概率论与数理统计教程(茆诗松).docx

2004年7月第1版2008年4月第10次印刷第一章 随机事件与概率1.1 随机事件及其运算1.1.1 随机现象在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验.1.1.2 样本空间随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为=，其中表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元.1.1.3 随机事件随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件.1.1.4 随机变量用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.1.1.7 事件域定义1.1.1 设为一样本空间，F为的某些子集所组成的集合类.如果F满足：(1) F；(2)若AF，则对立事件AF；(3)若AnF,n=1,2,，则可列并n=1AnF.则称F为一个事件域，又称为代数.在概率论中，又称(,F)为可测空间.1.2 概率的定义及其确定方法1.2.1 概率的公理化定义定义1.2.1设为一样本空间，F为的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件AF，定义在F上的一个实值函数P(A)满足：(1)非负性公理 若AF，则PA0；(2)正则性公理 P=1；(3)可列可加性公理 若A1,A2,An互不相容，有Pi=1Ai=i=1PAi则称P(A)为事件A的概率，称三元素(,F,P)为概率空间.第二章 随机变量及其分布2.1 随机变量及其分布2.1.1 随机变量的概念定义2.1.1 定义在样本空间上的实值函数X=X()称为随机变量.2.1.2 随机变量的分布函数定义2.1.2 设X是一个随机变量，对任意实数x，称Fx=P(Xx)为随机变量X的分布函数.且称X服从Fx，记为XFx.2.1.4 连续随机变量的概率密度函数定义2.1.4 设随机变量X的分布函数为Fx，如果存在实数轴上的一个非负可积函数p(x)，使得对任意实数x有Fx=-xp(t)dt则称X为连续随机变量，称p(x)为X的概率密度函数，简称为密度函数.密度函数的基本性质(1)非负性 px0；(2)正则性 -+p(x)dx=1.第三章 多维随机变量及其分布3.1 多维随机变量及其联合分布3.1.1 多维随机变量定义3.1.1 如果X1,Xn定义在同一个样本空间=上的n个随机变量，则称X=(X1,Xn)为n维(或n元)随机变量或随机向量.3.1.2 联合分布函数定义3.1.2 对任意的n个实数x1,xn，则n个事件X1x1,Xnxn同时发生的概率Fx1,xn=P(X1x1,Xnxn)称为n维随机变量(X1,Xn)的联合分布函数.3.4 多维随机变量的特征数3.4.5 随机向量的数学期望与协方差阵定义3.4.3 记n维随机向量为X=(X1,Xn)，若其每个分量的数学期望都存在，则称EX=(E(X1),E(Xn)为n维随机向量X的数学期望向量，简称为X的数学期望，而称EX-EXX-EX=Var(X1)Cov(X1,X2)Cov(X1,Xn)Cov(X2,X1)Var(X2)Cov(X2,Xn)Cov(Xn,X1)Cov(Xn,X2)Var(Xn)为该随机向量的方差协方差阵，简称协方差阵，记为Cov(X).例3.4.12(n元正态分布) 设n维随机变量X=(X1,Xn)的协方差阵为B=Cov(X)，数学期望向量为a=(a1,an).又记x=(x1,xn)，则由密度函数px1,xn=px=12n2(detB)12exp(-12x-aB-1(x-a)定义的分布称为n元正态分布，记为XNa,B.第四章 大数定律与中心极限定理4.1 特征函数4.1.1 特征函数的定义定义4.1.1 设X是一个随机变量，称t=EeitX,-t0，有limn+Pnn-p0，有limn+PYn-Y0.记Yn*=X