高中数学 7.9利用空间向量求空间角与距离配套课件 北师大版.ppt

第九节利用空间向量求空间角与距离 三年23考高考指数 1 能用向量方法解决直线与直线 直线与平面 平面与平面的夹角的计算问题 2 了解向量方法在研究几何问题中的应用 1 利用直线的方向向量和平面的法向量求空间角与距离是高考的热点 尤其是用向量法求平面与平面的夹角和点到平面的距离 2 本节的重点是利用向量法求空间角 难点是正确地进行计算3 高考对本节的考查多以解答题的形式出现 综合考查空间想象能力 运算能力及数形结合思想 1 夹角的计算 1 直线间的夹角 两直线的夹角当两条直线l1与l2共面时 我们把两条直线交角中 范围在 内的角叫作两直线的夹角 0 异面直线的夹角当直线l1与l2是异面直线时 在直线l1上任取一点a作ab l2 我们把 的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角 设s1 s2分别是两异面直线l1 l2的方向向量 则 直线l1和直线ab 2 直线与平面的夹角平面外一条直线与它 的夹角叫作该直线与此平面的夹角 设直线l的方向向量为s 平面 的法向量为n 直线l与平面 的夹角为 则sin cos s n 在该平面内的投影 3 平面间的夹角如图所示 平面 1与 2相交于直线l 点r为直线l上任意一点 过点r 在平面 1上作直线l1 l 在平面 2上作直线l2 l 则l1 l2 r 我们把 叫作平面 1与 2的夹角 直线l1和l2的夹角 已知平面 1和 2的法向量分别为n1和n2 当0 n1 n2 时 平面 1与 2的夹角等于 当 n1 n2 时 平面 1与 2的夹角等于 n1 n2 n1 n2 即时应用 1 思考 直线与平面的夹角 平面的法向量与直线的方向向量的夹角具有怎样的关系 提示 当直线的方向向量与平面的法向量的夹角是锐角时 其余角为线面角 当直线的方向向量与平面的法向量的夹角是钝角时 其补角的余角是线面角 2 长方体abcd a1b1c1d1中 ab aa1 2 ad 1 e为cc1的中点 则异面直线bc1与ae夹角的余弦值为 解析 建立坐标系如图 则a 1 0 0 e 0 2 1 b 1 2 0 c1 0 2 2 所以异面直线bc1与ae夹角的余弦值为 答案 2 距离的计算 1 点到直线的距离空间一点a到直线l的距离的算法框图为 在直线l上任取一点p 确定直线l的方向向量 计算向量 计算在向量上的投影 计算点a到直线l的距离d 2 平行直线间的距离求平行直线间的距离通常转化为求 3 点到平面的距离空间一点a到平面 的距离的算法框图为 点到直线的距离 在平面 上任取一点p 找到平面 的法向量 计算向量 计算在向量上的投影 计算点a到平面 的距离d 即时应用 1 思考 如何求线面距离与面面距离 提示 求这两种距离 通常都转化为求点到平面的距离 2 思考 如何推导点到平面的距离公式 提示 如图 点a到平面 的距离就是向量在平面 的法向量n上投影的绝对值 即d sin abo cos n 利用该公式求点到平面的距离简便易行 3 已知在长方体abcd a1b1c1d1中 底面是边长为2的正方形 高为4 则点a1到截面ab1d1的距离是 解析 如图 建立坐标系 则a1 2 0 4 a 2 0 0 b1 2 2 4 d1 0 0 4 4 设平面ab1d1的一个法向量为n x y z 由 得令z 1 则n 2 2 1 设点a1到平面ab1d1的距离为d 则答案 用空间向量求空间角 方法点睛 1 两异面直线夹角的求法利用空间向量求异面直线的夹角可利用直线的方向向量转化成向量的夹角 2 利用向量求直线与平面夹角的方法 1 分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 2 通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 取其余角就是斜线和平面的夹角 3 求平面与平面夹角的常用方法 1 分别求出两个平面的法向量 然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小 2 分别在两个平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量 则这两个向量的夹角 或其补角 的大小就是平面与平面夹角的大小 提醒 求直线与平面和平面与平面夹角的两种方法各有利弊 要善于结合题目的特点选择适当的方法解题 例1 1 2012 合肥模拟 已知正方体abcd a1b1c1d1 则直线bc1与平面a1bd夹角的余弦值是 a b c d 2 2012 天津模拟 如图 在五面体abcdef中 fa 平面abcd ad bc fe ab ad m为ec的中点 af ab bc fe 求异面直线bf与de夹角的大小 证明 平面amd 平面cde 求平面abcd与平面cde夹角的余弦值 解题指南 1 建立空间直角坐标系 用向量法求解 2 通过求向量的夹角来求异面直线所成的角 证进而得ce am ce ad 可得结论成立 利用两平面法向量的夹角求两平面夹角的大小 规范解答 1 选c 建立空间直角坐标系如图所示 设正方体的棱长为1 直线bc1与平面a1bd所成的角为 则d 0 0 0 a1 1 0 1 b 1 1 0 c1 0 1 1 设n x y z 是平面a1bd的一个法向量 则 令z 1 则x 1 y 1 n 1 1 1 sin 0 2 如图所示 建立空间直角坐标系 点a为坐标原点 设ab 1 依题意得b 1 0 0 c 1 1 0 d 0 2 0 e 0 1 1 f 0 0 1 m 1 于是所以异面直线bf与de所成角为60 d e c b a f m y z x 由可得所以ce am ce ad 又am ad a 故ce 平面amd 又ce 平面cde 所以平面amd 平面cde 令平面cde的法向量为u x y z 则于是令x 1 可得u 1 1 1 又由题设知平面abcd的一个法向量为v 0 0 1 则cos u v 故所求平面abcd与平面cde夹角的余弦值为 反思 感悟 1 异面直线的夹角与向量的夹角不同 应注意思考它们的联系和区别 2 直线与平面的夹角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角 由于向量方向的变化 所以要注意它们的区别与联系 变式训练 2011 重庆高考 如图 在四面体abcd中 平面abc 平面acd ab bc ad cd cad 30 1 若ad 2 ab 2bc 求四面体abcd的体积 2 若二面角c ab d为60 求异面直线ad与bc所成角的余弦值 解析 1 如图1 设f为ac的中点 连接df 由于ad cd 所以df ac 故由平面abc 平面acd 知df 平面abc 即df是四面体abcd的面abc上的高 且df adsin30 1 af adcos30 在rt abc中 因ac 2af ab 2bc 由勾股定理易知故四面体abcd的体积v 2 如图2 过f作fm ac 交ab于m 已知ad cd 平面abc 平面acd 易知fc fd fm两两垂直 以f为原点 射线fm fc fd分别为x轴 y轴 z轴的正半轴 建立空间直角坐标系 设ad 2 由cd ad cad 30 易知点a c d的坐标分别为a 0 0 c 0 0 d 0 0 1 则显然向量k 0 0 1 是平面abc的一个法向量 已知二面角c ab d为60 故可取平面abd的单位法向量t l m n 使得 t k 60 从而由t 有m n 0 从而 由l2 m2 n2 1 得l设点b的坐标为 x y 0 由 可取l 有解之得或 舍去 易知l与坐标系的建立方式不合 舍去 因此点b的坐标为 0 所以从而又异面直线的夹角 0 故异面直线ad与bc所成角的余弦值为 用空间向量求空间距离 方法点睛 求平面 外一点p到平面 的距离的步骤 1 求平面 的法向量n 2 在平面 内取一点a 确定向量的坐标 3 代入公式求解 例2 1 在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1中 点e为bb1的中点 则点c1到平面a1ed的距离是 2 2012 衡水模拟 已知四棱锥p abcd中pa 平面abcd 且pa 4pq 4 cda bad 90 ab 2 cd 1 ad m n分别是pd pb的中点 求证 mq 平面pcb 求截面mcn与底面abcd夹角的大小 求点a到平面mcn的距离 解题指南 1 建立空间直角坐标系 利用点到面的距离公式求解 2 以a为原点建立空间直角坐标系 用向量法求解 求出平面pcb的一个法向量n0 只需证明即可 先求出截面mcn的一个法向量n 只需利用夹角公式求得两个平面的法向量的夹角 n 便可得出答案 利用点到平面的距离公式解题 规范解答 1 以a为原点建立空间直角坐标系如图所示 则a1 0 0 1 e 1 0 d 0 1 0 c1 1 1 1 设平面a1ed的法向量为n1 x y z 由 得 令z 2 则n1 1 2 2 又 点c1到平面a1ed的距离答案 1 2 以a为原点 以ad ab ap所在直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系如图所示 由ab 2 cd 1 ad pa 4pq 4 m n分别是pd pb的中点 可得 a 0 0 0 b 0 2 0 c 1 0 d 0 0 p 0 0 4 q 0 0 3 m 0 2 n 0 1 2 设平面pcb的一个法向量为n0 x y z 则有令z 1 则x y 2 n0 2 1 又mq 平面pcb mq 平面pcb 设平面mcn的一个法向量为n x y z 又 则有 令z 1 则x y 1 n 1 1 又 0 0 4 为平面abcd的法向量 cos n 截面mcn与底面abcd夹角的大小为 所求的距离d 互动探究 在本例 1 中 若条件不变 结论改为 则直线a1c1与平面a1ed夹角的大小为 则如何求解 解析 由例题 1 的解法知 平面a1ed的法向量为n1 1 2 2 设所求角为 则sin cos n1 故直线a1c1与平面a1ed夹角的大小为45 答案 45 反思 感悟 空间距离包括两点间的距离 点到线的距离 点到面的距离等 其中点到点 点到线的距离可以用空间向量的模来求解 而点到面的距离则借助平面的法向量求解 也可借助于几何体的体积求解 变式备选 如图所示的多面体是由底面为abcd的长方体被截面aefg所截而得 其中ab 4 bc 1 be 3 cf 4 若如图所示建立空间直角坐标系 1 求和点g的坐标 2 求异面直线ef与ad的夹角 3 求点c到截面aefg的距离 解析 1 由图可知 a 1 0 0 b 1 4 0 e 1 4 3 f 0 4 4 又 设g 0 0 z 则 1 0 z 1 0 1 z 1 即g 0 0 1 2 ad和ef的夹角为45 3 设n 平面aefg n x0 y0 z0 而则 得 n z0 z0 z0 取z0 4 则n 4 3 4 所求距离为 点c到截面aefg的距离为 用空间向量解决探索性问题 方法点睛 探索性问题的类型及解题策略探索性问题分为存在判断型和位置判断型两种 1 存在判断型存在判断型问题的解题策略是 先假设存在 并在假设的前提下进行推理 若不出现矛盾则肯定存在 若出现矛盾则否定假设 2 位置判断型 与平行 垂直有关的探索性问题的解题策略为 将空间中的平行与垂直转化为向量的平行或垂直来解决 与角有关的探索性问题的解题策略为 将空间角转化为与向量有关的问题后应用公式cos 其中n1 n2是两平面的法向量或两直线的方向向量 即可解决 例3 2011 浙江高考 如图 在三棱锥p abc中 ab ac d为bc的中点 po 平面abc 垂足o落在线段ad上 已知bc 8 po 4 ao 3 od 2 1 证明 ap bc 2 在线段ap上是否存在点m 使得二面角a mc b为直二面角 若存在 求出am的长 若不存在 请说明理由 解题指南 建立坐标系 1 利用来证明 2 假设存在满足条件的点 求出两个半平面的法向量 判断两法向量是否能垂直即可 若垂直 则假设成立 若不垂直 则假设不成立 规范解答 1 如图以o为原点 以射线od op分别为y轴 z轴的正半轴 建立空间直角坐标系 则o 0 0 0 a 0 3 0 b 4 2 0 c 4 2 0 p 0 0 4 即ap bc 2 假设存在m 设 其中 0 1 则 4 2 4 0 3 4 4 2 3 4 4 设平面bmc的法向量n1 x1 y1 z1 平面apc的法向量n2 x2 y2 z2 由即可取n1 0 1 由得可取n2 5 4 3 由n1 n2 0 得解得 故am 3 综上所述 存在点m符合题意 am 3 反思 感悟 1 开放性问题是近几年高考中出现较多的一种题型 向量法是解此类问题的常用方法 2 对于探索性问题 一般先假设存在 设出空间点的坐标 转化为代数方程是否有解的问题 若有解且满足题意则存在 若有解但不满足题意或无解则不存在 变式训练 2012 武汉模拟 如图 平面pad 平面abcd 四边形abcd为正方形 pad是直角三角形 且pa ad 2 e f g分别是线段pa pd cd的中点 1 求证 pb 平面efg 2 求异面直线eg与bd夹角的余弦值 3 在线段cd上是否存在一点q 使得a点到平面efq的距离为若存在 求出cq的值 若不存在 请说明理由 解析 方法一 1 取ab的中点h 连接gh he e f g分别是线段pa pd cd的中点 gh ad ef e f h g四点共面 又h为ab的中点 eh pb 又eh 平面efg pb 平面efg pb 平面efg 2 取bc的中点m 连接gm am em 则gm bd egm 或其补角 就是异面直线eg与bd的夹角 在rt mae中 同理 在 mge中 cos egm 故异面直线eg与bd夹角的余弦值为 3 假设在线段cd上存在一点q满足题设条件 过点q作qr ab于r 连接re 则qr ad 四边形abcd是正方形 pad是直角三角形 ad ab ad pa 又ab pa a ad 平面pab 又 e f分别是pa pd的中点 ef ad ef 平面pab 又ef 平面efq 平面efq 平面pab 过a作at er于t 则at 平面efq at就是点a到平面efq的距离 设cq x 0 x 2 则br cq x ar 2 x ae 1 在rt ear中 解得x 故存在点q 当cq 时 点a到平面efq的距离为 方法二 建立如图所示的空间直角坐标系 则a 0 0 0 b 2 0 0 c 2 2 0 d 0 2 0 p 0 0 2 e 0 0 1 f 0 1 1 g 1 2 0 1 设 即 2 0 2 s 0 1 0 t 1 1 1 解得s t 2 又 与不共线 共面 pb 平面efg pb 平面efg 2 故异面直线eg与bd夹角的余弦值为 3 假设在线段cd上存在一点q满足题设条件 令cq m 0 m 2 则dq 2 m 点q的坐标为 2 m 2 0 而 0 1 0 设平面efq的一个法向量为n x y z 则 令x 1 则n 1 0 2 m 又 点a到平面efq的距离即 m 或m 又m 2不合题意 舍去 故存在点q 当cq 时 点a到平面efq的距离为 变式备选 2012 郑州模拟 如图 已知三棱柱abc a1b1c1的侧棱与底面垂直 aa1 ab ac 1 ab ac m n分别是cc1 bc的中点 点p在直线a1b1上 且 1 证明 无论 取何值 总有am pn 2 当 取何值时 直线pn与平面abc的夹角 最大 并求该角取最大值时的正切值 3 是否存在点p 使得平面pmn与平面abc的夹角为30 若存在 试确定点p的位置 若不存在 请说明理由 解析 如图 以a为原点建立空间直角坐标系 则a1 0 0 1 b1 1 0 1 m 0 1 n 0 1 无论 取何值 总有am pn 2 m 0 0 1 是平面abc的一个法向量 sin cos m 当 时 取得最大值 此时即当 时 取得最大值 且tan 2 3 假设存在 设n x y z 是平面pmn的一个法向量 则得令x 3 得y 1 2 z 2 2 n 3 1 2 2 2 cos m n 化简得4 2 10 13 0 100 4 4 13 108 0 方程 无解 不存在点p使得平面pmn与平面abc的夹角为30 满分指导 用空间向量解答立体几何问题的规范解答 典例 12分 2011 福建高考 如图 四棱锥p abcd中 pa 底面abcd 四边形abcd中 ab ad ab ad 4 cd cda 45 1 求证 平面pab 平面pad 2 设ab ap 若直线pb与平面pcd所成的角为30 求线段ab的长 在线段ad上是否存在一个点g 使得点g到点p b c d的距离都相等 说明理由 解题指南 1 证明平面pab中的直线ab 平面pad 从而可推得平面pab 平面pad 2 以a为坐标原点 建立空间直角坐标系 然后用空间向量法进行求解探究 规范解答 1 因为pa 平面abcd ab 平面abcd 所以pa ab 又ab ad pa ad a 所以ab 平面pad 又ab 平面pab 所以平面pab 平面pad 3分 2 以a为坐标原点 建立空间直角坐标系 如图 在平面abcd内 作ce ab交ad于点e 则ce ad 在rt cde中 de cd cos45 1 设ab ap t 则b t 0 0 p 0 0 t 由ab ad 4得ad 4 t 所以e 0 3 t 0 c 1 3 t 0 d 0 4 t 0 5分 设平面pcd的法向量为n x y z 由 得取x t 得平面pcd的一个法向量n t t 4 t 6分由题意得cos60 即解得t 或t 4 舍去 因为ad 4 t 0 所以ab 8分 假设在线段ad上存在一个点g 如图 使得点g到点p b c d的距离都相等 设g 0 m 0 其中0 m 4 t 则 9分由得12 3 t m 2 4 t m 2 即t 3 m 由得 4 m t 2 m2 t2 由 消去t 化简得m2 3m 4 0 由于方程 没有实数根 所以在线段ad上不存在一个点g 使得点g到点p