为5 公比为2 模板构建 解等差数列与等比数列的综合性问题的一般程序 第一步 搞清这个数列成等差数列还是等比数列 第二步 证明这个数列成等差数列或等比数列 符合等差 比 数列定义 用定义证明 否则用等差中项或等比中项给出证明 第三步 在原数列不是等差数列或等比数列的情况 可构造一个新的数列 使其成等差或等比数列 第四步 才是应用有关等差 比 数列的有关公式或性质求解有关问题 答案2n 高考经典题组训练 2 2012 湖北卷改编 定义在 0 0 上的函数f x 如果对于任意给定的等比数列 an f an 仍是等比数列 则称f x 为 保等比数列函数 现有定义在 0 0 上的如下函数 答案 答案100 a2 a4 12 1 求 an 的通项公式 2 记 an 的前n项和为sn 若a1 ak sk 2成等比数列 求正整数k的值 4 2012 重庆卷 已知数列 an 为等差数列 且a1 a3 8 1 求a3 a5 2 设bn a2n 1 a2n 1 n n 证明 bn 是等差数列 3 设cn an 1 an qn 1 q 0 n n 求数列 cn 的前n项和sn 解 1 由题意 令m 2 n 1可得a3 2a2 a1 2 6 再令m 3 n 1可得a5 2a3 a1 8 20 5 2010 四川卷 已知数列 an 满足a1 0 a2 2 且对任意m n n 都有a2m 1 a2n 1 2am n 1 2 m n 2 2 当n n 时 由已知 以n 2代替m