高考数学总复习 第十章 算法初步、复数与选考内容 第4讲 几何证明选讲课件 文.ppt

第4讲 几何证明选讲 1 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 所得对应线段成比例 推论1 平行于三角形的一边的直线截其他两边 或两边的 延长线 所得的对应线段成比例 推论2 平行于三角形的一边 并且和其他两边相交的直线 所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例 2 射影定理的结论直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与斜边的乘积 斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射 影的乘积 bd dc 在rt abc中 bac 90 ad bc于点d 则ab2 bd bc ac2 cd cb ad2 3 相似三角形的判定与性质 1 相似三角形的判定定理 预备定理 平行于三角形一边的直线与其他两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角形与原三角形相似 判定定理1 两角对应相等 两三角形相似 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 判定定理3 三边对应成比例的两个三角形相似 判定定理4 如果两个直角三角形的斜边和直角边对应成比例 那么它们相似 2 相似三角形的性质定理 相似三角形对应高的比 对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比 的 平方 4 圆内接四边形的性质与判定 1 圆内接四边形的对角互补 2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 3 如果四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 5 直线与圆 一半 1 圆周角定理 圆心角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 圆心角的度数等于它所对弧的度数 2 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 3 相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 4 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 10 图10 4 1 图10 4 2 2 如图10 4 2 db dc是 o的两条切线 点a是圆上 一点 已知 d 46 则 bac 67 3 2014年广东肇庆二模 如图10 4 3 abc的外角平分 线ad交外接圆于点d bd 4 则cd 4 图10 4 4 98 a 考点1 相似三角形 例1 1 2014年广东 如图10 4 5 在平行四边形abcd中 点e在ab上 且eb 2ae ac与de交于点f 则 cdf的周长 aef的周长 图10 4 5 解析 3 2 如图10 4 6 在梯形abcd中 ab cd ab 4 cd 2 e f分别为ad bc上的点 且ef 3 ef ab 则梯形abfe与梯形efcd的面积比为 图10 4 6 答案 75 规律方法 解本题第 2 小题的关键在于延长ad bc 交点为p 从而将我们不太熟悉的梯形转化为三角形来解决 反复运用相似三角形的面积之比等于相似比的平方 证明三角形相似的主要方法 两角相等 两边对应成比例 且夹角相等 三边对应成比例 互动探究 1 2013年陕西 如图10 4 7 ab与cd相交于点e 过e作bc的平行线与ad的延长线相交于点p 已知 a c pd 2da 2 则pe 图10 4 7 考点2 与圆有关的角 例2 如图10 4 8 已知点c在圆o直径be的延长线上 ca切圆o于a点 dc是 acb的平分线并交ae于点f 交ab于d点 求 adf的大小 图10 4 8 思维点拨 根据直径上的圆周角是直角 弦切角定理以及 三角形内角和定理等通过角的关系求解 解 设 eac 根据弦切角定理 abe 根据三角形外角定理 aec 90 根据三角形内角和定理 ace 90 2 由于cd是 acb的内角平分线 所以 fce 45 再根据三角形内角和定理 cfe 180 90 45 45 根据对顶角定理 afd 45 由于 daf 90 所以 adf 45 规律方法 借用等弦或等弧所对的圆周角相等 所对的圆心角相等 可进行角的等量代换 同时也可借在同圆或等圆中 相等的圆周角 或圆心角 所对的弧相等 可进行弧 或弦 的等量代换 互动探究 2 如图10 4 9 eb ec是 o的两条切线 b c是切点 a d是 o上两点 如果 e 46 dcf 32 则 a的度数是 图10 4 9 答案 99 图d43 3 2012年广东广州二模 如图10 4 10 o的直径ab 6 点p是ab延长线上的一点 过点p作 o的切线 切点为 c 连接ac 若pc 3 则 cpa 30 图10 4 10解析 pc2 pb pa 27 pb pb 6 pb2 6pb 27 0 得pb 3 连接oc 在rt opc中 oc 3 op 6 则 cpa 30 考点3 与圆有关的比例线段 例3 2014年新课标 如图10 4 11 p是 o外一点 pa是切线 a为切点 割线pbc与 o相交于点b c pc 2pa d为pc的中点 ad的延长线交 o于点e 证明 1 be ec 2 ad de 2pb2 图10 4 11 证明 1 如图10 4 12 连接ab ac 由题设知pa pd 故 pad pda 因为 pda dac dca pad bad pab dca pab 所以 dac bad 图10 4 12 因此be ec 2 由切割线定理 得pa2 pb pc 因为pc 2pa 所以pa 2bp 所以pd 2pb 所以bd pb 所以bd dc pb 2pb 由相交弦定理 得ad de bd dc 所以ad de 2pb2 规律方法 相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具 应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征 另一方面在与定理相关的图形不完整时 要用辅助线补齐相应部分 在实际应用中 见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理 见到圆的两条割线就要想到割线定理 见到圆的切线和割线就要想到切割线定理 ab2 ac ad mn ab 互动探究 4 2012年广东 如图10 4 113 直线pb与圆o相切于点b d是弦ac上的点 pba dba 若ad m ac n 则ab 图10 4 13 cab 得 abac adab 解析 pba dba acb bad cab bad 易错 易混 易漏 审题