振动力学2.ppt

单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 2 教学内容 单自由度系统自由振动 无阻尼自由振动能量法瑞利法等效质量和等效刚度阻尼自由振动等效粘性阻尼 2020年2月3日 振动力学 3 无阻尼自由振动 令x为位移 以质量块的静平衡位置为坐标原点 为静变形 当系统受到初始扰动时 由牛顿第二定律 得 在静平衡位置 固有振动或自由振动微分方程 单自由度系统自由振动 动画1 2020年2月3日 振动力学 4 固有振动或自由振动微分方程 令 单位 弧度 秒 rad s 则有 通解 任意常数 由初始条件决定 振幅 初相位 固有频率 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 5 单自由度系统自由振动 动画2 2020年2月3日 振动力学 6 系统固有的数值特征 与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系 不是系统的固有属性的数字特征 与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 7 考虑系统在初始扰动下的自由振动 设的初始位移和初始速度为 令 有 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 8 时刻以后的自由振动解为 零时刻的初始条件 零初始条件下的自由振动 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 9 零初始条件下的自由振动 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后 其自由振动是以为振动频率的简谐振动 并且永无休止 初始条件的说明 初始条件是外界能量转入的一种方式 有初始位移即转入了弹性势能 有初始速度即转入了动能 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 10 零初始条件下的自由振动 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后 其自由振动是以为振动频率的简谐振动 并且永无休止 单自由度系统自由振动 初始条件 固有频率从左到右 时间 位置 2020年2月3日 振动力学 11 固有频率计算的另一种方式 在静平衡位置 则有 对于不易得到m和k的系统 若能测出静变形 则用该式计算是较为方便的 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 12 例 提升机系统 重物重量 钢丝绳的弹簧刚度 重物以的速度均匀下降 求 绳的上端突然被卡住时 1 重物的振动频率 2 钢丝绳中的最大张力 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 13 解 振动频率 重物匀速下降时处于静平衡位置 若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置 则t 0时 有 振动解 单自由度系统自由振动 静平衡位置 k x W v 2020年2月3日 振动力学 14 振动解 绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和 动张力几乎是静张力的一半 由于 为了减少振动引起的动张力 应当降低升降系统的刚度 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 15 例 重物落下 与简支梁做完全非弹性碰撞 梁长L 抗弯刚度EJ 求 梁的自由振动频率和最大挠度 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 16 解 由材料力学 自由振动频率为 单自由度系统自由振动 取平衡位置 以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立坐标系 静变形 m h 0 l 2 l 2 x 2020年2月3日 振动力学 17 撞击时刻为零时刻 则t 0时 有 则自由振动振幅为 梁的最大扰度 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 18 例 圆盘转动 圆盘转动惯量I 在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置 扭振固有频率 单自由度系统自由振动 为轴的扭转刚度 定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩 由牛顿第二定律 2020年2月3日 振动力学 19 由上例可看出 除了选择了坐标不同之外 角振动与直线振动的数学描述完全相同 如果在弹簧质量系统中将m k称为广义质量及广义刚度 则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动 以后不加特别声明时 弹簧质量系统是广义的 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 20 从前面两种形式的振动看到 单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹性元件两种基本元件 惯性元件是感受加速度的元件 它表现为系统的质量或转动惯量 而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件 它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体 同一个系统中 若惯性增加 则使固有频率降低 而若刚度增加 则固有频率增大 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 21 例 复摆 刚体质量m 对悬点的转动惯量 重心C 求 复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率 单自由度系统自由振动 a 0 C 2020年2月3日 振动力学 22 解 由牛顿定律 因为微振动 则有 固有频率 实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法 若已测出物体的固有频率 则可求出 再由移轴定理 可得物质绕质心的转动惯量 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 23 单自由度系统自由振动 例 弹簧 质量系统沿光滑斜面做自由振动 斜面倾角300 质量m 1kg 弹簧刚度k 49N cm 开始时弹簧无伸长 且速度为零 求 系统的运动方程 重力角速度取9 8 2020年2月3日 振动力学 24 单自由度系统自由振动 解 以静平衡位置为坐标原点建立坐标系 振动固有频率 振动初始条件 初始速度 运动方程 2020年2月3日 振动力学 25 教学内容 无阻尼自由振动能量法瑞利法等效质量和等效刚度阻尼自由振动等效粘性阻尼 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 26 能量法 对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统 也可以利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程 或直接求出系统的固有频率 无阻尼系统为保守系统 其机械能守恒 即动能T和势能V之和保持不变 即 或 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 27 弹簧质量系统 动能 势能 重力势能 弹性势能 不可能恒为0 单自由度系统自由振动 零势能点 2020年2月3日 振动力学 28 如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位置 而是取在弹簧为自由长时的位置 动能 势能 设新坐标 单自由度系统自由振动 零势能点 弹簧原长 如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置 那么将坐标原点取在静平衡位置上 方程中就不会出现重力项 2020年2月3日 振动力学 29 考虑两个特殊位置上系统的能量 静平衡位置上 系统势能为零 动能达到最大 最大位移位置 系统动能为零 势能达到最大 单自由度系统自由振动 对于转动 x是广义的 2020年2月3日 振动力学 30 例 如图所示是一个倒置的摆 摆球质量m 刚杆质量忽略 每个弹簧的刚度 求 1 倒摆作微幅振动时的固有频率 2 摆球时 测得频率为 时 测得频率为 问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 31 解法1 广义坐标 动能 势能 零势能位置1 零势能位置1 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 32 解法2 零势能位置2 动能 势能 零势能位置2 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 33 单自由度系统自由振动 例 均质圆柱质量m 半径R与地面纯滚动在A B点挂有弹簧 确定系统微振动的固有频率 2020年2月3日 振动力学 34 单自由度系统自由振动 解 广义坐标 圆柱微转角 圆柱做一般运动 由柯希尼定理 动能 C点为运动瞬心 势能 C A点速度 B点速度 2020年2月3日 振动力学 35 单自由度系统自由振动 解 动能 势能 C 2020年2月3日 振动力学 36 单自由度系统自由振动 例 铅垂平面内一个滑轮 质量 弹簧系统 确定系统微振动的固有频率 滑轮为匀质圆柱 绳子不可伸长 且与滑轮间无滑动 绳右下端与地面固结 2020年2月3日 振动力学 37 单自由度系统自由振动 解 广义坐标 质量块的垂直位移x 动能 x 势能 2020年2月3日 振动力学 38 单自由度系统自由振动 解 广义坐标 质量块的垂直位移x 动能 x 势能 2020年2月3日 振动力学 39 教学内容 无阻尼自由振动能量法瑞利法等效质量和等效刚度阻尼自由振动等效粘性阻尼 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 40 瑞利法 利用能量法求解固有频率时 对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能 而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能 因此算出的固有频率是实际值的上限 单自由度系统自由振动 这种简化方法在许多场合中都能满足要求 但有些工程问题中 弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略 否则算出的固有频率明显偏高 2020年2月3日 振动力学 41 例如 弹簧质量系统 设弹簧的动能 系统最大动能 系统最大势能 若忽略 则增大 单自由度系统自由振动 弹簧等效质量 因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限 2020年2月3日 振动力学 42 教学内容 无阻尼自由振动能量法瑞利法等效质量和等效刚度阻尼自由振动等效粘性阻尼 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 43 等效质量和等效刚度 方法1 选定广义位移坐标后 将系统得动能 势能写成如下形式 当 分别取最大值时 则可得出 Ke 简化系统的等效刚度 Me 简化系统的等效质量 等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 44 动能 势能 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 45 单自由度系统自由振动 动能 势能 2020年2月3日 振动力学 46 单自由度系统自由振动 x 动能 势能 2020年2月3日 振动力学 47 方法2 定义法 等效刚度 使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力 叫做系统在这个坐标上的等效刚度 等效质量 使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力 叫做系统在这个坐标上的等效质量 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 48 例 串联系统 总变形 在质量块上施加力P 弹簧1变形 弹簧2变形 根据定义 或 P k1 k2 单自由度系统自由振动 使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力 叫做系统在这个坐标上的等效刚度 2020年2月3日 振动力学 49 例 并联系统 两弹簧变形量相等 受力不等 在质量块上施加力P 由力平衡 根据定义 并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和 P k1 k2 单自由度系统自由振动 k1 k2 使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力 叫做系统在这个坐标上的等效刚度 2020年2月3日 振动力学 50 例 杠杆系统 杠杆是不计质量的刚体 求 系统对于坐标x的等效质量和等效刚度 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 51 解法1 能量法 动能 势能 单自由度系统自由振动 等效质量 等效刚度 固有频率 2020年2月3日 振动力学 52 解法2 定义法 设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力P 设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力P 单自由度系统自由振动 则在m1 m2上产生惯性力 对支座取矩 则在k1 k2处将产生弹性恢复力 对支点取矩 2020年2月3日 振动力学 53 教学内容 无阻尼自由振动能量法瑞利法等效质量和等效刚度阻尼自由振动等效粘性阻尼 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 54 阻尼自由振动 最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼例如 在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体 通常就认为受到粘性阻尼 单自由度系统自由振动 实际系统的机械能不可能守恒 存在各种各样的阻力 振动中将阻力称为阻尼 摩擦阻尼 电磁阻尼 介质阻尼和结构阻尼 尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法 但是实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定 2020年2月3日 振动力学 55 粘性阻尼力与相对速度称正比 即 c 为粘性阻尼系数 或阻尼系数 单位 动力学方程 或写为 固有频率 相对阻尼系数 k c 单自由度系统自由振动 建立平衡位置 并受力分析 2020年2月3日 振动力学 56 动力学方程 令 特征方程 特征根 三种情况 欠阻尼 过阻尼 临界阻尼 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 57 动力学方程 特征方程 特征根 特征根 阻尼固有频率 有阻尼的自由振动频率 振动解 c1 c2 初始条件决定 单自由度系统自由振动 两个复数根 2020年2月3日 振动力学 58 欠阻尼 振动解 设初始条件 则 或 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 59 欠阻尼 振动解 阻尼固有频率 阻尼自由振动周期 T0 无阻尼自由振动的周期 阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 60 欠阻尼 响应图形 单自由度系统自由振动 振动解 欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动 0 1 时间 位置 2020年2月3日 振动力学 61 欠阻尼 响应图形 单自由度系统自由振动 振动解 欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动 1 0 动画3 2020年2月3日 振动力学 62 不同阻尼 振动衰减的快慢不同 单自由度系统自由振动 不同阻尼大小的振动衰减情况 阻尼大 则振动衰减快阻尼小 则衰减慢 动画4 2020年2月3日 振动力学 63 评价阻尼对振幅衰减快慢的影响 与t无关 任意两个相邻振幅之比均为 衰减振动的频率为 振幅衰减的快慢取决于 这两个重要的特征反映在特征方程的特征根的实部和虚部 减幅系数 单自由度系统自由振动 定义为相邻两个振幅的比值 2020年2月3日 振动力学 64 减幅系数 含有指数项 不便于工程应用 实际中常采用对数衰减率 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 65 实验求解 利用相隔j个周期的两个峰值进行求解 得 当较小时 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 66 第二种情况 过阻尼 动力学方程 特征方程 特征根 特征根 两个不等的负实根 振动解 c1 c2 初始条件决定 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 67 过阻尼 振动解 设初始条件 则 一种按指数规律衰减的非周期蠕动 没有振动发生 单自由度系统自由振动 响应图形 2020年2月3日 振动力学 68 第三种情况 临界阻尼 动力学方程 特征方程 特征根 特征根 二重根 振动解 c1 c2 初始条件决定 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 69 振动解 临界阻尼 则 也是按指数规律衰减的非周期运动 但比过阻尼衰减快些 临界阻尼系数 单自由度系统自由振动 设初始条件 响应图形 2020年2月3日 振动力学 70 临界也是按指数规律衰减的非周期运动 但比过阻尼衰减快些 欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动 过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动 没有振动发生 2020年2月3日 振动力学 71 小结 动力学方程 欠阻尼 过阻尼 临界阻尼 按指数规律衰减的非周期蠕动 按指数规律衰减的非周期运动 比过阻尼衰减快 振幅衰减振动 2020年2月3日 振动力学 72 例 阻尼缓冲器 静载荷P去除后质量块越过平衡位置的位移为初始位移的10 求 缓冲器的相对阻尼系数 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 73 解 由题知 设 求导 设在时刻t1质量越过平衡位置到达最大位移 这时速度为 即经过半个周期后出现第一个振幅x1 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 74 由题知 解得 单自由度系统自由振动 2020年2月3日 振动力学 75 例 单自由度系统自由振动 刚杆质量不计 求 1 写出运动微分方程 2 临界阻尼系数 阻尼固有频率 小球质量m 2020年2月3日 振动力学 76 解 单自由度系统自由振动 阻尼固有频率 无阻尼固有频率 m 广义坐标 力矩平衡 受力分析 2020年2月3日 振动力学 77 教学内容 无阻尼