人教版高中数学必修1反函数的概念和求法教案.doc

2.4.1 反函数的概念及求法教学目的 使学生了解反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数.重点难点 反函数的定义和求法.教学设想 1.教法：讲授法；2.学法：启发学生观察、思考、分析和讨论；3.课时：1课时. 教学过程 一、复习引入 复习：函数的定义（近代定义和传统定义）；求下列函数的定义域和值域：y=x2+1; y=2x-3;y=5/(3x-1); y=+2; y=(x+2)/(2x-1).答案：xR,y1;xR,yR;x1/3,y0;x0,y2;x1/2,y1/2.引入：我们知道，物体作匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s=vt,其中速度v是常量,定义域t0,值域s0；反过来，也可以由位移s和速度v（常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即t=s/v，这时，位移s是自变量，时间t是位移s的函数,定义域s0,值域t0.又如，在函数y=2x+6中，x是自变量，y是x的函数，定义域xR，值域yR. 我们从函数y=2x+6中解出x，就可以得到式子x=y/2-3. 这样，对于y在R中任何一个值，通过式子x=y/2-3，x在R中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y为自变量，x为y的函数，定义域是yR，值域是xR.综合上述，我们由函数s=vt得出了函数t=s/v；由函数y=2x+6得出了函数x=y/2-3，不难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：它们的对应法则是互逆的；它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数. 今天我们就来学习这种函数.二、学习、讲解新课 反函数的定义一般地，设函数y=f(x)(xA)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y)(yC)叫做函数y=f(x)(xA)的反函数，记作x=f-1(y). 反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.说明：在函数x=f-1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式.反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f-1(x)，那么函数y=f-1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数.从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f-1(x)的定义域（如下表）：函数y=f(x)反函数y=f-1(x)定义域AC值 域CA上述定义用“逆”映射概念可叙述为：若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f-1所确定的函数x=f-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f-1(t)=t/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f-1(x)=x/2-3. 反函数的求法由前边的例子和反函数的定义不难看出，欲求函数y=f(x)的反函数，可按下列步骤进行：确定函数y=f(x)的定义域和值域；视y=f(x)为关于x的方程，解方程得x=f-1(y);互换x,y得反函数的解析式y=f-1(x)；写出反函数的定义域（原函数的值域）.例1 (P66例1)求下列函数的反函数： y=3x-1(xR); y=x3+1(xR); y=+1(x0); y=(2x+3)/(x-1)(xR,且x1).解：xR，yR. 由y=3x-1解得x=(y+1)/3, 函数y=3x-1(xR)的反函数是y=(x+1)/3 ，所求反函数的定义域是xR;（若给出f(x)=3x-1，则得f-1(x)=(x+1)/3(xR)）xR，yR. 由y=x3+1解得x=, 函数y=x3+1(xR)的反函数是y=f-1(x)= (xR);x0，y1. 由y=+1解得x=(y-1)2, 函数y=+1(x0)的反函数是y=f-1(x)=(x-1)2 (x1);xxR|x1，yyR|y2.由y=(2x+3)/(x-1)解得x=(y+3)/(y-2), 函数y=(2x+3)/(x-1)(xR,且x1)的反函数是y=f-1(x)=(x+3)/(x-2) (xR,且x2).说明：求函数y=f(x)的反函数的一般步骤就是上述的四步，书写时两步可并作一步，以后熟悉了,具体的步骤可省略不写. 反函数的定义域不是看反函数的解析式得到的，而是求原来函数的值域而得反函数的定义域，这一点绝不能混淆.例2(补充)求函数y=的反函数.解：当x0时，y1，由y=x2+1得x= ( y1)；当x0时，y1，由y=x+1得x=y-1(y1). 将x,y对换得y=f-1(x)=.说明：求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成.目标检测课本P68练习：14.答案：y=-x/2+3/2(xR); y=-2/x (xR,且x0);y=(x0); y=5x/(1-3x) (xR,且x1/3)三、小 结反函数的定义由反函数的定义可以看出：对于y 取C中任一值都可以得到唯一的x值(xA)，由此可知，只有确定函数y=f(x)的映射是一一映射才能有反函数;由函数图象看，应当是单调的.y=f(x)的反函数是y=f-1(x)，反之，y=f-1(x)的反函数是y=f(x)，它们互为反函数，它们的定义域、值域相反，对应法则互逆.求函数y=f(x)的反函数的一般步骤是：确定函数y=f(x)的定义域和值域；视y=f(x)为关于x的方程，解方程得x=f-1(y);互换x,y得反函数的解析式y=f-1(x)；写出反函数的定义域（原函数的值域）.求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成.四、布置作业(一)复习：课本内容，熟悉巩固有关概念和方法.(二)书面：课本P68习题2.4：1-.答案：y=-x/4+3/4(xR);y=(xR);y=-(x0);y=(3x-1)/(1-x)(x1);y=-(x+3)/(5x-2)(x2/5);y=(3x+1)/(5x-4)(x4/5);y=2(x-1)3+1(xR);y=x2/2+2(x0).(三)思考