《函数的最值及其几何意义》进阶练习（一）.doc

函数的最值及其几何意义进阶练习一、选择题1.设M=x|x2+4x0，则函数f（x）=-x2-6x+1的最值情况是（） A.最小值是1，最大值是9B.最小值是-1，最大值是10C.最小值是1，最大值是10D.最小值是2，最大值是92.下列函数中，在其定义域内既是减函数又是奇函数为( ) A. B. C. D.3.设函数f（x）=，给出下列两个命题： 存在x0（1，+），使得f（x0）2； 若f（a）=f（b）（ab），则a+b4 其中判断正确的是（） A.真，真B.真，假C.假，真D.假，假二、填空题4.已知m，n为正数，实数x，y满足=0，若x+y的最大值为27，则m+n= _ 三、解答题5.定义在R上的函数f（x）满足对任意x，yR都有f（x+y）=f（x）+f（y）且x0时，f（x）0，f（-1）=-2 （1）求证：f（x）为奇函数； （2）试问f（x）在x-4，4上是否有最值？若有，求出最值；若无，说明理由 （3）若f（k3x）+f（3x-9x-2）0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围参考答案1.C2.C3.C4.545.解：（1）证明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，yR）， 令x=y=0，代入式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0 令y=-x，代入式，得f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0， 则有0=f（x）+f（-x） 即f（-x）=-f（x）对任意xR成立， 则f（x）是奇函数 （2）解：设x1，x2R，且x1x2，则x1-x20，从而f（x1-x2）0， 又f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=fx1+（-x2）=f（x1-x2） f（x1）-f（x2）0，即f（x1）f（x2） 函数f（x）为R上的增函数， 当x-4，4时，f（x）必为增函数 又由f（-1）=-2，得-f（1）=-2，f（1）=2 当x=-4时，f（x）min=f（-4）=-f（4）=-4f（1）=-8； 当x=4时，f（x）max=f（4）=4f（1）=8 （3）（法一）解：由（2）f（x）在R上是增函数，又由（1）f（x）是奇函数 f（k3x）-f（3x-9x-2）=f（-3x+9x+2）， 即：k3x-3x+9x+2， 即：32x-（1+k）3x+20对任意xR成立 令t=3x0，问题等价于t2-（1+k）t+20对任意t0恒成立 令g（t）=t2-（1+k）t+2， 当，即k-1时， g（t）在（0，+）上单调递增， f（0）=20，符合题意； 当0，即k-1时， ， -1， 综上所述，当k-1+2时， f（k3x）+f（3x-9x-2）0对任意xR恒成立 （法二）（分离系数）由k3x-3x+9x+2得， k3x+-1， 则u=3x+-12-1， （当且仅当3x=，即3x=时，等号成立） 故k2-11.解：由题意知M=x|x2+4x0=x|-4x0， f（x）=-x2-6x+1=-（x+3）2+10， 又-4x0，函数f（x）在区间-4，-3上是增函数，在区间（-3，0上是增函数， 当x=-3时，函数的最大值f（-3）=10； 当x=0时，函数的最小值f（0）=1， 函数f（x）的值域是1，10 故选：C 利用二次不等式求出集合M，然后通过配方法将解析式进行化简后，求出对称轴x=-3，则由开口向下得到在定义域上的单调性，再求出函数的最值，即求出函数的值域 本题考查了求二次函数在定区间上的值域，一般用配方法对解析式化简求出图象的对称轴，由根据二次函数的性质判断出在定义域上的单调性，再求出函数的最值，即求出函数的值域 2.试题分析：A在都是单调递减的，但不能说在定义域内是单调递减的； B定义域为，所以是非奇非偶函数； C因为在R上单调递减，在R上单调递减，所以在R上单调递减。又，所以为奇函数； D在每个单调区间上都是单调递减的，但不能说在定义域内是单调递减的。 考点：函数的单调性；函数的奇偶性。 点评：此题是易错题，很多同学易错选A和D。我们一定要注意这种说法：在每个单调区间上都是单调递减的，但在定义域内不是单调递减的。 3.解：x（1，+），f（x）=2=2，等号当且仅当，即x=2时成立， 故存在x0（1，+），使得f（x0）2不正确； 由的判断知，f（a）=f（b）=2时，此时有a=b=2，使得a+b=4，当ab时，必有a+b4，故正确 综上判断知，假，真 故选：C 由题意，可将函数变形为f（x）=，利用基本不等式得出函数的最小值为2，从而判断出两个命题的真假 本题考查命题的真假判断及利用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值或判断不等关系是否成立时要注意等号成立的条件 4.解：由题意， +=， 则（+）=， 则由可得， ， 令x+y=u， 则上式可化为 u2-9u-9（m+n）0， 又u=x+y的最大值为27可知， 27是方程u2-9u-9（m+n）=0的解， 即2727-927-9（m+n）=0， 解得m+n=272=54， 故答案为：54 由题意，+=，从而得到，令x+y=u，则u2-9u-9（m+n）0，从而得27是方程u2-9u-9（m+n）=0的解，从而求解 本题考查了基本不等式的应用及不等式与方程的解的关系，属于中档题 5.（1）令x=y=0，再令y=-x，分别代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，yR），化简可得； （2）由单调性的定义可证明函数f（x）为R上的增函数，从而求f（x）在x-4，4上的最值； （3）（法一）由（2）知，f（k3x）+f（3x-9x-2）0可化为k3x-3x+9x+2，即32x-（1+k）3x+20对任意xR成立令t=3x0，问题等价于t2-（1+k）t+20对任意t0恒成立令令g（t）=t2-