高考数学总复习 第7章 第7节 立体几何中的向量方法课件 新人教A版.ppt

第七节立体几何中的向量方法 理 1 理解直线的方向向量与平面的法向量 2 能用向量语言表述直线与直线 直线与平面 平面与平面的垂直 平行关系 3 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 包括三垂线定理 4 能用向量方法解决直线与直线 直线与平面 平面与平面的夹角的计算问题 了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 一 直线的方向向量和平面的法向量1 直线的方向向量直线l上的向量e或与e的向量叫做直线l的方向向量 显然一条直线的方向向量有个 共线 无数 2 平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面 则称这个向量垂直于平面 记作n 此时向量n叫做平面 的法向量 显然一个平面的法向量也有个 且它们是向量 无数多 共线 求平面法向量的一般步骤是什么 二 利用向量求空间角1 求两条异面直线所成的角设 分别是两异面直线l1 l2的方向向量 则 cos a n 3 求二面角的大小 1 若ab cd分别是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的异面直线 则二面角的大小就是的夹角 如图 2 设n1 n2分别是二面角 l 的两个面 的法向量 则向量n1与n2的夹角 或其补角 的大小就是 如图 二面 角的平面角的大小 三 求空间距离1 若a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则 ab 2 a2 a a a 2 3 点面距离的求法 设n是平面 的法向量 点a在平面 内 点b在平面 外 则点b到平面 的距离为 线面距 面面距均可转化为点面距离再用 3 中方法求解 1 若直线l1 l2的方向向量分别为a 2 4 4 b 6 9 6 则 a l1 l2b l1 l2c l1与l2相交但不垂直d 以上均不正确解析 a b 2 6 4 9 6 4 0 a b 从而l1 l2 答案 b 2 若平面 与平面 的法向量分别是a 4 0 2 b 4 0 2 则平面 与 的位置关系是 a 平行b 垂直c 相交但不垂直d 无法判断解析 由题意 有a b a与b共线 从而 与 平行 答案 a 答案 d 4 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的二面角的大小为 答案 45 或135 5 在正方体abcd a1b1c1d1中 m是ab的中点 则对角线db1与cm所成角的余弦值为 利用直线的方向向量和平面的法向量 可以判定直线与直线 直线与平面 平面与平面的平行和垂直 1 设直线l1的方向向量为u1 a1 b1 c1 直线l2的方向向量为u2 a2 b2 c2 则l1 l2 u1 u2 a1 b1 c1 k a2 b2 c2 k r l1 l2 u1 u2 a1a2 b1b2 c1c2 0 2 设直线l的方向向量为u a1 b1 c1 平面 的法向量为n a2 b2 c2 则l u n a1a2 b1b2 c1c2 0 l u n a1 b1 c1 k a2 b2 c2 k r 3 设平面 的法向量为n1 a1 b1 c1 平面 的法向量为n2 a2 b2 c2 则 n1 n2 a1 b1 c1 k a2 b2 c2 k r n1 n2 a1a2 b1b2 c1c2 0 如图 已知直三棱柱abc a1b1c1中 abc为等腰直角三角形 bac 90 且ab aa1 d e f分别为b1a c1c bc的中点 求证 1 de 平面abc 2 b1f 平面aef 思路点拨 利用向量法可以a为坐标原点 建立空间直角坐标系 自主解答 如图建立空间直角坐标系a xyz 令ab aa1 4 则a 0 0 0 e 0 4 2 f 2 2 0 b 4 0 0 b1 4 0 4 1 取ab中点为n 则n 2 0 0 c 0 4 0 d 2 0 2 活学活用 1 如图所示 在四棱锥p abcd中 pc 平面abcd pc 2 在四边形abcd中 b c 90 ab 4 cd 1 点m在pb上 pb 4pm pb与平面abcd成30 的角 求证 1 cm 平面pad 2 平面pab 平面pad 1 求异面直线所成角时注意的问题利用向量的夹角来求异面直线的夹角时 注意区别 当异面直线的向量的夹角为锐角或直角时 就是该异面直线的夹角 当异面直线的向量的夹角为钝角时 其补角才是异面直线的夹角 2 利用向量法求线面角的方法一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 二是通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 取其余角就是斜线和平面所成的角 思路点拨 1 利用所建坐标系 准确写出所需点的坐标代入夹角公式 2 先求面sab的一个法向量 代入夹角公式 注意所求角与此夹角的关系 活学活用 2 如图 四棱柱abcd a1b1c1d1中 a1d 平面abcd 底面abcd是边长为1的正方形 侧棱aa1 2 1 求证 c1d 平面abb1a1 2 求直线bd1与平面a1c1d所成角的正弦值 解 1 证明 四棱柱abcd a1b1c1d1中 bb1 cc1 又cc1 平面abb1a1 所以cc1 平面abb1a1 又四边形abcd是正方形 所以cd ab 又cd 平面abb1a1 所以cd 平面abb1a1 所以平面cdd1c1 平面abb1a1 所以c1d 平面abb1a1 利用空间向量方法求二面角 可以有两种办法 一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小 二是通过平面的法向量来求 设二面角的两个面的法向量分别为n1和n2 则二面角的大小等于 n1 n2 或 n1 n2 12分 如图 已知长方体abcd a1b1c1d1 ab 2 aa1 1 直线bd与平面aa1b1b所成的角为30 ae垂直于bd于点e f为a1b1的中点 1 求异面直线ae与bf所成角的余弦值 2 求平面bdf与平面aa1b所成二面角 锐角 的余弦值 思路点拨 规范解答 以a为坐标原点 以ab ad aa1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图所示 根据几何体的特征 建立空间直角坐标系 特别提醒 在空间直角坐标系中 常采用待定系数法求平面的法向量 高考中以两点距与点面距为重点 而线面距 面面距通常可转化为点面距求解 两点距一般用向量的模求解 即利用两点间的距离公式 而点面距主要利用平面的法向量求解 有时也利用直接法或等体积转化法求解 思路点拨 由面sac 面abc sa sc ba bc 可知本题可取ac中点o为坐标原点 分别以oa ob os所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 用向量法求解 自主解答 取ac中点o 连结os ob sa sc ab bc ac so ac bo 平面sac 平面abc 平面sac 平面abc ac so 平面abc so bo 活学活用 3 在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 pa 平面abcd pa ad 1 ab 2 e f分别是ab pd的中点 1 求证 af 平面pec 2 求二面角p ec d的余弦值 3 求点b到平面pec的距离 答题样板 第一步 建立空间直角坐标系 第二步 确定点的坐标 第三步 求向量 直线的方向向量 平面的法向量 坐标 第四点 计算向量的夹角 或函数值 第五步