初二辅助线的作法例题及练习答案.doc

资料收集于网络 如有侵权请联系网站 删除 谢谢 全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_.例2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.例3、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.应用：1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0AD+AE.取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.BD=CE,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理BN=CA.延长ND交AB于P,则BN+BPPN,DP+PAAD,相加得BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去DP,得BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=ODAD、CE分别平分BAC、BCA，OAC+OCA=1/2(BAC+BCA)=1/2(180-B)=60，AOC=120，AOE=COD=60，在AC上截取AF=AE，连接OF，A=AF，OAE=OAF，AO=AO，AOEAOF(SAS)，AOF=AOE=60，OE=OF，COF=120-AOF=60，在OCF与OCD中：COD=COF=60，OC=OC，OCF=OCD，OCFOCD(ASA)，OD=OF，OE=OD。证明：连接OB，过点O作OMAB于M，ONBC于N ABC60 BAC+ACB180-ABC120 AD平分BAC，CE平分ACB OACBAC/2, OCAACB/2 AOC180-（OAC+OCA）180-（BAC+ACB）/2120 DOEAOC120 ABC+DOE180 ODB+OEB+ABC+DOE180 ODB+OEB180 OEB+OEA180 OEAODB 又AD平分BAC，CE平分ACB O是ABC角平分线交点 OB平分ABC OMAB，ONBC OMON，OMEOND90 OMEOND （AAS） OEOD2、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.（1）证明：连接BD，CD，AD平分BAC，DEAB，DFAC，DE=DF，BED=CFD=90，DGBC且平分BC，BD=CD，在RtBED与RtCFD中，RtBEDRtCFD（HL），BE=CF；（2）解：在AED和AFD中，AEDAFD（AAS），AE=AF，设BE=x，则CF=x，AB=a，AC=b，AE=ABBE，AF=AC+CF，ax=b+x，解得：x=BE= ，AE=ABBE=a = 应用：1、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（2）FE=FD（5分）如图2，在AC上截取AG=AE，连接FGAD是BAC的平分线，EAF=GAF，在EAF和GAF中 AE=AG EAF=FAG AF=AF EAFGAF（SAS），FE=FG，EFA=GFA=60（6分）GFC=180-60-60=60又DFC=EFA=60，DFC=GFC（7分）在FDC和FGC中 DFC=GFC FC=FC FCG=FCD FDCFGC（ASA），FD=FGFE=FD（8分）（3）（2）中的结论FE=FD仍然成立（9分）同（2）可得EAFHAF，FE=FH，EFA=HFA（10分）又由（1）知FAC=1 2 BAC，FCA=1 2 ACB，FAC+FCA=1 2 （BAC+ACB）=1 2 （180-B）=60AFC=180-（FAC+FCA）=120EFA=HFA=180-120=60（11分）同（2）可得FDCFHC，FD=FHFE=FD（12分） 回答者：teacher092 1、FE=FD如图2，在AC上截取AG=AE，连接FGAD是BAC的平分线，EAF=GAF，在EAF和GAF中 AE=AG EAF=FAG AF=AF EAFGAF（SAS），FE=FG，EFA=GFA=60GFC=180-60-60=60又DFC=EFA=60，DFC=GFC在FDC和FGC中 DFC=GFC FC=FC FCG=FCD FDCFGC（ASA），FD=FGFE=FD2、第一问中的结论FE=FD仍然成立同（1）可得EAFHAF，FE=FH，EFA=HFA又由（1）知FAC=1/2BAC，FCA=1/2ACB，FAC+FCA=1/2（BAC+ACB）=1/2（180-B）=60AFC=180-（FAC+FCA）=120EFA=HFA=180-120=60同（1）可得FDCFHC，FD=FHFE=FD 五、旋转例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 延长CB,在CB延长线上取点G使得GB=DF,连结AG那么GB=DF,GE=GB+BE=DF+BE=EF在直角三角形ADF和直角三角形ABG中,因为角ADF=角ABG是直角又因为GB=DF,AB=AD（都是正方形的边）所以直角三角形ADF全等于直角三角形ABG所以AF=AG,角DAF=角BAG对于三角形AGE和三角形AFE因为AE=AE；AG=AF;GE=FE所以三角形AGE全等于三角形AFE所以角GAE=角EAF2*角EAF=角GAE+角EAF=角BAG+角BAF=角FAD+角BAF=角BAD=90度所以角EAF=90度/2=45度例2 D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1） 当绕点D转动时，求证DE=DF。（2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。解：（1）连CD，如图，D为等腰RtABC斜边AB的中点，CD平分ACB，CDAB，A=45，CD=DA，BCD=45，CDA=90，DMDN，EDF=90，CDE=ADF，在DCE和ADF中，DCEADF，DE=DF；（2）DCEADF，SDCE=SADF，四边形DECF的面积=SACD，而AB=2，CD=DA=1，四边形DECF的面积=SACD=CDDA=例3 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为 ；应用：1、已知四边形中，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于当绕点旋转到时（如图1），易证当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（图1）radioactive adj. 放射性的；有辐射能的（图2）（图3）解：如图1，AE+CF=EF，理由：ABAD，BCCD，AB=BC，AE=CF，在ABE和CBF中，ABBCAC90AECF，ABECBF（SAS）；ABE=CBF，BE=BF；ABC=120，MBN=60，ABE=CBF=30，AE=BE CF=BFMBN=60，BE=BF，BEF为等边三角形；AE+CF=BEBF=BE=EF；故答案为：AE+CF=EF；（2）如图2，（1）中结论成立证明：延长FC到H，使CH=AE，连接BH，ABAD，BCCD，A=BCH=90，在BCH和BAE中BCABBCHACHAE，BCHBAE（SAS），BH=BE，CBH=ABE，ABC=120，MBN=60，ABE+CBF=120-60=60，HBC+CBF=60，HBF=60=MBN，在HBF和EBF中BHBEHBFEBFBFBFHBFEBF（SAS），HF=EF，HF=HC+CF=AE+CF，EF=AE+CF图3中的结论不成立，线段AE、CF，EF的数量关系是AE=EF+CF，证明：在AE上截取AQ=CF，连接BQ，ABAD，BCCD，A=BCF=90，在BCF和BAQ中2、（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当APB=45时,求AB及PD的长;(2)当APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应APB的大小.解：（1）如图（1），作AEPB于点E， APE中，APE=45，PA=，AE=PAsinAPE=1，PE=PAcosAPE=1，PB=4，BE=PB-PE=3，在RtABE中，AEB=90，；如图（2），因为四边形ABCD为正方形，可将PAD绕点A顺时针旋转90得到PAB，可得PADPAB，PD=PB，PA=PAPAP=90，APP=45，PPB=90，； （2）如图（3）所示，将PAD绕点A顺时针旋转90得到PAB，PD的最大值即为PB的最大值，PPB中，PBPP+PB，PP=2，PB=4，且P、D两点落在直线AB的两侧，当P、P、B三点共线时，PB取得最大值（见图（4），此时PB=PP+PB=6，即PB的最大值为6，此时APB=180-APP=135。3、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N