高中数学第二章平均值不等式（选学）2.4最大值与最小值问题优化的数学模型导学案.docx

2.3平均值不等式(选学)2.4最大值与最小值问题，优化的数学模型1.进一步熟悉平均值不等式及柯西不等式.2.会用平均值不等式及柯西不等式求某些初等函数的最值问题.自学导引1.设a1，a2，an为n个正数，则，等号成立a1a2an.2.设a1，a2，an为n个正数，则，等号成立a1a2an.3.设a1，a2，an为正数，则，等号成立a1a2an.4.设D为f(x)的定义域，如果存在x0D，使得f(x)f(x0) (f(x)f(x0) xD，则称f(x0)为f(x)在D上的最大(小)值，x0称为f(x)在D上的最大(小)值点.寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题.基础自测1.某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件和2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，则花钱最少和最多的值分别为() A.20，23 B.19，25C.21，23 D.19，24解析最多为53422125，最少为51422319，应选B.答案B2.若f(x)且x(0，1，则f(x)的最小值是()A.2 B.不存在C. D.解析x(0，1，即x0.f(x)22.等号成立的条件是，即x(0，1，所以利用均值不等式，等号不成立，不能求f(x)的最小值.令t，则，t，原函数变为yt，yt在(0，1上是减函数，则在上也是减函数，t时，ymin3.答案C3.函数y (x0)的值域为_.解析将原函数变为y，用函数x在x1，0y3，故值域为3，0).答案3，0)知识点1利用柯西不等式求函数的最值【例1】 若3x4y2，试求x2y2的最小值及最小值点.解由柯西不等式，得：(x2y2)(3242)(3x4y)24.所以25(x2y2)4，即x2y2.当且仅当时，等号成立，解得.所以x2y2的最小值为，最小值点为.反思感悟：利用柯西不等式求函数的最小值时，往往需乘以一个两常数的平方和，常数的选取要根据题设条件来定，如例1，利用柯西不等式求最大值时，往往对函数解析式的各项配一系数，使利用柯西不等式后n个项的平方和为常数.1.设a，b，c为正数，ab4c21，求c的最大值.解由柯西不等式得：(c)2()2()2(2c)2，即(c)21.当且仅当时，即ab8c2时取等号.20c21，c，ab时，c的最大值为.知识点2利用平均值不等式求函数的最值【例2】 (1)已知x0，y0，且xy2，求x2y2的最小值.解(1)x0，y4x23231.当且仅当54x，即x1时，上式等号成立.故当x1时，ymax1.(2)y.当且仅当，即x22，x时，ymax.(3)方法一：由x2y22xy，得2(x2y2)(xy)2，即x2y2.因为xy2，所以x2y22.当且仅当xy1时，取得最小值2.方法二：由柯西不等式，得：(x2y2)(1212)(xy)2.x2y2(xy)242.当且仅当，即xy时取等号.xy1时，(x2y2)min2.反思感悟：利用平均值不等式求最值关键在变形上，变形的目的是能得到积为定值或和为定值，求最值时一定要找出最大(小)值点，如果最大(小)值点不存在，则不能用平均值不等式求最值，可考虑用函数的单调性或用其它方程. 2.求函数y (x0)的最小值.解y(x1)42 42.当且仅当x1，即x2时，等号成立.所以ymin2.知识点3平均值不等式在实际中的应用【例3】 从半径为2的圆板上剪下一个圆心角为的扇形，围成一个圆锥的侧面(如下图)，如何操作使圆锥体积最大(即求出相应的角).解如题图，圆锥的母线长为2，设圆锥轴截面的底角为 .则圆锥底面半径r2cos ，高h2sin ，Vr2h4cos22sin (1sin2)sin .当且仅当2sin21sin2，即sin 时取等号.此时，r，由此得扇形的中心角.即从圆板上剪下中心角为的扇形围成的圆锥体积最大，最大值为 .3.建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为_元.解析设池底一边长为x m，水池的总造价为y元，则依题意得y4120280480320 (x0).x2 4，当且仅当x，即x2时取等号，y最小48032041 760(元)答案1 760课堂小结柯西不等式有代数式、向量式和三角式三种形式，代数式又有二维形式、三维形式和一般式，都要熟练掌握.柯西不等式和均值不等式的主要应用是求函数的最值和证明不等式，有些函数的最值既可以用柯西不等式来求又可以用平均值不等式来求.随堂演练1.求函数y，x0的最小值.解y(x2)1217，当且仅当x2，即x23，x1时取等号.x1时，ymin7.2.求函数y29x (x0)的最大值.解y22221210，当且仅当9x，即x时取等号.x时，ymax10.3.若2x3y1，求x2y2的最小值，及最小值点.解由柯西不等式，得(x2y2)(2232)(2x3y)21.x2y2，当且仅当，即3x2y时取等号.由得所以当时，(x2y2)min，最小值点为.基础达标1.下列各式中，最小值等于2的是()A. B.C.tan cot D.2x2x解析A中可以为负，则也可以为负数，不合题意.B中，2，0，也不合题意.C中tan cot 可为负值不合题意.D中2x2x2x2.当且仅当x0时取等号符合题意，故选D.答案D2.函数y (x0)的最大值为()A.1 B.2C.3 D.4解析y11.x0时，x2，ymax12.答案B3.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且abc.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A.axbycz B.azbycxC.aybzcx D.aybxcz解析方法一：用特值法进行验证.令x1，y2，z3，a1，b2，c3.A项：axbycz14914；B项：azbycx34310；C项：aybzcx26311；D项：aybxcz22913.故选B.方法二：由顺序和乱序和反序和.可得azbycx最小.答案B4.已知不等式(xy)9对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为_.解析(xy)1a1a2(1)2(当且仅当时取等号).(xy)9对任意正实数x、y恒成立.需(1)29.a4.答案45.已知ab1 000，a1，b1，则的最大值是_.解析由柯西不等式得：11.当且仅当1lga1lgb，即ab10时，取等号.答案6.已知三个正数a，b，c的和是1，求证：这三个正数的倒数和不小于9.证明方法一：(abc)9.又由已知，abc1，所以9.方法二：(abc)3332229.综合提高7.设aR且a0，以下四个数中恒大于1的个数是()a31；a22a2；a；a2.A.1个 B.2个C.3个 D.4个解析中当a1时，a310不合题意；中a22a2(a1)21，当a1时，a22a21也不合题意；中当a1时，a2不合题意；中a221.答案A8.若a、b、c0且a(abc)bc42，则2abc的最小值为()A.1 B.1C.22 D.22解析由a(abc)bc42，得(ab)(ac)42，得(ab)(ac)42.a、b、c0，(ab)(ac)(当且仅当acba，即bc时取“”).2abc22(1)22.答案D9.若直角三角形ABC的斜边长c1，那么它的内切圆半径r的最大值为_.解析设直角三角形ABC的两直角边分别为a，b，因斜边c1，则直角三角形内切圆半径r(ab1).由题意知a2b21，由柯西不等式a1b1.当且仅当ab时取等号，又a2b21，ab时，ab的最大值为，rmax.答案10.在ABC中，三边a、b、c的对角分别为A、B、C，若2bac，则角B的范围是_.解析2bac，bcos B.ycos x在(0，)上是减函数.0B.答案0B11.某厂要生产一批无盖的圆柱形桶，每个桶的容积为1 m3，用来做底的金属每平方米为30元，做侧面的金属每平方米为20元，如何设计圆桶尺寸，可以使成本最低？解设圆桶的底面半径为r，高为h，则依题意r2h1，于是h，底面积为r2，侧面积为2rh.设w为总费用，则w30r2202rh30r230r23 30