培养数学建模能力 解决实际应用问题.doc

类别初中数学培养数学建模能力 解决实际应用问题内容提要：数学应用问题是有实际意义或有生活实际背景的数学问题，着眼于应用所学的数学知识解决生活、生产中的实际问题。初中学生普遍对应用问题感到有困难，如何让学生掌握有效的方法来解决应用问题，这是每一位初中数学教师都在考虑的问题。培养与提高学生的数学建模能力是解决初中数学应用问题的重要方法，也有利于培养学生的数学应用意识、创新意识以及分析和解决实际问题的能力，实现数学“源自于生活、用之于生活”的目的。关键词：初中数学；应用问题；数学建模能力一、数学建模与实际应用问题数学问题来源于生活，又应用于生活。义务教育数学新课程标准（修改稿）十分强调数学与现实生活的联系，在新课标的“基本理念与设计思路”中特别指出：“要在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，让学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、体验解决问题的过程”。 “从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，是建立模型的出发点；用符号表示数量关系和变化规律，是建立模型的过程；求出模型的结果、并讨论结果的意义，是求解模型的过程。这些内容有助于学生初步形成模型思想，提高学习兴趣和应用意识。” 做为初中数学教师，我们经常可以发现：许多学生在解决计算、解方程、求函数解析式等“纯数学”问题时得心应手，但一遇到应用题、实际问题时却抓耳挠腮，不知从何入手了。教师与家长在查找问题原因时往往将之归结为学生做题时灵活性不够、生活常识欠缺，甚至认为主要是学生“太笨”。笔者认为：学生在解决实际应用问题时出现困难，数学建模能力的缺失应该是很大的原因。那么什么是数学建模？数学建模(Mathematical Modelling)就是把把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。数学建模的常规流程是：创设问题情境，通过实例引导学生探索，建立数学模型，进行数学处理，解决实际问题。其流程图为：实际问题数学模型实际问题的解数学模型的解数学解答建模解释简而言之，我们可以通过培养与提高学生的数学建模能力来达到解决初中数学应用问题的目的。二、建构数学模型的实践应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。如何提高学生的数学建模能力来解决实际应用问题,这是每一位数学教师在教学过程中都应考虑的问题。笔者认为首先要做好初中阶段数学建模思想在教学过程中的贯彻与落实，笔者是从以下几个方面来实践的。（一）教师的建模意识明确化笔者曾听一位教师在上二次函数的应用时讲过这样一个例题：“有一抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的图形放在坐标系里（如图所示），若在离跨度中心M点5m处垂直竖直一铁柱支撑拱顶，这铁柱应取多长？” 这位教师给出题目后，先让学生练习，过了几分钟就让一位学习基础较好的同学回答了解题结果：抛物线的解析式为，当=15时，=15，所以铁柱应取15米长。粗一听，好象没有什么问题，但再仔细看了其他几位同学的课堂练习后，却发现有一半左右的同学没有做完整，甚至有的同学不知道如何下手，而在前面的基础知识练习时，这些同学都是非常熟练的。为什么会出现这样的问题呢？教师在讲解应用问题时建模意识不强，没有用数学建模的方法分析题目中的数量关系是主要原因。许多初中学生的生活经验相对缺乏，很多人不明白“桥拱的高度、跨度”在数学知识上的含义，更不知道为了求铁柱的长度，应该去求哪些数据，数学知识与实际问题中出现了断层。如果教师在分析问题时没有把这些实际问题中的数据与已学的数学知识联系起来，那么，学生所学的理论知识与实际问题往往就会出现严重脱节，他们就不知道如何把实际问题中的条件转换为自己所熟悉的数学知识，学生“怕做应用题、怕实际问题”的情况也就难以解决。做为一名初中数学教师，在教学中有强烈的“数学建模”意识是非常重要的。课后，笔者与这位教师进行了交流，并在后一节进行了改进，在讲解中让学生明确：由题中已知的“桥拱的高度、跨度”分别可以知道抛物线的顶点及与坐标轴的交点，从而得出解析式，而“离跨度中心点5m”实际上就是告诉我们此点的横坐标是15或25，代入抛物线的解析式后就可以得出此点的纵坐标，而铁柱的长度值就是此点的纵坐标的值。结果再抽查一些学生的课堂练习，解答的正确率有了大幅度的提高。这说明教师在明确建模思路后，大多数的学生是完全可以理解，也可以用之解决问题的。所以，在教学活动中起主导作用的教师首先应具有数学建模的自觉意识，才能在教学过程中引导学生用数学建模意识去解决问题，也有助于学生提升数学建模能力、提高解决实际应用问题的能力。（二）数学阅读习惯正确化数学应用问题有别于“纯数学”题，它通常是文字表述的问题，需要通过阅读理解将实际问题转化为数学问题，抽象出其存在的数学模型。探求解题方案，是整个解题过程的中心内容，也是复杂的思维活动，但解题过程不应当直接从探求解题方案开始，而应首先深刻而全面地分析题意，理解实际背景，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系。在教学过程中，我们经常发现许多学生在解题时出现的错误主要是由于在审题时对题意的理解出现了偏差。只要学生再仔细地审题，不需要教师做其它指导，出现错误的学生完全可以得出正确的答案。甚至有的学生对题目篇幅比较大，数据相对较多等看起来比较繁琐的问题不愿动手去做，产生畏难情绪，究其原因，主要是学生的数学阅读习惯有问题。而实际应用问题往往题目内容较多、篇幅较长，不良的数学阅读习惯对问题的解决产生了很大的障碍。因此，培养学生正确的阅读习惯是提升学生数学建模能力的基本保障。数学问题中，每一个字词的理解都是对后续字词的理解与认识的基础，而对任何一个字词的错误理解甚至忽视都会对整个问题的题意产生偏差，甚至导致解决问题的整体失败。因此,数学阅读必须认真细致、勤思多想，不能象阅读文学作品一样不注意细节,一目十行，跳读、浏览、快速阅读等阅读方式不适合数学阅读。教师在指导学生解决实际应用问题时，要有意识地安排时间指导学生进行数学阅读，以求让学生养成很好的数学阅读习惯。笔者是从以下几方面着手来实践的： 1划关键字、词、句数学问题中的关键字、词、句是整个问题的核心所在，教师可以要求学生划出关键字、词、句,以突出重点。而且通过对关键字、词、句的分析，可以迅速地理解题意、理顺关系，从而抓住主要环节，确定解题思路。例1：某高速公路收费站，有m（m0）辆汽车排队等候收费通过。假设通过收费站的车流量（每分钟通过的汽车数量）保持不变，每个收费窗口的收费检票的速度也是不变的。若开放一个收费窗口，则需20分钟才可能将原来排队等候的汽车以及后来接上来的汽车全部收费通过；若同时开放两个收费窗口，则只需8分钟也可将原来排队等候的汽车以及后来接上来的汽车全部收费通过。若要求在3分钟内将排队等候收费的汽车全部通过，并使后来到站的汽车也随到随时收费通过，请问至少要同时开放几个收费窗口？关键词1：有m辆汽车等候通过；通过的车流量保持不变；检票的速度也不变。思考：这个问题涉及到哪些量？类似于已熟悉的哪一类数学问题？从而通过关键字、词、句的分析将问题归类建模。关键词2：开放一个收费窗口需20分钟将所有汽车全部收费通过；若同时开放两个收费窗口，需8分钟将所有汽车全部收费通过。思考：这几句话实际上就是告诉了我们哪些数据，包含了哪些条件？关键词3：要在3分钟内,请问至少要同时开放几个收费窗口?思考：问题实际上是要我们求什么量？学生如果在阅读中抓住了上述的关键词、句，问题中涉及到的数量关系就一目了然，如何设未知数、列方程也水到渠成，整个问题就迎刃而解了。2养成二次阅读的习惯划出关键字、词后，要指导学生对整个问题再做一次整体阅读，以防止遗漏，理顺思路，明确整体要求，并对整个问题的解决做出解答计划。3边读边做，分段解题数学应用问题往往条件比较多，篇幅较长，为便于问题的解决，应要求学生养成分段解题的习惯。按照所划出的关键字、词、句，进行逐行逐句的解读，并分步设未知数、列数量关系式、分步求解，从而将整个问题分段解决，将复杂问题简单化，将生疏问题熟悉化。也便于在解决问题的最后阶段将所有条件有机整合，从而顺利地得到答案。（三）常规问题熟练化数学的基本概念、性质、方法是数学知识的核心，也是各种能力形成的基础，没有基础知识的积累，能力的形成也无从谈起。任何教学拓展都不可能是没有基础知识为铺垫的，数学问题的解决应建立在常规问题能熟练解决的基础之上，初中阶段的数学教学首先要抓好“基础知识、基本技能”的培养与落实。课堂教学是一种螺旋式上升结构，学生的学习需要跨越“会熟通”三个层次，学生首先要对所学的基础知识非常熟练，才可能在此基础上进一步的提高。数学建模能力的培养和形成不是也不可能短期完成，必须结合具体内容，系统、有针对性、循序渐进进行。（四）问题布置层次化提高学生的数学建模能力解决数学应用问题时要顺应学生思维程度，由简而难，逐层推进。要为学生搭建一些合适的台阶，让学生循台阶拾级而上，“跳一跳，摘得到”，引导学生的思维经历发现的过程，而不会感到高不可攀。例2：实际测试表明1千克重的干衣物用水洗涤后拧干，湿重为2千克。今用质量百分数为1%的洗衣粉溶液洗涤0.5千克干衣物，然后用总量为20千克的清水分两次漂洗。假设在洗涤和漂洗的过程中，残留在衣物中的溶液质量百分数和它所在的溶液中的质量百分数相等，且每次洗、漂后都需拧干再进入下一道操作。问怎样分配这20千克清水的用量，可以使残留在衣物上的洗衣粉溶液质量百分数最小，残留在衣物上的洗衣粉有多少毫克（保留3个有效数字）？多数学生在拿到题目后感到没有头绪，不知所措。这时，教师可以适当地增加几个问题，为学生搭几个台阶，引导学生思考、解决问题。如：拧干后衣物质量与所带溶液质量的比是多少？问题中涉及到哪些量?它们之间有何数量关系?可以如何设未知数？第一次漂洗后，洗衣粉溶液的质量百分数如何表示？第二次漂洗后，洗衣粉溶液的质量百分数如何表示？然后引导学生逐层深入：设第一次用水千克，则第二次用水为(20-)千克。由题意知衣物拧干后，所带溶液质量与衣物质量相等。当用洗衣粉溶液洗涤0.5千克干衣拧干后，衣物所带质量百分数为1%的溶液共0.5千克。第一次用千克水漂洗后，洗衣粉溶液的质量百分数为；第二次用(20-)千克水漂洗后，洗衣粉溶液的质量百分数为所以用水的方法是：每次使用10千克清水漂洗，可以使残留在衣物上的洗衣粉溶液质量百分数最小。第二次漂洗拧干后，残留在衣物上的洗衣粉质量为： 三、运用数学建模解决实际问题的原则实践证明:教师指导学生用数学建模来解决实际问题的效果是比较明显的。在指导学生用数学建模来解决实际问题的过程中，教师设计教学方案时还可以关注以下两点：1追根溯源，还原拓展数学问题“来自于生活、用之于生活”，每一个实际应用问题都有其理论知识为依托，培养学生的数学建模能力，关键在于找到数学知识的“原型”。同时，对课本中的纯数学问题，可以依照科学性、现实性、新颖性、趣味性、可行性等原则，编拟出有实际背景的建模应用问题。例3：小李和小张各自加工15个玩具,小李每小时比小张多加工1个,结果比小张少半小时完成任务.问两个每小时各加工多少个玩具?要求：先根据题意,设合适未知数列出方程或方程组(不需解答), 然后根据你所方程或方程组,编制一道行程问题的应用题.使你所列方程或方程组恰好也是你所编的行程应用题的方程或方程组,并解这个行程问题。2归类引申，开拓思路对实际应用问题，教师可将一些常见类型进行归类，总结问题中涉及到的数量关系、解决方案、注意事项等规律，以利于学生对应用问题进行知识整理，分门别类地解决问题。如行程问题、工程问题、质量分数问题、增长率问题、存款问题、商品销售问题、盈亏问题、分配问题等等。对课本中出现的应用问题，还可以改变设问方式、变换条件或结论，拓展成新的数学建模应用问题。例如，可以将下列几个问题归为一类：1.某山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间住房. 如果每间住5人，那么有12人安排不下；如果每间住8人，那么有一间房还余一些床位，问该校可能有几间住房可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？2.用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装5吨，则剩下10吨货物，若每辆车装满8吨，则最后一辆汽车不空也不满，请问有多少辆汽车？3.为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干课外读物准备送给他们，如果每人送3本，则还余8本；如果前面每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足3本，请求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数。老子中有一句大家耳熟能详的话：“授人以鱼不如授人以渔”，这成为我们在教学工作中的一个重要目标。为了达到这个目标，数学教师在教学中，不仅要使学生学会解题，更重要的是，使学生学会分析问题、解决问题的方法，发展学生的思维能力，在使学生“学会学习”上下功夫。实际应用问题与我们的现实生活联系紧密，它通常把数学基础知识和基本原理放在特定的现实背景中，具有强烈的时代气息、生活气息。这类问题需要学生综合运用所学的数学知识来分析、解决问题，有利于发展学生的思维，培养学生的创新精神及