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微点深化极化恒等式的应用1.极化恒等式：ab(ab)2(ab)2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.2.平行四边形PMQN，O是对角线交点.则：(1)|PQ|2|NM|2(平行四边形模式)；(2)|PO|2|NM|2(三角形模式).【例题】 (1)在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则_.(2)(2018上海调研)已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则的取值范围是_.解析(1)因为M是BC的中点，由极化恒等式得：|AM|2|BC|2910016.(2)取AB的中点D，连接CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC2OD2，所以CD3，AB2.又由极化恒等式得：|PD|2|AB|2|PD|23，因为P在圆O上，所以当P在点C处时，|PD|max3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，|PD|min1，所以2，6.答案(1)16(2)2，6探究提高1.在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.2.涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围，最值即可求出.【题组训练】 (1)(2018诸暨适应性考试)已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则()的最小值为()A. B. C. D.1解析2，()2，取OC中点D，由极化恒等式得，|PD|2|OC|2|PD|2，又|PD|0，()的最小值为.答案C(2) 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是()A.44 B.22 C.24 D.72解析如图，取AB中点E，连接EP并延长，交AD延长线于F，2，EP3，又3，AE2DP，即FAE中，DP为中位线，AF2AD10，AEAB4，FE2PE6，22.答案B(3)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A.2 B.3 C.6 D.8解析如图，由已知|OF|1，取FO中点E，连接PE，由极化恒等式得：|PE|2|OF|2|PE|2，|PE|，的最大值为6.答案C(4)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_.解析取AE中点O，设|AE|x(0x1)，则|AO|x，|DO|2|AE|212x21.答案1(5)(2018镇海中学模拟)在面积为2的ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF
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