高考数学 第六章 第一节 不等关系与不等式课件 理 新人教A版.ppt

第六章不等式 推理与证明第一节不等关系与不等式 1 两个实数比较大小的法则 a b 0 a b 0 2 不等式的基本性质 b a a c a c b c an bn n n 3 不等式的倒数性质 1 a b ab 0 2 a 0 b 3 a b 0 0 c d 4 0 a x b或a x b 0 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 在一个不等式的两边同乘以一个非零实数 不等式仍然成立 2 同向不等式具有可加性和可乘性 3 若两个数的比值大于1 那么分子就大于分母 4 一个数越大 它的倒数不一定越小 解析 1 错误 在一个不等式的两边同乘以一个正数时 不等式仍然成立 同乘以一个负数时不等号改变方向 2 错误 同向不等式具有可加性 但不一定具有可乘性 3 错误 只有当分子和分母都是正数时 这个结论才成立 4 正确 例如 2 3时 有但 2 2时 却有答案 1 2 3 4 1 若a 0 1 b 0 那么下列不等式中正确的是 a a ab2 ab b ab2 a ab c a ab ab2 d ab2 ab a 解析 选a 因为 1 b 0 所以b 0 b2 1 于是a ab2 ab 2 若a 1 b 下列不等式中不一定成立的是 a a b 1 b b a 1 b 1 c a 1 1 b d 1 a b a 解析 选c 由a 1知a b 1 b 故a正确 由a b知a 1 b 1 故b正确 由1 b知1 a b a 故d正确 c项错误 如当a 3 b 3时 不成立 3 x ym d xm 解析 选b 由不等式的性质知 当x m且y m时必有x y 2m 但当x y 2m时 不一定有x m且y m 如当x 1 y 5 m 4时就不成立 4 的大小关系是 解析 因为而所以即 答案 5 已知 2 a 1 3 b 2 则a b的取值范围是 a2 b2的取值范围是 解析 因为 2 a 1 3 b 2 所以2 b 3 于是0 a b 2 又因为1 a2 4 4 b2 9 所以5 a2 b2 13 答案 0 2 5 13 考向1用不等式 组 表示不等关系 典例1 1 2013 广州模拟 一个课外研究小组中男生人数为x人 女生人数为y人 要求该小组人员总数不得超过10人 男女生人数都不得低于3人 则这些关系用不等式组表示为 2 某厂拟生产甲 乙两种适销产品 甲 乙产品都需要在a b两台设备上加工 在a b设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时 2小时 加工一件乙产品所需工时分别为2小时 1小时 a b两台设备每月有效使用时数分别为400和500 写出满足上述所有不等关系的不等式 思路点拨 1 根据问题对人数的要求列出各个不等式组成不等式组即可 2 首先引进变量 然后根据题目所述的条件逐一用变量和不等式表示 再组成不等式组即可 规范解答 1 选a 根据要求题目中的关系可知x y 10 x 3 y 3且x y都是自然数 可以用选项a中的不等式组表示 2 设甲 乙两种产品的产量分别为x y 则由题意可知 拓展提升 文字语言与符号语言的转化将实际问题中的不等关系写成相应的不等式 组 时 应注意关键性的文字语言与对应数学符号语言之间的正确转换 常见的转换关系如下表 提醒 在不等式的应用题中 用不等式表示不等关系时 不可忽略自变量的限制条件 变式训练 将一个三边长度分别为5 12 13的三角形的各边都缩短x 构成一个钝角三角形 试用不等式 组 表示x应满足的不等关系 解析 各边都缩短x后 长度仍然为正数 只要最短边大于零即可 因此5 x 0 而要构成三角形 还要满足 5 x 12 x 13 x 当三角形是钝角三角形时 应使最大角是钝角 此时只需最长边对的角是钝角即可 因此 5 x 2 12 x 2 13 x 2 故x应满足的不等关系如下 考向2比较大小 典例2 1 若实数a 1 比较a 2与的大小 2 已知 0 且a cos2 b cos sin 试比较a与b的大小 思路点拨 1 运用作差法进行比较 同时注意对实数a进行讨论 2 由于作差法不易比较 且a与b均为正数 可用作商法比较 规范解答 由于所以当a 1时 有当a 1时 有 2 由于 0 所以2 0 故a cos2 0 且cos sin 所以b 0 而 cos sin sin 由于 0 所以 故sin 1 sin 1 即故必有a b 互动探究 本例题 2 中 若将 的取值范围改为 那么a与b大小关系如何 解析 由于 所以2 故a cos2 0 且cos sin 所以b 0 而 cos sin sin 由于 所以 故sin 1 sin 1 即故必有a b 拓展提升 1 作差法比较大小的方法步骤 作差 有的可直接作差 有的需转化后才可作差 变形 目的是判断差的符号 通常进行通分 因式分解 配方 分子 分母 有理化等变形 有时还要根据字母取值范围进行讨论以判断差的符号 定号 若a b 0 则a b 若a b1 b 0 则a b 若 1 b 0 则a b的原则进行判断 变式备选 设x 5 则p与q的大小关系是 解析 而所以必有p q 答案 p q 考向3不等式的性质及其应用 典例3 1 2013 合肥模拟 已知a b c d为实数 且c d 则 a b 是 a c b d 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 2 2012 湖南高考 设a b 1 cloga b c 其中所有的正确结论的序号是 a b c d 3 已知 3 2x 1 1 则 1的取值范围是 思路点拨 1 根据充分必要条件的定义进行判断 利用不等式性质肯定一个结论 或取特殊值否定一个结论 2 可直接利用不等式的性质以及幂函数和对数函数的单调性进行比较 也可以采用特殊值方法进行比较 3 先求出x的范围 再求的范围 从而求出的取值范围 规范解答 1 选b 由于c d 所以 d c 因此当a b时能够推出a d b c 但不一定有a c b d 如a 3 b 2 c 4 d 1 但当c d且a c b d时 必有a b 所以是必要不充分条件 故选b 2 选d 由不等式a b 1知又cb 1 cb c 1 c 1 由对数函数的图象与单调性知 正确 故选d 3 由 31 于是2 故 11 答案 3 1 拓展提升 1 判断命题真假的三种方法 1 直接运用不等式的性质法 把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑 找到与命题相近的性质 然后进行推理判断 2 利用指数函数 对数函数 幂函数的单调性法 当直接利用不等式性质不能比较大小时 可以利用指数函数 对数函数 幂函数的单调性等进行判断 3 取特殊值法 即给要比较的几个式子中涉及的变量取一些特殊值进行比较 判断 2 正确运用倒数法则求范围涉及 取倒数求范围 等问题时 注意倒数法则的正确运用 一般地 若x a a 0 则 若x a a0 则 变式训练 1 2012 长沙模拟 下列命题中为真命题的是 若a b 则 若a b 0 c d 0 则 若a b 且a b r 则 若 则1 sin 0 解析 由于lgb 0 c d 0 所以a2 b2 0 所以a2 b2 故a2 b2 所以 正确 由于函数y x是减函数 a b 所以 故 正确 当 时 1 sin 0 故 不正确 答案 2 若1 3 4 2 则 的取值范围是 解析 因为 4 2 所以0 4 于是 4 0 又1 3 所以 3 3 答案 3 3 创新体验 不等式与函数的融合 典例 2012 浙江高考 设a 0 b 0 a 若2a 2a 2b 3b 则a b b 若2a 2a 2b 3b 则a b c 若2a 2a 2b 3b 则a b d 若2a 2a 2b 3b 则a b 思路点拨 规范解答 选a 由于a 0 b 0 且2a 2a 2b 2b b 所以有2a 2a 2b 2b 设函数f x 2x 2x 显然函数f x 在 0 上单调递增 又f a f b 所以有a b 故a正确 b错误 又2a 2a 2b 2b b 所以2a 2a0可得x log2 所以函数g x 在 0 log2 上递减 在 log2 上递增 因此由g a g b 不能确定a与b的大小 即c和d都错误 故选a 思考点评 1 方法感悟 本题充分体现了函数思想在解题中的应用 即通过构造函数 研究其单调性 通过单调性结合函数值的大小关系得出自变量值的大小关系 一般地 函数与不等式是紧密联系在一起的 很多不等式问题 都可以借助函数的方法进行求解 这种思想方法值得我们仔细体会 2 技巧提升 1 在通过构造函数解决不等式问题时 注意观察题目的特点 一般来说 要比较大小的两个式子 或已知大 小关系的两个式子 在结构上 形式上都非常类似 都可以看作是将某个函数解析式中的自变量换成了不同的数 字母等得到的 因此可以通过研究函数的单调性 得到自变量的大小与函数值的大小之间的关系 2 构造函数这种思想方法 不仅适用于不等式中的大小比较问题 也可以解决方程与等式问题 另外 构造函数后 不仅可以研究其单调性 还可以研究其奇偶性 周期性等 然后再利用奇偶性 周期性等解决相关问题 1 2013 梅州模拟 已知a b c满足c b a且ac 0 则下列选项中不一定能成立的是 a b c d 解析 选c c b a 且ac 0 c 0 a 0 但b2与a2的关系不确定 故不一定成立 2 2013 吉林模拟 已知实数a b c满足b c 3a2 4a 6 c b a2 4a 4 则a b c的大小关系是 a c b a b a c b c c b a d a c b 解析 选a 由c b a2 4a 4 a 2 2 0易知c b 又由已知可解得b a2 1 a 所以c b a 3 2013 铜山模拟 若a b 0 且 则实数m的取值范围是 解析 由由a b 0 则上式等价于 0 即 b m 0 答案 b 0 4 2013 阳信模拟 a杯中有浓度为a的盐水x克 b杯中有浓度为b的盐水y克 其中a杯中的盐水更咸一些 若将a b两杯盐水混合在一起 其咸淡的程度可用不等式表示为 解析 依题意知a b 将a b两杯盐水混合后 盐水的浓度变为 则有 故有答案 1 若a2 4b2 2 2a 4b 则实数a b满足 a a 1且b b a 1或b c a 1且b d a 1或b