有限元法讲稿.doc

平面问题的有限单元法有限单元法是随着计算机的出现而发展起来的一种有效数值计算方法，有限单元法出现于40年代，被应用于飞机结构分析，有限元这个术语是1956年首先使用的。目前已广泛地用于工程结构的力学分析中。第一节 基本概念一、实质 理想化连续体单元集合体 （解析模拟、逼近求解区域） 无限自由度 有限个自由度有限单元法首先把结构划分成许多单元,在一定的简化假设前提下,研究单元的力学特性，即单元分析；然后把各单元综合起來, 把局部的力学特性扩展到整体, 即整体分析；最后导出一组以结构结点位移为未知量的代数方程组。通过求解方程组而得到单元的结点位移值，就可近似计算出结构任意一点的受力状态。这种以结点位移为基本未知量的计算方法称为有限单元位移法。二、理论基础弹性力学：变分原理 能量原理 基本方程：几何方程、物理方程1. 平面问题的几何方程这就是弹性力学平面问题的几何方程，它给出了某一点的位移与该点应变之间的关系。反映了变形协调关系。2. 平面问题的物理方程 即： 给出了力与变形之间的关系，称为平面问题物理方程，是针对平面应力问题推导出的。对于平面应变问题，只需将公式中的换成，把换成即可。这样，弹性矩阵就变为：（2.8）这就是适用于平面应变问题的弹性矩阵。3. 弹性体的能量原理（1）应变能在弹性范围内，对于平面问题，某个面积A的应变能可以用下式表示写成矩阵的形式为 （2）外力势能外力势能用矩阵的形式可表示为式中 作用在弹性体i点的外力分量； i点的位移分量（3）弹性体的总势能弹性体在外力作用的总势能定义为应变能和荷载势能之和，即（4）最小势能原理单元的众多的结点位移中, 须满足条件： 即 的一组位移才是真正的位移。最小势能原理反映的是平面体的平衡方程。4. 变分原理(1) 基本概念设一泛函,它由积分形式确定,一般形式为: 是随函数u 变化而变化的函数，称为u的泛函。（2）欧拉公式设一维泛函 使此泛函取得极值的函数y(x) 必定满足下列方程式(推导从略) 其中: ; ; ; ;这就是欧拉方程。满足欧拉方程的函数y(x) 能使泛函取极值。换言之,欲求能使泛函取极值的函数y(x) 就必须求解欧拉方程这一偏微分方程。(3) (位移)变分的近似解法瑞雷-里兹法最小势能原理给弹性力学问题提供了这样一种近似解法：设定一个位移分量的表达式,使其满足位移边界条件和连续可微条件(这是容许位移所要满足的条件),并包含若干待定系数,用位移分量来表示变形能。这样,总势能即由位移和变形的泛函变为这些待定系数的函数。然后根据极值条件方程来确定这些待定系数,从而求得近似解。这就是瑞雷法。里兹把位移函数假定为: 其中: 待定系数；假定的某种函数。这些函数可以是幂函数()也可以是其他合适的函数。把这些位移函数代入总势能泛函, 总势能泛函即由位移的泛函变为这些待定系数的函数。然后根据极值条件来确定这些待定系数以求得近似解。这就是瑞雷-里兹法。 这2n个方程正好解出这2n个待定系数,从而求得位移函数的近似解。(4) 用有限单元法解微分方程 三、 分析的一般过程图1.1（a）（b）1、划分单元连续体的离散化构成了以单元的集合体来近似代替原来的连续体的有限元分析计算模型2、建立位移模型3、单元分析单元的刚度方程可表示为，（1.1）式中： 单元结点力向量； 就是单元的刚度矩阵；它反映了单元结点力与单元结点位移之间的关 系。单元分析的结果就建立单元的单元刚度方程和求出单元刚度矩阵。4、整体分析整个结构的刚度方程可以由最小势能原理来建立。总刚度方程为（1.2）式中： 结构的等效结点荷载向量； 结构的总刚度矩阵； 结构的结点位移向量，由单元的结点位移向量集成；整体分析的目的就是建立整个结构的刚度方程，以求解未知的结点位移及计算单元应力。5、求解节点力位移6、通过位移求解应力、应变四、单元类型把结构离散成有限个单元时，可以选择不同的单元形状，图1.2列出了工程中常用的几种单元的形状,自左至右分别是：三结点三角形单元, 六结点三角形单元、四结点矩形单元、四结点等参数单元和八结点曲边等参数单元。这些单元的特性和分析方法将在下面讨论。图1.2 常用平面单元的形状 第二节 常应变三角形单元一、位移模式和形函数图5.3.1设、为单元中任一点沿轴和轴方向的位移，假定单元中各点的位移成线性变化，即 （3.1）这就是我们所假定的三角形单元的线性位移模式。把上式写成矩阵形式，即：（3.1a）或写成 （3.2）当时, 当时 当时 同理（3.3a）（3.3b）求解以上两式的方程组可得待定系数，即得到。这里略去推导过程中的繁琐运算，最后可得到矩阵N为：（3.9）其中： A为单元面积；（3.11）（3.12）（3.13）令（3.14）、称为单元的形函数。矩阵 称为单元的形函数矩阵。由式（3.9）可得：（3.15）则 （3.15a）其中； 二阶单位矩阵。位移模式反映了单元内各点的位移变化规律。这是有限元计算的出发点，其假定得是否恰当、是否反映单元真实的变形情况将决定计算结果的精度。二、单元的几何方程由平面问题的几何方程可知任一点的应变与位移的关系（3.14） 将公式（3.14）求导，得：代入到式（316） （3.16）将脚标换成和，可得相应形函数的偏导数的数值，所以：所以 （3.18） 简写成： （3.19） 其中： （3.20）公式（3.19）反映了单元应变与结点位移之间的关系，称为单元的几何方程，矩阵称为单元的应变矩阵。它可以写成分块矩阵的形式（3.21）而子矩阵为（3.22）三、单元的物理方程和应力矩阵由物理方程即虎克定律可知： 把公式代入得： （3.23） 令 （3.24） 则 （3.25）其中： 为弹性矩阵，四、单元刚度矩阵1、单元的应变能单元的应变能为：将公式（3.19）及（3.23）代入上式，得：令式中 （3.26）单元的单元刚度矩阵。单元的应变能可写成2、单元的荷载势能 （3.30）3、单元的总势能单元的总势能为单元的应变能以及外力势能的和： （3.31）4、单元刚度方程单元的结点位移必须满足条件： 即 （3.32）由此可得： （3.33）5、单元刚度矩阵由于三结点三角形单元中, 矩阵、中的元素均为与坐标无关的常量，故可写成：（3.26a）把式代入上式得 （3.28）得单元刚度矩阵中的任一个子块的通式为：（3.29）容易看出，因此常应变三角形单元的刚度矩阵是66对称矩阵。 对于平面应变问题，只需将上式的换成，换成即可。五、荷载的移置1、集中力的移置设单元中的任一点作用集中力，其沿坐标的分量为和，用矩阵表示为图3.3将此移置到结点上得到相应的等效结点力：现根据虚功等效的原则来推求与之间的关系。设单元产生虚位移，点的虚位移为：结点相应的虚位移 为：根据静力等效原则：考虑到： 代入上式得： 因为虚位移 是任意的，因而 也是任意的，所以有(3.33)展开后为： (3.34)这就是集中力向结点移置的一般公式，也是其它荷载移置的基础。2、体积力的移置 当单元作用分布体积力(如重力)时，设在微元体积上作用力，是体积力的集度，其沿、方向的分量分别为、，即图3.4 则微元体积上的体积力合力为：由静力等效原则：故 (5.3.35)这就是分布体力向结点移置的计算公式。3、表面力的移置图（a）所示单元的边界上作用沿x方向的集中力，边的长度为，其作用点距边界结点、的距离分别为、，根据公式可推出移置的结果为：图5.3.5(3.37)沿y方向的集中力作用，结果相似，只是结点荷载的方向与原荷载的方向相同。图 (b) 所示的单元 的边界上沿x方向的集中力受三角形分布荷载的作用，点的集度为。根据公式可推出移置的结果为：(3.38)如果单元 的边界上受均匀分布荷载的作用，荷载的集度为。则移置的结果为：(3.39)第三节 整体分析一、结构刚度方程的建立对整个结构运用最小势能原理就可以导出结构的刚度方程和结构的总刚度矩阵。结构的总应变势能等于结构各个单元的变形能的总和。设结构有个单元，则总势能其中： 结构的总刚度矩阵。 （4.1）结构总的结点位移向量，即有限元单元法的基本未知量。由于结构所受的荷载均可移置到单元结点上，所以总的荷载势能其中：结构总的荷载向量。（4.2）因此结构的总势能为：根据最小势能原理，则由此可得： （4.3）这就是结构的总刚度方程。如果结构的结点总数为，则它是一个阶的线性代数方程组。二、总刚度矩阵的集成原则上是“子块搬家,对号入座”的方法。三结点三角形单元有3个结点,它的单元刚度矩阵有33个子块。搬家时将单元的刚度中第i行第j列(注意,是子块行