高中数学 1.9《三角函数的简单应用》课件 北师大版必修4.ppt

9三角函数的简单应用 我们已经知道周期现象是自然界中最常见的现象之一 三角函数是研究周期现象最重要的数学模型 在本节中 我们将通过实例 让同学们初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题 1 体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 重点 2 体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想 从而培养学生的建模 分析问题 数形结合 抽象概括等能力 难点 例1 水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具 如图是一个水车工作的示意图 它的直径为3m 其中心 即圆心 o距水面1 2m 如果水车逆时针匀速旋转 旋转一圈的时间是min 在水车轮边缘上取一点p 点p距水面的高度为h m 1 求h与时间t的函数解析式 并作出这个函数的简图 2 讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时 所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化 若水车转速加快或减慢 函数解析式中的参数又会受到怎样的影响 水车问题 解 不妨设水面的高度为0 当点p旋转到水面以下时 p点距水面的高度为负值 显然 h与t的函数关系是周期函数的关系 故可列表 描点 画出函数在区间 11 8 91 8 上的简图 面对实际问题建立数学模型 是一项重要的基本技能 这个过程并不神秘 就像这个例题 把问题提供的 条件 逐条地 翻译 成 数学语言 这个过程是很自然的 解答应用题关键是将实际问题转化为数学模型 例2 海水受日月的引力 在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐 一般地 早潮叫潮 晚潮叫汐 在通常情况下 船在涨潮时候驶进航道 靠近船坞 卸货后 落潮时返回海洋 下面给出了某港在某季节每天几个时刻的水深 潮汐问题 1 选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系 并给出在整点时的水深的近似值 2 一条货船的吃水深度 船底与水面的距离 为4m 安全条例规定至少要有1 5m的安全间隙 船底与海底的距离 该船何时能进入港口 3 若船的吃水深度为4m 安全间隙为1 5m 该船在2 00开始卸货 吃水深度以每小时0 3m的速度减少 那么该船在什么时间必须停止卸货 将船驶向较深的水域 分析 1 考察数据 可选用正弦函数 再利用待定系数法求解 2 在涉及三角不等式时 可利用图像求解 解 1 可设所求函数为f x asin x k 由已知数据求得a 2 5 k 5 t 12 故f x 2 5sinx 5 24 12 6 18 3 9 15 21 5 2 5 7 5 在整点时的水深近似为 1 00 5 00 13 00 17 00为6 3m 2 00 4 00 14 00 16 00为7 2m 7 00 11 00 19 00 23 00为3 7m 8 00 10 00 20 00 22 00为2 8m 2 由2 5sinx 5 5 5 得 画出y sinx的图像 如图所示 由图像可得 y sinx y 0 2 0 4 x 5 6 或12 4 x 17 6 故该船在0 24至5 36和12 24至17 36期间可以进港 3 若2 x 24 x时刻吃水深度为h x 5 5 0 3 x 2 由f x h x 1 5 得 y sinx y 0 12x 0 44 画出y sin和y 0 44 0 12x的图像 如图 由图像可知当x 6 7时 即6 42时 该船必须停止卸货 将船驶向较深的水域 一半径为3m的水轮如图所示 水轮圆心o距离水面2m 已知水轮每分钟转动4圈 如果当水轮上一点p从水中浮现时 图中点p0 开始计算时间 1 将点p距离水面的高度z m 表示为时间t s 的函数 2 点p第一次达到最高点大约要多长时间 解 1 不妨设水轮沿逆时针方向旋转 如图所示 建立平面直角坐标系 设角 0 是以ox为始边 op0为终边的角 由op在ts内所转过的角为 可知以ox为始边 op为终边的角为 则 当t 0时 z 0 可得 因为 所以 0 73 故所求函数关系式为 故p点纵坐标为3sin 2 令得 解得t 5 5 答 点p第一次达到最高点大约需要5 5s 1 通