高考数学总复习 （教材回扣夯实双基+考点突破+瞭望高考）第二章第13课时 导数的应用课件.ppt

第13课时导数的应用 基础梳理1 函数的最值假设函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是一条 的曲线 则该函数在 a b 上一定能够取得 与 若函数在 a b 内是 该函数的最值必在 取得 连续不间断 最大值 最小值 可导的 极值点或区间端点处 2 利用导数研究生活中的优化问题3 几个注意点 极值是在局部范围内讨论问题 局部概念 最值是对整个定义域而言 整体性的概念 闭区间上的连续函数一定有最值 开区间内的可导函数不一定有最值 若有唯一的极值 则此极值必是函数的最值 最值最多各有一个 而极值则可能不止一个 也可能没有极值 如果函数不在闭区间 a b 上可导 则确定函数的最值时 不仅比较使该 函数的导数为零的点与端点处的值 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值 在解决实际应用问题时 如果函数在区间内只有一个极值点 那么要根据实际意义判断是最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值进行比较 课前热身1 函数f x x3 3x 1 x 1 a 有最大值 但无最小值b 有最大值 也有最小值c 无最大值 也无最小值d 无最大值 但有最小值答案 c 2 2012 厦门调研 如果函数y f x 的图象如下图 那么导函数y f x 的图象可能是 解析 选a 如图 由y f x 图象知 当x0 在 x1 0 上 y f x 递减 故f x 0 在x x2时 y f x 递减 故f x 0 综上可知 a项符合题意 答案 a 4 已知函数f x 2x3 6x2 m m为常数 在 2 2 上有最大值3 那么此函数在 2 2 上的最小值是 解析 f x 6x x 2 f x 在 2 0 上为增函数 在 0 2 上为减函数 当x 0时 f x m最大 m 3 f 2 37 f 2 5 答案 37 解析 由y x2 39x 40 0得x 1或40 当040时 y 0 所以当x 40时 y有最小值 答案 40 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的极值 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 2010 高考重庆卷 已知函数f x ax3 x2 bx 其中常数a b r g x f x f x 是奇函数 1 求f x 的表达式 2 讨论g x 的单调性 并求g x 在区间 1 2 上的最大值与最小值 解 1 由题意得f x 3ax2 2x b 因此g x f x f x ax3 3a 1 x2 b 2 x b 因为函数g x 是奇函数 所以g x g x 1 在求实际问题的最大 小 值时 一定要注意考虑实际问题的意义 不符合实际意义的值应舍去 2 在实际问题中 有时会遇到函数在区间内只有一个点使f x 0的情形 那么不与端点值比较 也可以知道这就是最大 小 值 3 主要探究两类问题 费用如何最省 利润如何最大问题 载体 建模的解析式 可以是多项式函数 一般不超过三次 分式函数 指数函数 对数函数等 万元 已知厂家把总价值为10万元的a b两种型号电视机投放市场 且a b两型号的电视机投放金额都不低于1万元 当x 1 10m 1 时 随b型电视机投放金额x的增加 农民得到的补贴逐渐增加 当x 10m 1 9 时 随b型电视机投放金额x的增加 农民得到的补贴逐渐减少 名师点评 实际应用中准确地确定函数解析式 确定函数定义域是关键 1 当汽车以40千米 时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油多少升 2 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 令h x 0 得x 80 当x 0 80 时 h x 0 h x 是增函数 所以当x 80时 h x 取到极小值h 80 11 25 因为h x 在 0 120 上只有一个极值 所以它是最小值 即当汽车以80千米 时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为11 25升 2010年高考安徽卷 设a为实数 函数f x ex 2x 2a x r 1 求f x 的单调区间与极值 2 求证 当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 思路分析 2 中构造函数g x ex x2 2ax 1 转化为求证g x 恒大于零 解 由f x ex 2x 2a x r知f x ex 2 x r 令f x 0 得x ln2 于是当x变化 f x f x 的变化情况如下表 故f x 的单调递减区间是 ln2 单调递增区间是 ln2 f x 在x ln2处取得极小值 极小值为f ln2 eln2 2ln2 2a 2 1 ln2 a 2 证明 设g x ex x2 2ax 1 x r 于是g x ex 2x 2a x r 由 1 知当a ln2 1时 g x 取最小值为g ln2 2 1 ln2 a 0 于是对任意x r 都有g x 0 所以g x 在r内单调递增 于是当a ln2 1时 对任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 从而对任意x 0 都有g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 名师点评 对于类似本题中不等式证明而言 我们可以从所证不等式的结构和特点出发 结合已有知识 构造一个新的函数 再借助导数确定函数的单调性 利用单调性实现问题 的转化 从而使不等式得到证明 用导数方法证明不等式 其步骤一般是 构造可导函数 研究单调性或最值 得出不等关系 整理得出结论 方法技巧函数的最值与极值的辨析最值是一个整体性概念 是指函数在给定区间 或定义域 内所有函数值中最大的值与最小的值 在求函数的最值时 要注意 最值与极值的区别 极值是指某一点附近函数值的比较 因此 同一函数在某一点的极大 小 值 可以比另一点的极小 大 值小 大 而最大 最小值是指闭区间 a b 上所有函数值的比较 因而在一般情况下 两者是有 区别的 极大 小 值不一定是最大 小 值 最大 小 值也不一定是极大 小 值 但如果连续函数在区间 a b 内只有一个极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 失误防范1 已知函数f x 是增函数 或减函数 求参数的取值范围时 应令f x 0 或f x 0 恒成立 解出参数的取值范围 然后检验参数的值能否使f x 恒等于0 若能恒等于0 则参数的这个值应舍去 若f x 不恒为0 则由 f x 0 或f x 0 恒成立解出的参数的取值范围确定 2 求函数最值时 要注意极值 端点值的比较 3 要强化导数的工具性作用 在处理方程的根 不等式恒成立等问题时 注意导数的应用 命题预测从近几年的高考试题来看 利用导数来研究函数的最值及生活中优化问题成为高考的热点 试题大多有难度 注意的是不等式的证明按考纲的说明应弱化 但会以另一种形式来体现 考查时多与函数的单调性 极值结合命题 考生学会做综合题的能力 预测2013年福建高考仍将以利用导数研究函数的单调性 极值与最值结合题目为主要考向 同时也应注意利用导数研究生活中的优化问题 典例透析 本题满分14分 2011 高考福建卷 已知a b为常数 且a 0 函数f x ax b axlnx f e 2 e 2 71828 是自然对数的底数 1 求实数b的值 2 求函数f x 的单调区间 解 1 由f e 2得b