人教B版高中数学必修五导学案数学必修五学案：均值不等式

32 均值不等式 学案【预习达标】正数a、b的算术平均数为 ；几何平均数为 均值不等式是 。其中前者是 ，后者是 如何给出几何解释？在均值不等式中a、b既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件）（1）a2+b2 ( ) （2） （ ）（3） （ ） （4）x (x0)（5）x (x0) （6）ab （ ）在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b或ab是否为 值，并且还需要注意等号是否成立6函数f(x)=x(2x)的最大值是 ；此时x的值为_； 函数f(x)=2x(2x)的最大值是 ；此时x的值为_；函数f(x)=x(22x)的最大值是 ；此时x的值为_；函数f(x)=x(2x)的最小值是 ；此时x的值为_。 【典例解析】例已知a、b、c（0，），且a+b+c=1，求证 +9例（1）已知x0，y0，且1，求xy的最小值。 （3）已知a、b为常数，求函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小值。【达标练习】一 选择题：下列命题正确的是（）a2+12a x+2 2 sinx+最小值为4以下各命题(1)x2+的最小值是1；（2）最小值是2；(3)若a0,b0,a+b=1则（a+）(b+)的最小值是4，其中正确的个数是（）0123设a0,b0则不成立的不等式为（）2 a2+b22abab 2+ 设a、bR，若a+b=2，则的最小值等于（）12 34 已知ab0，下列不等式错误的是（）a2+b22ab 二填空题：若a、b为正数且a+b=4，则ab的最大值是_已知x1.5，则函数y2x+的最小值是_已知a、b为常数且0x1，则的最小值是_三解答题：（1）设a=，b=，c=且x0，试判断a、b、c的大小。 （2）设cba，设判断与的大小。在ABC中C=90，AC=3，BC=4，一条直线分ABC的面积为相等的两个部分，且夹在AB与BC之间的线段最短，求此线段长。参考答案：【预习达标】1；2；算术平均数；几何平均数；圆中的相交弦定理的推论（略）。3a，bR；a=b42ab（a,bR）( a，bR)2（a、b同号）或2（a、b异号）22（）2（a,bR）；5定。61，1；2，1；，；1，1。 【典例解析】例1解析：原式（ +）（a+b+c）3（）（）（） 32229当且仅当a=b=c=时取等号。例解析：（1）x 4x-51，y9当且仅当x-1=y-9=3时即x=4，y=12时，取最小值16。（3）解法一、转化为二次函数求最值问题（略）解法二、（y=(x-a)2+(x-b)2y=(x-a)2+(b-x)222，当且仅当x-a=b-x即x=时，等号成立。当x=时取得最小值。【双基达标】一、1B解析：A中当a=1时不成立；C需要分a、b同号还是异号D中等号成立的条件是sinx=2。这是不可能的。实际上x+x22C解析：（1）（2）正确，（3）不正确，实际上（a+）(b+)（a+b）+2+()1225，当且仅当a=b=时等号成立。 3D解析：A、B显然正确；C中+a2b，+b2a，ab ；D中a=b=2时就不成立。 4B解析：原式（）（2）25C解析：C、D必然有一个是错误的，实际上几何平均数调和平均数二、64解析：ab477解析：y2x+y（2x3）+37 8解析：原式（）x+(1-x)=a2+b2+a2+b2+2ab=。三、9解析：（1）a=为算术平均数，b=为几何平均数，c=为平方平均数。x0cab。（2）10解析：设直线为EF，交BC于E，交AB于F，设BFx，BEy则SBEF3xy=10EF2x2+y2