函数的极限(二).doc

函数的极限（二）一关于左、右极限（即单侧极限）的概念如同时的函数极限有和两种情况一样，函数在的趋向下，我们也需要研究函数的单侧极限的问题，讨论从的右侧（）或左侧（）无限趋向的过程中，函数的变化趋势。例如考虑，显然此时只能。如果是从的右侧无限趋向于，对应的函数值无限趋于常数，则称是时函数的右极限。严格的描述这个极限过程的“”语言是：（即数学定义）设函数在的右侧区间内有定义，对于任意给定的，总存在正数，使得当在时，恒有下列不等式成立 ，则称是时函数的右极限，记作。同样，如果是从的左侧无限趋向于，对应的函数值无限趋于常数，则称是时函数的左极限，“”定义是：设函数在的左侧区间内有定义，对于任意给定的，总存在正数，使得当在时，恒有下列不等式成立 ，则称是时函数的左极限，记作。例1.1 用定义证明： 。证：对于任给，欲使 ，即等于成立就可以了。但本题，故对于任给（取），取，当 或 时，恒有 。这就证明了。 从例1.1 的证明过程看，单侧极限的证明其实与一般极限的验证过程并无太大的区别，只是在选定自变量的邻域时，需要注意它的取值范围要满足条件或。例1.2 教科书上第49页的例9还是值得仔细琢磨的。它研究的是取整函数在端点处的左、右极限。请看书上第10页的图1-10。这个分段函数的解析式为 ， 它的特点是：在的左侧区间内为常数，右侧区间内则为常数。注意这两个区间都是半闭半开的。函数在处的函数值为 ，但是 ， 。可见，此函数在整数点处的左、右极限不相等。当函数在处的左、右极限不相等时，我们不能说在的趋向下存在极限。换言之，只有在处的左、右极限相等时，才能说。请看下列定理所描述的极限与左、右极限的关系：例1.3 的充要条件是 。证：必要性。设，则由极限定义，对任给的，存在，使当时恒有 。换言之，当的邻域取为，且。因为邻域 和邻域 这两种情况是的子区间，所以在这两个邻域中仍然恒有成立。故在成立的情况下，必有 。充分性。设成立。故对任给的，分别有，使当 和 时，都有 。 取，那么在时，自然也成立，即有 。 我之所以要把书上的证明另行重证，是因为有不止一位同学对书上的证明表示疑惑。不知上述证明能否消除这些同学的疑惑？例1.3 讨论极限 。解： 因为，图像在处是中断的，在原点的右端，函数趋向于；而在原点的左端，函数趋向于。因此，它的左右极限不相等。所以不存在。二 极限的四则运算极限的四则运算，是学习极限的基本功。几类容易引起误解的情况，在课堂上已经分析过了。大家做了一些练习，需要自己不断地归纳，小结。要学会这个本事。自己归纳出来的才属于自己。我作为老师讲出来的，毕竟是我的体会。所以，下面的内容与题目，最好不要当作小说来读，自己想一下或做一遍，再来看我写的。这样的好习惯，需要一段时间来养成。好吗？例2.1 下述运算过程是否正确：。最后结果等于零是因为0乘任何数仍然为0。解：解法不正确。在运用两函数乘积的极限时，要求每一个函数的极限都存在，否则不能套用，这里极限不存在。正确的方法是：因为对任何不等于0的，都有，因此在定义域（实数集）上，是一个有界函数；又，是一个无穷小量。根据有界函数与无穷小的乘积仍然为无穷小量的结论，有 。 从表面上看，两种方法的结果一样，但解题的指导思想完全不同。所以我们不要仅仅看答案是多少。例2.2 若函数的极限存在，而函数的极限不存在，问的极限是否都存在？解：的极限肯定不存在。理由如下：假若的极限存在，记，则的极限存在。根据，则等式两边出现矛盾的情况：右边是两个有极限的函数之差，所以这个差函数仍然有极限。而等式的左边则是一个没有极限的函数。这是矛盾的。所以假设不能成立，从而的极限不存在。大家看，反证法看似简单，缺常能解决大问题。希望大家逐步学会这个方法。其实，反证法不仅在数学里用，在社会生活里也能用得上。再看第二问。的极限较为复杂，不能一概而论。例如，在时，前者极限不存在，而后者有极限。但的极限为0。但不要立即下结论，说极限存在。因为的极限不存在的情况也很多。数学上说一个命题成立，必须任何情况下都成立才行；说一个陈述不成立，只需一个反例就可以否决。请大家举1-2个例子。好吗？ 例2.3 若函数和的极限均不存在，问问的极限是否都存在？解：不能一概而论。极限存在的例子：。可以证明，这两个函数在时极限都不存在。但 ，所以极限存在。再看它们的积, ，极限也存在。极限不存在的例子有很多，留给大家自己找出了。 求多项式的极限是最容易的，只需求出它在时的函数值。只是要提醒大家，不要把函数值与极限的概念混淆起来。同样，求有理分式函数在时的极限也不太难，只要就可以。这里要用的公式在课堂上已经仔细推导过了，在此简略了。不过，我们常要遇到或这样的情况，这时，就不能套极限运算公式了，需要做些变化或变换，改变或的格式，使极限运算公式能运用。例2.4 求 。解：这是型极限。注意到分子与分母中的最高次是，用去分别除分子和分母，得 原式，这样，在时，分子趋向3，分母则趋向于2，最后得原式。 由本例可以归纳出，求两个多项式的商在时的极限，当出现的情况时，用分子和分母中的最高次项去除分子和分母，使多项式的每一项不是常数就是无穷小量，从而可以运用极限运算法则。若分母极限为0，则先算其倒数的极限。例如下例例2.5 ，这样分母的极限为0。但我们可以计算其倒数 根据无穷大与无穷小的关系，得。 当遇到型的极限，也不能直接运用极限运算法则，需要作些变换。例2.6 求 。解：当时，分子分母的极限均为0。所以属于型极限问题，不能直接运用极限运算法则。注意到时的分子和分母的函数值都为0，这表明，2是它们的零点，或者说2都是分子、分母的根，所以它们都含有的因子。所以将分子，分母进行因式分解：，因为在极限过程中非零，上下可以消去这个非零因子。消去后就是上式的最后一步，没有疑问了，可立马运用极限运算法则了，分子、分母同时求极限，得到极限值为。例2.7 求， 为自然数）解：这是一个的极限，不能直接运用极限运算法则。运用分子，分母的函数值均为0，表明都存在的因子。分子较复杂，先做因式分解。 ，到了这里，因为分母中是，现在分子中只分出一个，所以还不够，还继续分！ 终于又分出第二个的因子，于是可与分母的消掉，这样 原式 。 是否可以归纳一下。当分子，分母都是多项式，且时，若它们的极限都为0，则遇到了型极限，对它不能直接运用极限运算法则，而需要提取的公因子，消去后就好用运算法则。型极限还出现在有根式的问题中。这里用的方法是通过有理化去根号。例2.8 求。解：这是一个带根号的型极限。分子、分母同时“有理化”：原式 ，至此，问题已经没有难度了，所求的极限值等于。我们还经常遇到型的极限。大家千万不要误认为两个无穷大相减，极限一定为0！这是想当然，因为两个无穷小相减，必为无穷小，这是得到严格证明的；但两个无穷大量相减，由于“大”的程度是不同的，所以不能说极限为0。这是初学这容易犯的错误。那么怎么办呢？ 通常可通过通分，有理化等手段进行变形后再处理。例2.9 解：这是型问题。用有理化方法： 原式 ，至此，还要用分子分母同除的最高次项（这里就是）：原式。最后一步已经没有难度了。例2.10 已知，试求出常数。解1：由知，是 时的无穷小，故根据极限基本定理有 ， 其中，所以 ，两边取的极限，有 ， （我把每一步都写得很仔细，你看得懂吗？）即得 。将代入原式，有 ，这等于 （有理化） 。至此，我们已经求出了 和 。解2： 注意到本题的自变量的趋向为，所以若，则所给的极限式将是是个不定式；若，则所给极限应为，都和给定的0矛盾。所以只能有，是个正值。将所给极限式的分子、分母有理化，有， （&）注意到分母的“最高次”项是一次的，所以分子的的系数非零，则上式右边的极限将是，故必有 ，根据，则 。又从（&）知，若，那么（&）的极限不可能为0，所以必有 ，则。从上述2个解答方法，你有何比较的想法？你还有其他解法吗？提出来试一试？三 有界函数与无穷小的乘积的极限需要注意的是条件与结论的范围。例3.1 若在某趋向下，函数是有界的，且，问能否判断是时的无穷小？ （这里用表示自变量的某种趋向）解：我们知道，有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。而本题则反过来提出问题来：已知一个有界函数与另一个函数的成绩的极限为零，那么这个函数必定是无穷小吗？命题能否成立，有两条路可走。第一，若能直接证明，当然最好；第二，若不能证明，但可以找到反例（哪怕只有一个反例也行），就可以推翻命题。于是命题能否成立就水落石出。不要因为命题被否认，似乎事情没有完成。不，否定一件事，也是完成了任务。大家还记得科学史上的一些著名事件吗？例如，1956年，杨振宁和李政道两位华人科学家推翻了被物理学界一直相信的“宇称守恒定律”，科学界为之轰动，结果被授予了诺贝尔奖。否定也是新发现。好，说远了，我们还是来做本题。两个函数相乘的积等于零时，它们本身可能不是恒为零的函