第四章 轴向拉压杆的应力及变形.ppt

第四章轴向拉压杆的应力及变形 工程力学 4 3应力 拉压杆内的应力 4 4轴向拉 压 杆的变形 胡克定律 第四章轴向拉压杆的应力及变形 4 1材料力学的基本假设及基本概念 4 2拉压杆横截面上的轴力及轴力图 4 5拉压超静定问题 在外力作用下 一切固体都将发生变形 故称为变形固体 deformablebody 而构件一般均由固体材料制成 故构件一般都是变形固体 变形不等效 4 1材料力学的基本假设及基本概念 4 1 1材料力学的研究对象 静力学中 力为滑移矢量 力偶矩矢为自由矢 材料力学中 力与力偶矩矢均不能自由平移 不再接受刚体假设 4 1材料力学的基本假设及基本概念 材料力学研究的变形固体主要是杆件 一个方向 长度方向或纵向 的尺寸远大于其它两个方向 横向 的尺寸的构件 主要几何特征 横截面和轴线 等截面杆 变截面杆 直杆和曲杆 图4 1拉压杆实例 a 斜拉桥 b 建筑物的立柱 4 1 2材料力学的任务 材料力学是研究构件的强度 刚度和稳定性的科学 1 强度是指构件在荷载作用下 抵抗破坏的能力 2 刚度是指构件在荷载作用下抵抗变形的能力 也即变形或位移不超过工程允许范围的能力 3 稳定性是指构件保持其原有平衡状态的能力 也即其平衡形式不发生突然转变的能力 强度不足破坏 刚度不足破坏 稳定性不足破坏 4 1 3基本假设 可变形固体的变形与材料有关 为研究方便 采用下述假设 材料沿各不同方向均具有相同的力学性质 这样的材料称为各向同性材料 使力与变形间物理关系的讨论得以大大简化 物体整个体积内都毫无空隙地充满着物质 是密实 连续分布的 且任何部分都具有相同的性质 可取任一部分研究 其研究的表述特征具有代表性 变形前后不存在 空隙 或 重叠 2 各向同性假设isotropyassumption 1 均匀连续性假设assumptionofcontinuityandhomogeneity 若存在两个垂直方向有不同的力学性能的材料称为正交各向异性材料 3 小变形假设Smalldeformationstheory 假设受力构件相对于其原始尺寸非常微小 变形后尺寸改变的影响可以忽略不计 基于此 固体力学研究的最基本问题是 均匀连续介质 各向同性材料 小变形问题 上述假设 建立了一个最简单的可变形固体的理想化模型 三角杆架 在分析力的平衡时用原来的几何尺寸计算而不会产生大的误差 小变形问题 4 1 4外力与内力 2 内力是指外力作用引起构件内部的附加相互作用力 1 外力是指研究构件受到的荷载和约束反力 内力是物体内相邻部分之间分布力系的合力 这种附加相互作用力存在于构件内部的任意部位与其连接部分之间 当外力变化时 内力也产生变化 在一般情况下 内力随外力的增长而增大 当内力达到某一限度时将引起构件破坏 4 1 5杆件变形的基本形式 1 Axialtensionandcompression轴向拉伸与压缩 在一对大小相等 方向相反 作用线与杆轴线重合的外力作用下 杆件发生长度的改变 伸长或缩短 2 Shear剪切 在大小相等 方向相反 作用面都垂直于杆件轴线的两组力作用下 被剪杆件横截面相邻两边产生相对错位 横截面变小 横截面变大 4 bending弯曲 在横向力或一对方向相反 位于杆轴线的纵向平面内的外力偶作用下 杆件将在纵向平面内发生弯曲 即杆件的轴线由直线变为曲线 截面法 sectionmethod 用假想截面将物体截开 揭示并由平衡方程确定截面上内力的方法 称为截面法 内力分布在截面上 可向截面形心简化 内力一般可表示为六个 由平衡方程确定 处于平衡状态的物体 其任一部分也必然处于平衡状态 必须截开物体 内力才能显示 4 2拉压杆横截面上的轴力及轴力图 X 0 FN P 0soFN P tensileforce RemaintheleftpartaftercuttingisalsoOK 1 Cut 截开 用一假想的截面m m在需求内力处将构件截开为两部分 2 Substitute 替代 任取其中一部分为研究对象 弃去另一部分 将弃去部分对保留部分的作用以截面上的内力来代替 3 Equilibrium 平衡 列平衡方程 投影 截面法求拉压杆内力的步骤 对轴力的符号作如下规定 拉为正 压为负 引起轴向拉伸变形的轴力为正 拉力 引起轴向压缩变形的轴力为负 压力 注 用截面法求轴力时 无论保留哪部分 都统一先假定截面内力为拉力 1 求AB段的内力 X 0 20 FN1 0SoFN1 20kN tensileforce SoFNAB FN1 20kN tensileforce Examples 2 保留左段 将右段对左段的作用以轴力FN1来代替 设拉力 3 列平衡方程如下 Given ADelementisloadedasFig Tofind theaxialforceatanycrosssectionintheADelement Solution 1 在AB段内任一截面处用1 1截面截开 如何分段 将集中力作用处为分段点 如何选取截面 在每段内任取截面求轴力 1 在BC段内任一截面处用2 2截面截开 2 保留左段 将右段对左段的作用以轴力FN2来代替 2 求BC段的内力 X 0 20 40 FN2 0FN2 20kN compressiveforce SoFNBC FN2 20kN compressiveforce 3 写平衡方程如下 1 在CD段任一截面处用3 3截面截开 3 求CD段的内力 2 保留左段 将右段对左段的作用以轴力FN3来代替 3 写平衡方程如下 X 0 20 40 10 FN3 0FN3 10kN compressiveforce SoFNCD FN3 10kN compressiveforce 注意 也可保留右段研究 但一定要注意要先求D处的约束反力 表示沿杆件轴线各横截面上轴力变化规律的图线 轴力图 Axialforcediagram轴力图 轴力图坐标原点在左侧 x轴方向向右 轴力图突变的位置对应有集中力作用 否则轴力图不会突变 截面法求得 FNAB 20kNFNBC 20kNFNCD 10kN 注意 1 轴力图应从左向右画在载荷图下方对应位置上 2 标注正负号 单位和特征值 3 阴影线垂直于横坐标 不是斜线 轴力图意义 反映出轴力与截面位置变化关系 较直观 确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置 即确定危险截面位置 3 特点 封闭图形突变值 集中载荷大小 突变的方向 请同学们思考 沿着从左到右的顺序 遇到向左的集中力则轴力图向上突变 遇到向右的集中力则向下突变 其余部分均为水平线 Given F1 10kN F2 20kN F3 35kN F4 25kN Pleasedrawtheaxialforcediagram F1 10kN F3 35kN F2 20kN F4 25kN A B C D 任一横截面上的轴力等于保留段上所有外力在轴线上投影的代数和 关于代数符号的规定如下 若保留段是左段 则向左的轴向外力为正 向右的为负 若保留段是右段 则向右的轴向外力为正 向左的为负 左左正 右右正 由平衡方程可得 解 各段轴力 FNAB F1 10kNFNBC F1 F2 10kNFNCD F1 F2 F3 25kN 引起纵向伸长变形的轴力为正 引起纵向缩短变形的轴力为负 Pleasedrawtheaxialforcediagram Solution 注意轴力图的要求 1 数值 单位2 正负号3 阴影线与轴线垂直 则 FNDE 20kNFNCD FNBC 30 20 10kNFNAB 30 30 20 40kN 采用截面法保留右端 C处虽然截面面积有变化 但由于该处没有集中力作用 所以轴力图不会发生突变 Pleasedrawtheaxialforcediagram ladderbar阶梯杆 直接画法 由左至右画 遇到向左的集中力则轴力图向上突变 遇到向右的集中力则轴力图向下突变 突变值等于集中力的大小 其它为水平线 最终形成一个封闭图形 轴力图中有突变的地方一定对应有集中力作用 检验 轴力图简捷画法 用简捷画法作出轴力图 D C B A 48 40 FN kN 解题步骤 1 求各段轴力 2 做轴力图 3 用简捷画法检验 左上右下 一点的应力 当面积趋于零时 平均应力的大小和方向都将趋于一定极限 得到 应力总量P可以分解 垂直于截面的分量 正应力 normalstress 平行于截面的分量 剪应力或切应力 shearingstress 平均应力 某范围内单位面积上内力的平均集度 轴力是杆横截面上分布内力系的合力 若要判断杆是否会因强度不足而破坏 还必须知道分布内力集度的大小 杆件横截面上分布内力集度称为应力 stress 4 3应力 拉压杆内的应力 4 3 1应力的概念 应力单位 Pa1N m2 1Pa 帕斯卡 1MPa 106Pa1GPa 109Pa 应力具有以下特征 应力定义在受力构件的某一截面上的某一点处 应力是矢量 对于正应力 规定离开截面的正应力 拉应力 为正 指向截面的正应力 压应力 为负 整个截面上各点处的应力与微面积dA之乘积的合成 为该截面上的内力 在具体计算中通常各物理量采用国际单位制 最后再进行换算 Beforeloading 4 3 2轴向拉 压 杆横截面上的应力 2 平面假设PlaneAssumption 变形前原为平面的横截面 变形后仍保持为平面 且垂直于轴线 Afterloading 由平面假设可以推断 拉杆所有纵向纤维的伸长相等 根据材料均匀性假设 每根纵向纤维受力相同 所以横截面上的内力是均匀分布的 即横截面上各点处正应力相等 1 观察变形 3 横截面上应力分布 受拉力P作用 均匀性假设 连续性假设 4 横截面上应力公式 正应力符号规定 单位 FN牛顿 N A平方米 m2 s帕斯卡 pa 1MPa 106Pa1GPa 109Pa 当FN为拉力时 为拉应力 正值 当FN为压力时 为压应力 负值 最大应力所在截面称为危险截面 危险截面上的应力称为最大工作应力 当等直杆受几个轴向外力作用时 杆内最大正应力应为 例 一变截面圆钢杆ABCD 如图 已知F1 20kN F2 35kN F3 35kN d1 20mm d2 30mm d3 35mm 试求 杆的最大工作应力 解 1 先计算各段轴力画轴力图 2 求最大正应力 应力计算时代入轴力符号并使用国际单位制 5 公式的应用条件 圣维南 Saint Venant 原理 离开载荷作用处一定范围 截面上应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响 一 截面到载荷作用点有一定的距离 二 直杆的截面无突变 例 图示结构 试求杆件AB CB的应力 已知F 20kN 斜杆AB为直径20mm的圆截面杆 水平杆CB为15 15的方截面杆 解 1 计算各杆件的轴力 设斜杆为1杆 水平杆为2杆 取节点B为研究对象 45 题目中凡涉及长度的量 如无特殊说明 其单位均为mm 2 计算各杆件的应力 45 计算应力时代入轴力的符号 所有量都采用国际单位制 假定横截面的面积为A 斜截面的面积为Aa 则有 4 3 3轴向拉 压 杆斜截面上的应力 斜截面上应力 讨论极值 符号规定 正应力sa 拉正压负 剪应力ta 对截面内侧任意点的矩为顺时针转向时为正 的符号 由x轴转到外法线n为逆时针转向时为正 轴向拉 压 杆的最大正应力发生在横截面上 最大剪应力发生在与轴线成45度角的斜面上 4 4轴向拉 压 杆的变形 胡克定律 纵向变形 横向变形 纵向伸长量 纵向线应变 4 4 1轴向拉 压 杆变形的有关概念 反映总变形 反映变形程度 杆的横向线应变与纵向线应变的符号相反 拉杆的纵向线应变为正 横向线应变为负 压杆则相反 由试验可知 两横向线应变相等 应力不超过比例极限时有 杆件横向绝对变形为 为材料的横向变形系数或泊松比 无量纲常数 拉 压 杆的变形量与其所受力之间的关系与材料的性能有关 试验证明 当杆内的应力不超过比例极限时有 胡克定律的另一形式 4 4 2胡克定律 引入比例常数E 有 比例常数E称为弹性模量 单位 Pa MPa GPa EA称为杆的抗拉刚度 反映杆抵抗拉伸 压缩 变形的能力 计算变形时将轴力FN的符号代入 应力与应变关系表述 力与变形关系表述 用于计算变形量 例 一阶梯轴钢杆如图 AB段A1 200mm2 BC和CD段截面积相同A2 A3 500mm2 l1 l2 l3 100mm 荷载P1 20kN P2 40kN 弹性模量E 200GPa 试求 1 各段的轴向变形 2 全杆AD的总变形 3 A和B截面的位移 解 1 求各段轴力 作轴力图 并求各段变形 BC段 AB段 CD段 注意 计算变形代入轴力符号 并使用统一单位制 2 求全杆总变形 缩短 3 求A和B截面的位移 例 一薄壁圆环 平均直径为D 截面面积为A 弹性模量为E 在内侧承受均布载荷q作用 求圆环周长的增量 解 则圆周长增量 AB FNAB A1 40 103 320 10 6 125 106Pa 125MPa BC FNBC A2 40 103 800 10 6 50MPa CD FNCD A2 48 103 800 10 6 60MPa 解 1 求内力 轴力 例 杆AB段为钢制 横截面积A1 320mm2 BD段为铜 A2 800mm2 E钢 210GPa E铜 100GPa l 400mm 求杆各段的应力 应变和总伸长量 lAD FNAC 40kN FNCD 48kN 2 求各段应力 分三段 杆的总伸长为 lAD lAB lBC lCD 0 68mm 2 求各段应变 eAB sAB E钢 125 210 103 0 6 10 3 A B C D F1 40kN l l l F2 8kN lAB FNABlAB EA1 40 103 0 4 100 109 320 10 6 2 4 10 4m 0 24mm 同理 得 lBC 0 2mm lCD 0 24mm eBC sBC E铜 50 100 103 0 5 10 3eCD sCD E铜 0 6 10 3 3 求各段伸长 Hooke sLaw 变形计算公式 例 杆受力如图 BC段截面积为A AB段截面积为2A 材料弹性模量为E 欲使截面D位移为零 F2应为多大 解 先求各段轴力 FNBC F1 FNAB F1 F2 D lAD lAB lBD FNABl E2A FNBDl EA 注意 固定端A处位移为零 截面D的位移等于AD段的变形量 即 2变形图严格画法 图中弧线 1求各杆的变形量 Li 3近似画法 切线代圆弧 切线代圆弧法 例 写出图中B点位移与两杆变形间的关系 解 设AB杆为拉杆 BC杆为压杆 则变形后B点位移至B 点 注意 在寻找几何关系时 采用杆变形量的绝对值进行计算 水平位移 竖向位移 向右 向下 P 例 如图所示一简易托架 BC杆为圆截面钢杆 其直径d 18 5mm BD杆为8号槽钢 E 200GPa 设P 60kN 试求B点的位移 解 1 计算杆的内力 2 计算B点的位移 先求各杆的变形 P 变形量绝对值 由 切线代圆弧 法 B点的水平位移为 B点的垂直位移为 B点的总位移的大小 向右 向下 拉压 解 例 水平刚性杆由斜拉杆CD拉住 如图a 求作用点B的位移 拉压 解 例 水平刚性干由两根杆拉住 如图 a 求作用点M的位移 拉压 解 2超静定问题 单凭静力平衡方程不能确定出全部未知力 1静定问题 单凭静力平衡方程能确定出全部未知力 外力 内力 应力 的问题 4 5拉压超静定问题 4 5 1基本方程 3超静定次数 n 未知内力数 有效的平衡方程数 4超静定问题的解题方法步骤 1 平衡方程 投影方程 力矩方程 2 几何方程 变形协调方程 各个构件的变形之间存在相互制约的条件 3 物理方程 胡克定律 联系平衡方程和几何方程的桥梁 4 补充方程 由几何方程和物理方程得出 关键 5 解由平衡方程和补充方程组成的方程组 4 5 2超静定问题的基本分析方法的应用 例 设1 2 3三杆用铰链连接如图 已知 各杆长为 L1 L2 L L3 各杆面积为A1 A2 A A3 各杆弹性模量为 E1 E2 E E3 外力沿铅垂方向 求各杆的内力 解 1 分析A节点 列平衡方程 超静定 2 几何方程 变形协调方程 3 物理方程 胡克定律 4 补充方程 由几何方程和物理方程得 5 解由平衡方程和补充方程组成的方程组得 例 两端固定直杆受轴向外力P作用 截面尺寸如图所示 求两端反力 解 解除B端约束 加支反力RB如图 再由平衡条件 投影方程 RA P RB 0 各段轴力 57 例 刚性梁AD由1 2 3杆悬挂 已知