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第4章振动学基础 一振动的运动学规律 三振动的能量 四几种特殊的振动 内容结构 二振动的动力学规律 一描述简谐振动的解析参量 1 简谐振动的运动学方程 由实验可得简谐振动运动学方程 简谐振动 如果物体的运动学方程可以写为则这个方程为简谐振动的标准运动学方程 4 1简谐振动的运动学 由运动学方程 可以确定任意时刻t 谐振子的速度与加速度为 以弹簧谐振子为例 结合上述两式 振动系统的总能量为 A 分别定义为振幅 角频率与初相位 称它们为描写简谐振动的解析参量 周期满足 单位时间谐振动完成振动的次数 称为谐振动的频率 t 定义为振子在t时刻的相位 2 解析参量的物理意义 振幅A是谐振子平衡位置的最大位移的绝对值角频率 表示谐振子在2 s内所作的全振动的次数初相位 表示振子的初始振动状态相位表征任意时刻t振子的运动状态 3 相位求解应注意的问题 解有两个相位值满足运动学方程 所以 常常借助速度 加速度方程来确定相位因子中的待求参量 如 借助初始位移与速度来确定初相 当t 0时 于是 例1 已知A 0 12m T 2s 当t 0时 x0 0 06m 此时 质点沿x轴正向运动 求 1 谐振动方程2 当t 0 5s时 质点的位置 速度 加速度3 由初始时刻到x 0 06m处所需的最短时间 解 1 因T 2s 于是 即 考虑到t 0时 于是运动学方程为 2 当t 0 5s时 质点的位置 速度 加速度 x 0 104m v 0 189m s a 1 03m s2 由题意 质点沿x负方向运动到x 0 06m所需时间最短 即 二简谐振动的旋转矢量表示法 几何表示方法 用匀速圆周运动的直观图形来表示简谐振动的方法称为简谐振动的旋转矢量表示法 t o x x t t t 0 x Acos t x0 超前与落后 用旋转矢量表示位移 速度 加速度 t x o 有 x Acos t v A sin t a A 2cos t 例2一物体沿X轴作简谐振动 若要它经过 1 由平衡位置到最远点全程 2 这段距离的前半段 3 这段距离的后半段 则所需的最短时间为周期的多少 x o 例3一物体沿X轴作简谐振动 振幅为12厘米 周期为2秒 开始时在6厘米处且向正方向运动 试求出其振动方程以及物体从 6厘米到平衡位置的最短时间 x o 例4一个弹簧振子的加速度值始终与其位移值相等 初始时刻质点处于平衡位置 速度为 2cm s 试求 1 振动方程 2 从初始位置到达 3 cm处的最短时间 3 从 3 cm到达1cm处的最短时间 解 Acos t A 2cos t 即 A 2cm Vm 2cm s 1 rad s T 2 s 例5 A 20cm T 4s t 0时 x0 10cm 此时 质点运动方向如图 求 1 t 1s时的位移2 何时物体第一次到达x 10cm3 经多少时间物体第二次到达x 10cm 求此时的速度 加速度 解 由题给条件和旋转矢量方法 可得初始时刻振幅矢量位置 振动方程 2 由图 第一次到达x 10cm时 m刚运动了半个周期 s 3 m第一次到达x 10cm后 需再旋转2 3 即需经过的时间间隔为 T 3 4 3 s 从t 0算起 需经过的时间间隔为 时间为10T 12 将t 10 3 s 代入速度 加速度计算公式 有 cm s cm s2 本题也可以用解析方法求解 可以比较两种方法计算 10 3 s 4 2简谐振动的动力学方程 一简谐振动的动力学方程 回复力 做简谐振动物体所受的合外力 由简谐振动物体所受合外力及牛顿第二定律 有 其中 动力学微分方程 简谐振动的运动学方程 二几个典型简谐振动的动力学方程 1 单摆 回复力 动力学方程 运动学方程 2 复摆的动力学与运动学方程 回复力矩 动力学方程 运动学方程 其中 4 3简谐振动的能量 一简谐振动的能量 1 简谐振动的总能量 以弹簧谐振子为例简单说明简谐振动的能量问题对弹簧谐振子 其能量显然地有 而 于是 2 简谐振动的平均能量 弹簧振子在一个周期内的平均动能 平均势能 结论 谐振子的平均动能 平均势能等于总能量的一半 二简谐振动能量与动力学方程的关系 1 简谐振动能量与动力学方程的关系 既然能量守恒 将上式对时间求一次导数 其中 结论 将谐振子能量守恒关系式对时间求一次导数 可以得到简谐振动的动力学方程 例6 如图 定滑轮的半径为R 转动惯量为I 弹簧的劲度系数为k 物体质量为m 不计体系的摩擦 证明将物体拉离平衡位置后的自由振动为简谐振动 因简谐振动的能量守恒 证明 以平衡位置为原点 向下为正方向 建立坐标系 物体系的机械能为 因机械能守恒 对上式求时间的一次导数 定义 有 例7如图 求 解 对新平衡点 f k1x k2x d2x dt2 x k1 k2 m 0 2 k1 k2 m 例8如图 求 解 对新平衡点 f k1x k3x3 d2x dt2 x k1 k2k3 k2 k3 m 0 2 k1 k2k3 k2 k3 m x x2 x3及k2x2 k3x3 考虑到 有 k3x3 k2k3x k2 k3 4 4受迫振动与共振 一 受迫振动在外来策动力作用下的振动 1 系统受力 弹性力 kx 2 振动方程 阻尼力 周期性策动力f F0cos t 其中 3 稳态解 x Acos t 4 特点 稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化 1 频率 等于策动力的频率 2 振幅 3 初相 二 共振 在一定条件下 振幅出现极大值 振动剧烈的现象 1 共振频率 2 共振振幅 若 则 r 0Ar h 2 称尖锐共振 1 位移共振 2 速度共振 一定条件下 速度幅 A极大的现象 r 0 mr h 2 vr 0 速度共振时 速度与策动力同相 一周期内策动力总作正功 此时向系统输入的能量最大 4 5简谐振动的合成 1 在同一条直线上 同频率的简谐振动的合成 设两简谐振动在同直线 以同频率振动 其旋转矢量图如图 由于两个分振动以相同角速度运动 因此其相位差保持恒定合振动也为简谐振动 则合振动的振动方程为 其中 讨论 1 合振动仍然为简谐振动 合振动的振幅与分振动的振幅及其初相有关 合振动的角频率与每一分振动的角频率相等 合振幅达到最大 可见 简谐振动的相位 相位差对振动的合成有重要作用 例9求n个同直线 同振幅 同频率 相位差依次为 的简谐振动的合振动 解 设n个简谐振动的振动方程为 则其合振动可以用多边形法则求解 显然 即 而 合振动为 此时振幅最大 此时振幅最小 即 当各分振动构成一个封闭的多边形时 合振动为零 2同一直线 不同频率的简谐振动的合成 设两个分振动分别为 则合振动的振动方程为 由矢量图可得 其中 讨论 一般情况下 振幅是与时间有关的函数 相位也不再是时间的一次函数 角频率也与时间有关 两分振动的频率都较大而频差很小的同方向的谐振动在合成时 产生合振动的振幅时而加强 时而减弱的现象称为拍 单位时间内振动加强 减弱的次数称为拍频 显然 拍频为 初相位 振幅相同 振动频率分别为9500H