高考数学 第三章 第七节 正弦定理和余弦定理课件 理 新人教A版.ppt

第七节正弦定理和余弦定理 正弦定理与余弦定理 b2 c2 2bccosa c2 a2 2cacosb a2 b2 2abcosc 2rsina 2rsinb 2rsinc a b c 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 在 abc中 a b必有sina sinb 2 正弦定理对钝角三角形不成立 3 在 abc中共有三个角 三个边六个量 可以已知三个量求另外三个量 4 余弦定理对任何三角形均成立 5 正弦定理可以实现边角互化 但余弦定理不可以 提示 1 正确 a b a b 1 由正弦定理可得 1 又sinb 0 sina sinb 2 错误 正弦定理对任意三角形均成立 3 错误 当已知三个角时不能求三边 4 正确 由余弦定理推导过程可知对任意三角形均适用 5 错误 余弦定理可以实现角化边 也能实现边化角 答案 1 2 3 4 5 1 在 abc中 a 3 a 30 b 60 则b等于 a 3 b c d 2 解析 选a 由正弦定理得b 2 在 abc中 a 4 b 2 c 30 则边c等于 a b 2 c 2 d 3 解析 选b 由余弦定理得c2 a2 b2 2abcosc 16 12 2 4 2 4 c 2 3 abc满足acosb bcosa 则 abc的形状为 a 直角三角形 b 等边三角形 c 等腰三角形 d 等腰直角三角形 解析 选c 由acosb bcosa及正弦定理得 sinacosb sinbcosa 即sinacosb cosasinb 0 故sin a b 0 a b为 abc的内角 a b 0 a b 所以 abc是等腰三角形 4 在 abc中 b 30 c 120 则a b c 解析 a 180 30 120 30 由正弦定理得 a b c sina sinb sinc 1 1 答案 1 1 5 在 abc中 已知a2 b2 bc c2 则角a等于 解析 由已知得b2 c2 a2 bc cosa 又 0 a a 答案 考向1正弦定理的应用 典例1 1 2013 广州模拟 在 abc中 若a 60 bc 4 ac 4 则角b的大小为 a 30 b 45 c 135 d 45 或135 2 2013 惠阳模拟 已知a b c分别是 abc的三个内角a b c所对的边 若a 1 b a c 2b 则sinc等于 a 1 b c d 3 2013 岳阳模拟 如图 在 abc中 点d在bc边上 ad 33 sin bad cos adc 求sin abd的值 求bd的长 思路点拨 1 利用正弦定理求解即可 2 先由a b c 及条件得b 再利用正弦定理得a 进而得sinc 3 利用 abd adc bad及两角差的正弦公式求解 利用正弦定理求解 规范解答 1 选b 由已知a 60 bc a 4 ac b 4及正弦定理 得sinb sinb 故b 45 或b 135 a b 舍去 2 选a 由a c 2b且a b c 得b 由得sina 又 a b a b a c a b sinc 1 3 因为cos adc 所以sin adc 因为sin bad 所以cos bad 因为 abd adc bad 所以sin abd sin adc bad sin adccos bad cos adcsin bad 在 abd中 由正弦定理 得 所以bd 25 拓展提升 1 三角形解的情况已知两边和其中一边的对角 解三角形时 注意解的情况 如已知a b a 则有两解 一解 无解三种情况 2 解三角形中的常用公式和结论 1 a b c 2 0 a b c sin sin coscos cos sin sin a b sinc cos a b cosc tan a b tanc 3 三角形中等边对等角 大边对大角 反之亦然 三角形中任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 变式训练 在 abc中 a b b 45 求角a c和边c 解析 由正弦定理得 sina a b a 60 或a 120 当a 60 时 c 180 45 60 75 c 当a 120 时 c 180 45 120 15 c 考向2余弦定理的应用 典例2 1 2013 重庆模拟 在 abc中 角a b c所对边长分别为a b c 若a2 b2 2c2 则角c的最大值为 a b c d 2 2013 济南模拟 已知 abc中 sina sinb sinc 3 2 4 则cosc等于 a b c d 3 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 且满足 3 b c 6 则边a a 2 b 2 c 2 d 4 思路点拨 1 利用余弦定理及a2 b2 2ab得cosc的范围 从而得c的最大值 2 利用已知条件及正弦定理得a b c的关系 再利用余弦定理可求 3 利用已知可得cosa及b c的值 从而利用余弦定理可求a 规范解答 1 选c 由cosc 而a2 b2 2c2 故cosc 等号成立的条件是a b 故c为锐角 故0 c 因而c的最大值为 2 选b 由sina sinb sinc 3 2 4 及sina sinb sinc 得a b c 3 2 4 故设a 3k 则b 2k c 4k 故cosc 3 选c 因为 所以cosa 由 3 得bccosa 3 所以bc 5 由bc 5 且b c 6 解得或由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosa 20 故a 2 互动探究 若将本例题 3 中的 3 b c 6 改为 如何求a 解析 由得cosa 故sina 又由得b 2sinb 故 2 即a 2 拓展提升 正 余弦定理的相互转化正 余弦定理在应用时 应注意灵活性 尤其是其变形应用时可相互转化 如a2 b2 c2 2bccosa可以转化为sin2a sin2b sin2c 2sinbsinccosa 利用这些变形可进行等式的化简与证明 变式备选 在 abc中 a b c分别是角a b c的对边 且 1 求角b的大小 2 若b a c 4 求a c的值 解析 1 由余弦定理知 cosb cosc 将上式代入得 整理得 a2 c2 b2 ac cosb b为三角形的内角 b 2 将b a c 4 b 代入b2 a2 c2 2accosb 得b2 a c 2 2ac 2accosb 13 16 2ac 1 ac 3 由得或故a 1 c 3或a 3 c 1 考向3利用正 余弦定理判断三角形的形状 典例3 1 2013 哈尔滨模拟 在 abc中 若a 2bcosc 则 abc是 a 锐角三角形 b 等腰三角形 c 钝角三角形 d 直角三角形 2 在 abc中 a b c分别为内角a b c的对边 且2asina 2b c sinb 2c b sinc 求a的大小 若sinb sinc 1 试判断 abc的形状 思路点拨 1 利用正弦定理边化角 再将sina转化为sin b c 展开整理可解 2 利用正弦定理角化边转化 再结合余弦定理可解 利用c a b 转化为关于角b的关系式求解角b可判断 规范解答 1 选b 由a 2bcosc可得sina 2sinbcosc 又sina sin b c 故sin b c 2sinbcosc 即sinbcosc cosbsinc 2sinbcosc 得sinbcosc cosbsinc 0 即sin b c 0 又b c为 abc的内角 故b c 0 即b c 故 abc为等腰三角形 2 由已知 根据正弦定理得2a2 2b c b 2c b c 即a2 b2 c2 bc 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosa 故cosa a 120 由 得sin2a sin2b sin2c sinbsinc 又sinb sinc 1 得sinb sinc 因为0 b 90 0 c 90 故b c 30 所以 abc是等腰的钝角三角形 互动探究 若将本例题 1 中条件改为 sinb cosasinc 则 abc的形状如何 解析 由sinb cosasinc得sin a c cosasinc 即sinacosc cosasinc cosasinc 故sinacosc 0 又0 a 故sina 0 所以cosc 0 故c 因而 abc是直角三角形 拓展提升 1 三角形形状的判断思路 1 边与边的关系主要看是否有等边 是否符合勾股定理等 2 角与角的关系主要是看是否有等角 有无直角或钝角等 2 判定三角形形状的两种常用途径 1 通过正弦定理和余弦定理 化边为角 利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断 2 利用正弦定理 余弦定理 化角为边 通过代数恒等变换 求出边与边之间的关系进行判断 提醒 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一 并注重挖掘隐含条件 另外 在变形过程中要注意角a b c的范围对三角函数值的影响 变式备选 1 在 abc中 acos a bcos b 则 abc的形状为 a 直角三角形 b 等腰三角形 c 等边三角形 d 等腰直角三角形 2 abc中 已知a b ccosb ccosa 则 abc的形状为 a 等腰三角形 b 直角三角形 c 等腰直角三角形 d 等腰或直角三角形 3 abc中 若b asinc c acosb 则 abc的形状为 a 等腰三角形 b 直角三角形 c 等腰直角三角形 d 等腰或直角三角形 解析 1 选b 方法一 acos a bcos b asina bsinb 由正弦定理可得 a b a2 b2 a b abc为等腰三角形 方法二 acos a bcos b asina bsinb 由正弦定理可得 2rsin2a 2rsin2b 即sina sinb a b a b 不合题意舍去 故 abc为等腰三角形 2 选d 由已知结合余弦定理可得a b 整理得 a b a2 b2 c2 0 a b或a2 b2 c2 abc为等腰或直角三角形 3 选c 由b asinc可知 sinc 由c acosb可知c a 整理得b2 c2 a2 即三角形一定是直角三角形 a 90 sinc sinb b c abc为等腰直角三角形 满分指导 解答正 余弦定理的综合题 典例 12分 2012 江苏高考 在 abc中 已知 1 求证 tanb 3tana 2 若cosc 求a的值 思路点拨 规范解答 1 由得 即为cbcosa 3cacosb 2分bcosa 3acosb 由正弦定理得sinbcosa 3sinacosb 3分两边同除cosacosb得tanb 3tana 即tanb 3tana成立 5分 2 因cosc 所以c为锐角 所以tanc 2 由 1 tanb 3tana 且a b c 得tan a c 3tana 6分即 tan a c 3tana 3tana 即 3tana 8分所以tana 1或tana 10分因tanb 3tana 由内角和为 知两角均为锐角 故tana 应舍去 所以tana 1 所以a 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 惠州模拟 在 abc中 a b c分别为角a b c所对的边 若a 2bcosc 则此三角形一定是 a 等腰直角三角形 b 直角三角形 c 等腰三角形 d 等腰或直角三角形 解析 选c 在 abc中 若a 2bcosc 则sina 2sinbcosc 即sin b c 2sinbcosc sin b c 0 b c为 abc的内角 b c 0 b c abc为等腰三角形 2 2012 湖北高考 设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 若 a b c a b c ab 则角c a 30 b 45 c 60 d 120 解析 选d 由 a b c a b c ab 可知a2 b2 c2 ab 又cosc 所以c 120 3 2013 珠海模拟 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 若a a cosb 则b a b c d 解析 选c cosb sinb 则b 4 2012 北京高考 在 abc中 若a 2 b c 7 cosb 则b 解析 b c 7 c 7 b 由余弦定理得b2 a2 c2 2accosb 即b2 4 7 b 2 2 2 7 b 解得b 4 答案 4 1 在 abc中 若2acosb c 则2cos2 sinb 1的取值范围是 a b 1 c 1 d 1 解析 选c 由2acosb c得2sinacosb sinc sin a b 即2sinacosb sinacosb cosasinb 即sinacosb cosasinb 0 即si