初中数学几何证明题模型.ppt

1 补成三角形例1 如图1 已知E为梯形ABCD的腰CD的中点 证明 ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半 初中几何证明题辅助线训练营 分析 过一顶点和一腰中点作直线 交底的延长线于一点 构造等面积的三角形 这也是梯形中常用的辅助线添法之一 分析 因为角是轴对称图形 角平分线是对称轴 故根据对称性作出辅助线 不难发现CF 2CE 再证BD CF即可 2 补成等腰三角形例2如图2 已知 A 90 AB AC 1 2 CE BD 求证 BD 2CE 3 补成直角三角形例3 如图3 在梯形ABCD中 AD BC B C 90 F G分别是AD BC的中点 若BC 18 AD 8 求FG的长 分析 从 B C互余 考虑将它们变为直角三角形的角 故延长BA CD 要求FG 需求PF PG 图3 4 补成等边三角形例4 图4 ABC是等边三角形 延长BC至D 延长BA至E 使AE BD 连结CE ED 证明 EC ED 分析 要证明EC ED 通常要证 ECD EDC 但难以实现 这样可采用补形法即延长BD到F 使BF BE 连结EF 5 补成平行四边形例5 如图5 四边形ABCD中 E F G H分别是AB CD AC BD的中点 并且E F G H不在同一条直上 求证 EF和GH互相平分 分析 因为平行四边形的对角线互相平分 故要证结论 需考虑四边形GEHF是平行四边形 6 补成矩形例6 如图6 四边形ABCD中 A 60 B D 90 AB 200m CD 100m 求AD BC的长 分析 矩形具有许多特殊的性质 巧妙地构造矩形 可使问题转化为解直角三角形 于是一些四边形中较难的计算题不难获解 图6 7 补成菱形例7 如图7 凸五边形ABCDE中 A B 120 EA AB BC 2 CD DE 4 求其面积 分析 延长EA CB交于P 根据题意易证四边形PCDE为菱形 图7 8 补成正方形例8 如图8 在 ABC中 AD BC于D BAC 45 BD 3 DC 2 求 ABC的面积 图8 分析 本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难 如果从题设 BAC 45 AD BC出发 可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信息 那么问题立即可以获解 9 补成梯形例9 如图9 已知 G是 ABC中BC边上的中线的中点 L是 ABC外的一条直线 自A B C G向L作垂线 垂足分别为A1 B1 C1 G1 求证 GG1 1 4 2AA1 BB1 CC1 图9 分析 本题从已知条件可知 中点多 垂线多特点 联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当 故过D作DD1 L于D1 则DD1既是梯形BB1C1C的中位线 又是梯形DD1A1A的一条底边 因而 可想到运用梯形中位线定理突破 使要证的结论明显地显示出来 从而使问题快速获证 1 在 ABC中 AC BC D是AC上一点 且AE垂直BD的延长线于E 又AE BD 求证 BE平分 ABC 课后作业 2 如图 已知 在 ABC内 BAC 60 ACB 40 P Q分别在BC CA上 并且AP BQ分别是 BAC ABC的角平分线 求证 BQ AQ AB BP 3 已知 BAC 90 AB AC AD DC AE BD 求证 ADB CDE 4 设正三角形ABC的边长为2 M是AB边上的中点 P是BC边上的任意一点 PA PM的最大值和最小值分别记为S和 求 S t的值 5 ABC中 分别以AB AC BC为边在同侧作等边三角形ABD BCF ACE探究下列问题 1 当 ABC满足 条件时 四边形DAEF是矩形 2 当 ABC满足 条件时 四边形DAEF是菱形 3 当 ABC满足 条件时 以D A E F为顶点的四边形不存在 如图 三角形ABD 三角形ACE 三角形BCF都是等边三角形 首先我们来证明DAEF为平行四边形角DBF 60度 角FBA 角ABC而DB AB BF BC三角形DBF全等于三角形ABC所以 DF AC AE同理可证 DA FE所以 DAEF为平行四边形 1 如图 如果角DAE 90度 则DAEF为矩形则必须 角BAC 360度 2 60度 90度 150度 而如果 另一种情况 BC为短边 F将落在DAECB的包围之中 角DAE 2 60度 角BAC 90度 DAEF不可能为矩形 而BC为短边 角BAC 90度 2 如果 DA AE 则 DAEF为菱形 则必须 AB AC 3 如果 角BAC 60度则 角DAE 3 60度 180度D A E共线 所以 以D A E F为顶点的四边形不存在据此 2 的结论应稍加改变为 当AB AC 且角BAC不等于60度时 四边形DAEF是菱形 6 已知 如图 三角形ABC中 BAC 90度 AD BC于点D BE平分角ABC交AD于点M EF BC于F 求证 四边形AEFM是菱形 解答 CE是角平分线 EA CA EF CF CE CE CAE CFE EA EF AEC FEC 又AD CB EF CB AD EF AGE GEF AEG AGE AG AE AG EF 四边形AGFE是平行四边形 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 又AG AE 平行四边形AGFE是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形 即 四边形AEFG是菱形 7 如图 在正方形ABCD中 O为对角线AC和BD的交点 E为CO上一点 连接BE F为 OBE角平分线上一点 连接OF AF G为BE上一点且BO BG 1 若FG OF OF 1 求线段OG的长度 2 若 AFB 90 求证 AF BF OG 1 BF平分 OBE OBF GBF BO BG BF BF OBF GBF OF FG FG OF OFG是等腰直角三角形 OG OF FG 2 2 作OH垂直于OF交AF于H ABCD是正方形 BD AC是对角线OA OB AOB 90 HOF 90 做的OH OF AOH BOF 同为 HOB的余角 AFB AOB 90 设AF与OB交于M OMA FMB 对顶角 OAH OAM OBF MBF 在 AHO和 BOF中OA OB AOH BOF OAH OBF AHO BOF AH BF OH OF OF FG 第一步已经证明 OH FG OFG HOF 90 这一步有点问题 OFG在第一步是假设的 OG FHAF AH HF BF OG 8 如图所示 在菱形ABCD中 对角线AC 6 BD 8 点E F分别是边AB BC的中点 点P在 上运动 在运动过程中 存在PE PF的最小值 则这个最小值为多少 拓展 若 点在AC上运动 存在PE PF的最小值 则这个最小值为多少 解 依题意得 当P为EF与BD的交点时 PE PF最小 为EF的长 点E F分别为AB BC的中点 EF是 ABC的中位线 EF 0 5 AC 3 即PE PF的最小值为3 拓展 用两张等宽的长方形纸条交叉重叠地放在一起 重合的部分为四边形abcd 若长为8 宽为2 求四边形abcd的最大 9 将俩张等宽的长方形纸条交叉叠放 重叠部分是一个四边形ABCD 若AD 6 ABC 60 则四边形ABCD的面积是 10 如图 已知菱形ABCD中 E F分别是BC CD上的点 且 B EAF 60 BAE 18 求 CEF的度数 证明 连接AC 菱形ABCD中 B 60 AB BC CD DA AB AC FCA B 60 又 EAF 60 CAF BAE 18 BAE全等于 CFA AE AF FEA 60 AEB 180 18 60 102 CEF 180 FEA AEB 180 60 102 18 11 如图 ABC中 BAC 90 BG平分 ABC GF BC于点F AD BC于点D 交BG于点E 连结EF 1 求证 AE AG 四边形AEFG为菱形 2 若AD 8 BD 6 求AE的长 证明 1 AE AG的关键是证明 AGE AEG AEG BED 又 ADB 90 AEG GBD 90 又因为 AGE ABG 90 且BG为角ABD的角平分线 因此可以推断 AEG AGE 所以得出 AEG为等腰三角形 所以AE AG 2 线段GF平行于线段AD 所以 AEG FGE AGB FGB 有前面的条件可知 ABG 角FBG 又BG BG 所以三角形ABG全等于三角形GFB 所以AG AF 从而推出AE GF 根据菱形的定义 四边形AEFG为平行四边形 又邻边相等 所以四边形为菱形 3 AD 8 BD 6 AB BF 8 DE GF BD BF DE FG 设AE x 则ED 8 x GF X 即 6 10 8 x x 解得x 8 3 1 解 连接BD 点E为CD边的中点 BE CD BD BC DBE CBE FBE 2 EBC DBE CBE DBF BF BG FBD GBC 13 如图 在矩形ABCD中 已知AD 12 AB 5 P是AD上任意一点 PE BD PF AC E和F分别是垂足 求PE PF的值 A B D C P F E 提示 用三角形的等面积法 S ABO S APO S DPO O 14 已知 如图 在直角三角形ABC中 C 90 AD BC CBE ABE 求证 ED 2AB 取ED的中点F并与A连接因为 C 90 AD BC 所以 EAB 90 AF为直角 EAB斜边ED上的中线 AF DF 1 2ED三角形AED为等腰三角形 D FAD D FAD 2 D AFB又因为 CBE D 内错角 所以 CBE 1 2 AFB而已知 CBE 1 2 ABE 所以 AFB ABE 三角形子BAF为等腰三角形 AB AF 1 21 2ED所以 ED 2AB A D B C E F 15 如图 E是矩形ABCD边CB延长线上一点 CE CA F是AE的中点 求证 BF FD 过F点做AD的平行线交AB于G点 则有FG垂直于AB 三角形AFG全等于三角形BFG 全等条件 F中点所以G也是重点AG FG都有一直角和公共边FG边角边 所以有AF BF角FAB 角FBA又得角FAD 角FBC 都加一直角 又AD BC所以三角形FAD全等于三角形FBC 边角边 所以有角BFC 角AFD角AFD 角DFC 90换量角BFC 角DFC 90 所以BF FD 圆的经典例题模型 解 连接OA 设正方形ABCD的边长为X 正方形ABCD的边长为X AB BC CD X POM 45 OC CD X OB BC CD 2X MN 10 OA MN 2 5 AB OB OA X 4X 25X 5X 5 AB 5 1 如图 已知在圆O中 直径MN 10 正方形ABCD的4个顶点分别在半径OM OP 及圆O上 且 POM 45 问 AB M 2 如图 已知A B C 为圆O上三点 D E分别为弧AB 弧AC的中点 连DE 分别交AB AC于点F G求证 AF AG 证明 连接OD OE 分别与AB AC交于点M N 由垂径定理 OD AB OE