高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的线性运算 2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算课堂导学案 新人教B版必修4.doc

2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算课堂导学三点剖析 一、向量共线的概念及共线的条件 1.向量共线的概念如果向量的基线互相平行或重合,则称这些向量共线或互相平行. 2.向量共线的条件平行向量定理 平行向量定理:如果a=b,则ab;反之,如果ab(b0),则一定存在一个实数,使a=b.注意:(1)本定理由向量平行和向量数乘的定义可以直接推知.(2)本定理深刻地揭示了平面内全体与非零向量b共线的向量的基本结构.【例1】 判断向量a=-2e与b=2e是否共线.思路分析：要分e=0与e0两种情况分析.解:(1)当e=0时,则a=-2e=0.由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”,所以,此时a与b共线.(2)当e0时,则a=-2e0,b=2e0.b=-a(这时满足定理中的a0及有且只有一个实数(=-1),使得b=a成立).a与b共线.综合(1)(2)可知,a与b共线.各个击破类题演练 1已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1,e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数,使d=a+b与c共线?思路分析:根据向量共线条件列式求解.解:设存在,使得d与c共线,并设m(2e1-9e2)=(2e1-3e2)+(2e1+3e2),则m=+且m=,解得=-2,即存在实数,使得d=a+b与c共线.变式提升 1设两个非零向量e1,e2不是平行向量,试确定实数k的值,使ke1+e2和e1+ke2是两个平行向量.思路分析:运用平行向量定理列式求解.解:因为(ke1+e2)(e1+ke2),所以存在唯一实数p使ke1+e2=p(e1+ke2)成立,所以(k-p)e1=(pk-1)e2,因为e1与e2不是平行向量,且为非零向量,所以k-p=0且pk-1=0,所以k=1.温馨提示(1)向量共线的充要条件:a与b共线存在唯一使b=a(a0).(2)利用两个向量共线的充要条件证明多点共线,通常是采用列方程(组)的方法. 二、轴上向量的坐标及其运算 关于这部分内容要注意:1.轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.2.设e是轴l上的一个基向量.的坐标又常用表示,这时=abe.3.在数轴x上,已知点a的坐标为x1,点b的坐标为x2,则ab=x2-x1. 即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.这样,又可以得到数轴上两点的距离公式:|ab|=|x2-x1|.【例2】 已知轴上三点a,b,c,且ac=2,bc=-2,则ab等于( )a.0 b.4 c.-4 d.非上述答案解析：ab=ac-bc=2-(-2)=4.答案:b类题演练 2已知数轴上两点m,n,且|mn|=4,若xm=-3,则xn等于( )a.1 b.2 c.-7 d.1或-7解析:据数轴上两点间的距离公式,得|mn|=|xn-xm|=4,又xm=-3,|xn+3|=4.xn=1或-7.答案:d变式提升 2a,b,c,d是轴上任意四点,求证:ab+bc+cd+da=0.证明:设轴l上的点a,b,c,d的坐标分别为x1,x2,x3,x4,则ab+bc+cd+da=(x2-x1)+(x3-x2)+(x4-x3)+(x1-x4)=0.故原题得证. 三、三点共线问题【例3】 如图所示,在abcd中,=a,=b,m是ab中点,点n是bd上一点,| |=|.求证:m、n、c三点共线.思路分析:将点共线问题转化成向量共线问题,即证明=3.证明:=a,=b,=-=a-b.=+=b+=b+(a-b)=a+b=(2a+b).又=+=b+a=(2a+b),=3.又与有共同起点,m、n、c三点共线.温馨提示 几何中证明三点共线,通常以三点为起点和终点确定两个向量,然后看能否找到唯一的实数,使得一个向量等于另一个向量的倍,把三点共线问题转化成向量共线的问题.类题演练 3设e1、e2是不共线的向量.已知向量=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2.若a、b、d三点共线,求k的值.解:=-=(2e1-e2)-( e1+3e2)= e1-4e2,又由题设a、b、d三点共线,得存在实数,使=,2e1+ke2e2=(e1-4e2).=2,k=-4=-8.变式提升 3已知两个非零向量e1和e2不共线,如果=2e1+3e2,=6e1+23e2,=4e1-8e2,求证:a、b、d三点共线.证明:=+=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2=12e1+18e2=6(2e1+3e2)=6,向量与共线.又与有共同起点a,a、b、d三点共线.温馨提示 证明三点共线问题可转化为证明两向量平行,这是数形结合思想的具体体现,但要弄清两向量平行的含义,即两向量所在的直线平