高考数学总复习 第7章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 新人教A版 .ppt

第七章立体几何 第三节空间点 直线 平面之间的位置关系 一 平面的基本性质公理1 如果一条直线上的在一个平面内 那么这条直线在此平面内 公理2 过的三点 有且只有一个平面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们过该点的公共直线 两个点 不在同一直线上 有且只有一条 1 三个公理的作用分别是什么 提示 1 公理1的作用 判断直线在平面内 由直线在平面内判断直线上的点在平面内 2 公理2的作用 确定平面的依据 它提供了把空间问题转化为平面问题的条件 3 公理3的作用 判定两平面相交 作两平面相交时的交线 证明点共线 二 空间中点 线 面之间的位置关系 a b a 2 空间中垂直于同一直线的两条直线有怎样的位置关系 提示 可能平行 相交或异面 3 如果两条直线没有公共点 则这两条直线为异面直线 这种说法对吗 提示 不对 这样的两条直线也可能平行 三 平行公理和等角定理1 平行公理 平行于同一条直线的两条直线 2 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角 平行 相等或互补 锐角或直角 1 若三个平面两两相交 且三条交线互相平行 则这三个平面把空间分成 a 5部分b 6部分c 7部分d 8部分解析 三个平面 两两相交 交线分别是a b c 且a b c 则 把空间分成7部分 答案 c 2 下列命题正确的个数为 经过三点确定一个平面 梯形可以确定一个平面 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面重合a 0b 1c 2d 3 解析 只有当三点不共线时才能确定一个平面 故 不正确 由公理2知 正确 正确 中只有当三点不共线时两平面才重合 故不正确 因此正确命题的个数为2个 答案 c 3 在空间四边形abcd的边ab bc cd da上分别取e f g h四点 如果ef与hg交于点m 那么 a m一定在直线ac上b m一定在直线bd上c m可能在直线ac上 也可能在直线bd上d m既不在直线ac上 也不在直线bd上解析 平面abc 平面acd ac m 平面abc m 平面acd 从而m ac 答案 a 4 平面 相交 在 内各取两点 这四点都不在交线上 则这四点能确定 个平面 解析 若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行 则确定一个平面 否则确定四个平面 答案 1或4 解析 没有公共点的两直线或平行或异面 故 错 命题 错 此时两直线有可能相交 命题 正确 因为若直线a和b异面 c a 则c与b不可能平行 用反证法证明如下 若c b 又c a 则a b 这与a b异面矛盾 故c b 命题 也正确 若c与两异面直线a b都相交 由公理3可知 a c可能确定一个平面 b c也可确定一个平面 这样 a b c共确定两个平面 答案 考向探寻 1 点共线 线共点问题 2 点共面 线共面问题 3 几何体的截面问题 典例剖析 1 给出以下四个命题 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点a b c d共面 点a b c e共面 则点a b c d e共面 若直线a b共面 直线a c共面 则直线b c共面 依次首尾相接的四条线段必共面 其中正确命题的个数是a 0b 1c 2d 3 2 正方体abcd a1b1c1d1中 p q r分别是ab ad b1c1的中点 那么 正方体的过p q r的截面图形是a 三角形b 四边形c 五边形d 六边形 1 根据平面的基本性质逐一判定即可 2 画出图形 根据过点p q r的平面与正方体的每个面都有交线求解 解析 1 假设其中有三点共线 则该直线和直线外的另一点确定一个平面 这与四点不共面矛盾 故其中任意三点不共线 所以 正确 从条件看出两平面有三个公共点a b c 但是若a b c共线 则结论不正确 不正确 不正确 因为此时所得的四边形的四条边可以不在同一个平面上 如空间四边形 答案 b 2 如图所示 作rg pq交c1d1于g 延长pq与cb的延长线交于m 连接mr交bb1于e 连接pe re 同理延长pq交cd延长线于n 连接ng交dd1于f 连接qf fg 因此截面为六边形pqfgre 答案 d 1 判断由所给元素 点或直线 确定平面时 关键是分析所给元素是否具有确定平面的条件 如不具备 则一定不能确定一个平面 2 画几何体的截面 关键是画截面与几何体各侧面的交线 此交线只需两个公共点即可确定 作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件 可以更快地确定交线的位置 活学活用 1 1 已知三个命题 若点p不在平面 内 a b c三点都在平面 内 则p a b c四点不在同一平面内 两两相交的三条直线在同一平面内 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 其中正确命题的个数是 a 0b 1c 2d 3 解析 当a b c三点都在平面 内 且三点共线时 p a b c四点在同一个平面内 故 错误 三棱锥的三条侧棱所在的直线两两相交 但三条直线不在同一平面内 故 错误 两组对边分别相等的四边形也可能是空间四边形 故 错误 答案 a 2 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为cc1 aa1的中点 画出平面bed1f与平面abcd的交线 解 在平面aa1d1d内 延长d1f d1f与da不平行 d1f与da必相交于一点 设为p 则p fd1 p da 又 fd1 平面bed1f ad 平面abcd p 平面bed1f p 平面abcd 又b为平面abcd与平面bed1f的公共点 连接pb pb即为平面bed1f与平面abcd的交线 如图所示 考向探寻 1 判断给定的位置关系 2 利用平行公理判定两直线平行 典例剖析 1 2013 杭州模拟 若直线l不平行于平面 且l 则a 内的所有直线与l异面b 内不存在与l平行的直线c 内存在唯一的直线与l平行d 内的直线与l都相交 2 正方体ac1中 e f分别是线段c1d bc的中点 则直线a1b与直线ef的位置关系是a 相交b 异面c 平行d 垂直 解析 1 由题意知 直线l与平面 相交 则直线l与平面 内的直线只有相交和异面两种位置关系 因而只有选项b正确 答案 b 2 直线a1d1与直线外一点e确定的平面为a1bcd1 ef 平面a1bcd1 且两直线不平行 故两直线相交 答案 a 解决空间位置关系问题的方法 1 解决空间中点 线 面位置关系的问题 首先要明确空间位置关系的定义 然后通过转化的方法 把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决 2 解决位置关系问题时 要注意几何模型的选取 如利用正 长 方体模型来解决问题 活学活用 2 1 若异面直线a b分别在平面 内 且 l 则直线l a 与直线a b都相交b 至少与a b中的一条相交c 至多与a b中的一条相交d 与a b中的一条相交 另一条平行 解析 若a l b l 则a b 故a b中至少有一条与l相交 故选b 答案 b 2 在空间中 若四点不共面 则这四点中任何三点都不共线 若两条直线没有公共点 则这两条直线是异面直线 以上两个命题中 逆命题为真命题的是 把符合要求的命题的序号都填上 解析 对于 可举反例 如ab cd a b c d没有三点共线 但a b c d共面 对于 由异面直线定义知正确 故填 答案 考向探寻 1 异面直线的判定 2 异面直线所成的角及其求法 典例剖析 1 2013 唐山模拟 如果两条异面直线称为 1对 那么在正方体的十二条棱中共有异面直线a 12对b 24对c 36对d 48对 2 在下图中 g h m n分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则表示直线gh mn是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 3 a是 bcd平面外的一点 e f分别是bc ad的中点 求证 直线ef与bd是异面直线 若ac bd ac bd 求ef与bd所成的角 1 先确定一条棱所对应的异面直线 再求12条棱中的异面直线 注意重复的情况 2 结合图形 根据异面直线的定义判断 3 利用反证法证明即可 运用平行平移作出两异面直线所成的角 然后通过解三角形求解 2 解析 如题干图 中 直线gh mn 图 中 g h n三点共面 但m 面ghn 因此直线gh与mn异面 图 中 连接mg gm hn 因此gh与mn共面 图 中 g m n共面 但h 面gmn gh与mn异面 所以图 中gh与mn异面 答案 3 解 证明 假设ef与bd不是异面直线 则ef与bd共面 从而df与be共面 即ad与bc共面 所以a b c d在同一平面内 这与a是 bcd平面外的一点相矛盾 故直线ef与bd是异面直线 如图 取cd中点g 连eg fg e f分别为bc ad的中点 eg bd fg ac feg即为异面直线bd与ef所成的角或其补角 又ac bd eg fg fge为直角三角形 且 fge 90 1 证明两直线为异面直线的方法 定义法 不易操作 反证法 先假设两条直线不是异面直线 即两直线平行或相交 由假设的条件出发 经过严密的推理 导出矛盾 从而否定假设 肯定两条直线异面 2 求异面直线所成的角常采用 平行平移法 平移的方法一般有三种类型 利用图中已有的平行线平移 利用特殊点 线段的端点或中点 作平行线平移 补形平移 计算异面直线所成的角通常用解三角形的方法进行 文 如图所示 正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是a1b1 b1c1的中点 问 1 am和cn是否是异面直线 说明理由 2 d1b和cc1是否是异面直线 说明理由 解 1 不是异面直线 理由如下 连接mn a1c1 ac m n分别是a1b1 b1c1的中点 mn a1c1 又 a1a c1c a1acc1为平行四边形 a1c1 ac mn ac a m n c在同一平面内 故am和cn不是异面直线 2 是异面直线 证明如下 几何体abcd a1b1c1d1是正方体 b c c1 d1不共面 假设d1b与cc1不是异面直线 则存在平面 使d1b 平面 cc1 平面 d1 b c c1 与几何体abcd a1b1c1d1是正方体矛盾 假设不成立 即d1b与cc1是异面直线 12分 已知三棱锥a bcd中 ab cd 且直线ab与cd成60 角 点m n分别是bc ad的中点 求直线ab和mn所成的角 1 若 mpn 60 因pm ab 所以 pmn是ab与mn所成的角 或其补角 又因ab cd 所以pm pn 则 pmn是等边三角形 所以 pmn 60 即ab与mn所成的角为60 8分 2 若