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第第 8 模块模块 第第 9 节节 一 选择题 1 若直线 y a 与椭圆x 2 3 y2 4 1 恒有两个不同的交点 则 a 的取值范围是 A 3 3 B 3 3 C 2 2 D 4 4 解析 如右图 作出图形 即可求出结果 答案 C 2 设抛物线 y2 8x 的准线与 x 轴交于点 Q 若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点 则 直线 l 的斜率的取值范围是 A 1 2 1 2 B 2 2 C 1 1 D 4 4 解析 设直线方程为 y k x 2 与抛物线联立方程组 整理得 ky2 8y 16k 0 当 k 0 时 直线与抛物线有一个交点 当 k 0 时 由 64 64k2 0 解得 1 k 1 且 k 0 所以 1 k 1 答案 C 3 已知点 P 4 2 是直线 l 被椭圆 x2 4y2 所截得的线段 AB 的中点 若 AB 10 则 等于 A 4 B 9 C 16 D 36 答案 D 4 斜率为 1 的直线 l 与椭圆x 2 4 y 2 1 相交于 A B 两点 则 AB 的最大值为 A 2 B 4 5 5 C 4 10 5 D 8 10 5 解析 设直线 l 的方程为 y x t 代入x 2 4 y 2 1 消去 y 得5 4x 2 2tx t2 1 0 由题意得 2t 2 5 t2 1 0 即 t2 5 弦长 AB 2 4 5 t 2 5 4 10 5 答案 C 二 填空题 5 如果过两点 A a 0 和 B 0 a 的直线与抛物线 y x2 2x 3 没有交点 那么实数 a 的取值范围是 解析 过 A B 两点的直线为 x y a 与抛物线 y x2 2x 3 联立得 x2 x a 3 0 因为直线与抛物线没有交点 则方程无解 即 1 4 a 3 0 解之 a32 此时无最小值 综上所述 y21 y22的最小值为 32 8 抛物线的顶点在原点 以 x 轴为对称轴 经过焦点且倾斜角为 135 的直线 被抛物 线所截得的弦长为 8 试求抛物线方程 解 如右图 依题意设抛物线方程为 y2 2px p 0 则直线方程为 y x 1 2p 设直线交抛物线于 A x1 y1 B x2 y2 则由抛物线定义得 AB AF FB AC BD x1 p 2 x2 p 2 即 x1 x2 p 8 又 A x1 y1 B x2 y2 是抛物线和直线的交点 由 y x 1 2p y2 2px 消去 y 得 x2 3px p 2 4 0 x1 x2 3p 将其代入 得 p 2 所求抛物线方程为 y2 4x 当抛物线方程设为 y2 2px 时 同理可求得抛物线方程为 y2 4x 抛物线方程为 y2 4x 或 y2 4x 高考 模拟 预测 1 2009 四川高考 已知直线 l1 4x 3y 6 0 和直线 l2 x 1 抛物线 y2 4x 上一 动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是 A 2 B 3 C 11 5 D 37 16 解析 直线 l2 x 1 恰为抛物线 y2 4x 的准线 P 到 l2的距离 d2 PF F 1 0 为抛物线焦点 所以 P 到 l1 l2距离之和最小值为 F 到 l1距离 4 1 3 0 6 32 42 2 故选 A 答案 A 2 2009 北京高考 点 P 在直线 l y x 1 上 若存在过 P 的直线交抛物线 y x2于 A B 两点 且 PA AB 则称点 P 为 A 点 那么下列结论中正确的是 A 直线 l 上的所有点都是 A 点 B 直线 l 上仅有有限个点是 A 点 C 直线 l 上的所有点都不是 A 点 D 直线 l 上有无穷多个点 但不是所有的点 A 点 解析 分别作出直线 l y x 1 及抛物线 y x2 如右图 取直线 l 上任一点 P 都存在过 点 P 的直线 直线可绕 P 点任意旋转 交抛物线 y x2于 A B 两点 则 AB 的取值范围是 0 那么一定存在一个值 使得 PA AB 故选 A 答案 A 3 2009 天津高考 设抛物线 y2 2x 的焦点为 F 过点 M 3 0 的直线与抛物线相交于 A B 两点 与抛物线的准线相交于点 C BF 2 则 BCF 与 ACF 的面积之比S BCF S ACF A 4 5 B 2 3 C 4 7 D 1 2 解析 如右图过 A B 作准线 l x 1 2的垂线 垂足分别为 A1 B1 由于 F 到直线 AB 的距离为定值 S BCF S ACF BC CA 又 B1BC A1AC BC CA BB1 AA1 由抛物线定义 BB1 AA1 BF AF 2 AF 由 BF BB1 2 知 xB 3 2 yB 3 lAB y 0 3 3 3 2 x 3 把 x y 2 2代入上式 求得 yA 2 xA 2 AF AA1 5 2 故S BCF S ACF BF AF 2 5 2 4 5 故选 A 答案 A 4 2009 辽宁高考 已知 椭圆 C 经过点 A 1 3 2 两个焦点为 1 0 1 0 1 求椭圆 C 的方程 2 E F 是椭圆 C 上的两个动点 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数 证明 直线 EF 的斜率为定值 并求出这个定值 解 1 由题意 c 1 可设椭圆方程为 x2 1 b2 y2 b2 1 因为 A 在椭圆上 所以 1 1 b2 9 4b2 1 解得 b 2 3 b2 3 4 舍去 所以椭圆方程为x 2 4 y2 3 1 2 设直线 AE 方程为 y k x 1 3 2 代入x 2 4 y2 3 1 得 3 4k2 x2 4k 3 2k x 4 3 2 k 2 12 0 设 E xE yE F xF yF 因为点 A 1 3 2 在椭圆上 所以 xE 4 3 2 k 2 12 3 4k2 yE kxE 3 2 k 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数 在上式中以 k 代 k 可得 xF 4 3 2 k 2 12 3 4k2 yF kxF 3 2 k 所以直线 EF 的斜率 kEF yF yE xF xE k xE xF 2k xF xE 1 2 即直线 EF 的斜率为定值 其值为 1 2 备选精题 5 已知动圆 C 过点 A 2 0 且与圆 M x 2 2 y2 64 相内切 1 求动圆 C 的圆心的轨迹方程 2 设直线 l y kx m 其中 k m Z 与 1 所求轨迹交于不同两点 B D 与双曲线x 2 4 y2 12 1 交于不同两点 E F 问是否存在直线 l 使得向量DF BE 0 若存在 指出这样的 直线有多少条 若不存在 请说明理由 解 1 圆 M x 2 2 y2 64 圆心 M 的坐标为 2 0 半径 R 8 AM 4 AM 圆心 C 的轨迹是中心在原点 以 A M 两点为焦点 长轴长为 8 的椭圆 设其方程 为x 2 a2 y2 b2 1 a b 0 则 a 4 c 2 b2 a2 c2 12 所求动圆 C 的圆心的轨迹方程为x 2 16 y2 12 1 2 由 y kx m x2 16 y2 12 1 消去 y 化简整理得 3 4k2 x2 8kmx 4m2 48 0 设 B x1 y1 D x2 y2 则 x1 x2 8km 3 4k2 1 8km 2 4 3 4k2 4m2 48 0 由 y kx m x2 4 y2 12 1 消去 y 化简整理得 3 k2 x2 2kmx m2 12 0 设 E x3 y3 F x4 y4 则 x3 x4 2km 3 k2 2 2km 2 4 3 k 2 m2 12 0 DF BE 0 x 4 x2