高三数学一轮复习 （基础知识+小题全取+考点通关+课时检测）5.5数列的综合问题课件 新人教A版.ppt

知识能否忆起 1 数列在实际生活中有着广泛的应用 其解题的基本步骤 可用图表示如下 2 数列应用题常见模型 1 等差模型 如果增加 或减少 的量是一个固定量时 该模型是等差模型 增加 或减少 的量就是公差 2 等比模型 如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时 该模型是等比模型 这个固定的数就是公比 小题能否全取 1 某学校高一 高二 高三共计2460名学生 三个年级的学生人数刚好成等差数列 则该校高二年级的人数是 a 800b 820c 840d 860 答案 b 2 教材习题改编 有一种细菌和一种病毒 每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个 现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒 假设病毒不繁殖 问细菌将病毒全部杀死至少需要 a 6秒钟b 7秒钟c 8秒钟d 9秒钟 答案 b 3 数列 an 是各项均为正数的等比数列 bn 是等差数列 且a6 b7 则有 a a3 a9 b4 b10b a3 a9 b4 b10c a3 a9 b4 b10d a3 a9与b4 b10的大小不确定 答案 b 答案 9 1 对等差 等比数列的概念 性质要有深刻的理解 有些数列题目条件已指明是等差 或等比 数列 有的数列并没有指明 但可以通过分析构造 转化为等差数列或等比数列 然后应用等差 等比数列的相关知识解决问题 2 数列是一种特殊的函数 故数列有着许多函数的性质 等差数列和等比数列是两种最基本 最常见的数列 它们是研究数列性质的基础 与函数 方程 不等式 三角等内容有着广泛的联系 在实际生活中也有着广泛的应用 随着高考对能力要求的进一步提高 这一部分内容也将受到越来越多的关注 例1 在等比数列 an n n 中 a1 1 公比q 0 设bn log2an 且b1 b3 b5 6 b1b3b5 0 1 求证 数列 bn 是等差数列 2 求 bn 的前n项和sn及 an 的通项an 等差数列与等比数列的综合问题 试比较 2 求出的sn与an的大小 解决等差数列与等比数列的综合问题 关键是理清两个数列的关系 如果同一数列中部分项成等差数列 部分项成等比数列 要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究 如果两个数列通过运算综合在一起 要从分析运算入手 把两个数列分割开 弄清两个数列各自的特征 再进行求解 1 2013 河南调研 已知 an 是一个公差大于0的等差数列 且满足a3a6 55 a2 a7 16 1 求数列 an 的通项公式 解 1 设等差数列 an 的公差为d 则依题意知d 0 由a2 a7 16 得2a1 7d 16 由a3a6 55 得 a1 2d a1 5d 55 由 得2a1 16 7d 将其代入 得 16 3d 16 3d 220 即256 9d2 220 d2 4 又d 0 d 2 代入 得a1 1 an 1 n 1 2 2n 1 例2 2011 湖南高考改编 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备m m的价值在使用过程中逐年减少 从第2年到第6年 每年初m的价值比上年初减少10万元 从第7年开始 每年初m的价值为上年初的75 则第n年初m的价值an 等差数列与等比数列的实际应用 1 数列实际应用题的解题策略解等差 等比数列应用题时 首先要认真审题 深刻理解问题的实际背景 理清蕴含在语言中的数学关系 把应用问题抽象为数学中的等差 等比数列问题 然后求解 2 处理分期付款问题的注意事项 1 准确计算出在贷款全部付清时 各期所付款额及利息 注 最后一次付款没有利息 2 明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和 只有掌握了这一点 才可以顺利建立等量关系 1 设n年内 本年度为第一年 总投入为an万元 旅游业总收入为bn万元 写出表达式 2 至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入 数列与函数 不等式的综合应用 1 求数列 xn 的通项公式 2 设 xn 的前n项和为sn 求sinsn 数列与函数的综合问题主要有以下两类 1 已知函数条件 解决数列问题 此类问题一般利用函数的性质 图象研究数列问题 2 已知数列条件 解决函数问题 解决此类问题一般要充分利用数列的范围 公式 求和方法对式子化简变形 另外 解题时要注意数列与函数的内在联系 灵活运用函数的思想方法求解 在问题的求解过程中往往会遇到递推数列 因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决 3 设数列 an 是公差为d的等差数列 其前n项和为sn 已知a1 1 d 2 探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题 此类题目的条件或结论不完备 要求考生自己去探索 结合已知条件 进行观察 分析 比较和概括 它对考生的数学思想 数学意识及综合运用数学方法解决问题的能力提出了较高的要求 这类问题不仅考查考生的探索能力 而且给考生提供了创新思维的空间 所以备受高考的青睐 是高考重点考查的内容 探索性问题一般可以分为 条件探索性问题 规律探索性问题 结论探索性问题 存在探索性问题等 3 是否存在互不相等的正整数m s n 使m s n成等差数列 且am 1 as 1 an 1成等比数列 如果存在 请给以证明 如果不存在 请说明理由 题后悟道 本题属于存在探索性问题 处理这种问题的一般方法是 假定题中的数学对象存在或结论成立或暂且认可其中的一部分结论 然后在这个前提下进行逻辑推理 若由此导出矛盾 则否定假设 否则 给出肯定结论 其中反证法在解题中起着重要的作用 解决数列探索性问题基本方法 1 对于条件开放的探索性问题 往往采用分析法 从结论和部分已知条件入手 执果索因 导出所需的条件 2 对于结论探索性问题 需要先得出一个结论 再进行证明 注意含有两个变量的问题 变量归一是常用的解题思想 一般把其中的一个变量转化为另一个变量 根据题目条件 确定变量的值 数列中大小关系的探索问题可以采用构造函数 根据函数的单调性进行证明 这是解决复杂问题常用的方法 3 处理规律探索性问题 应充分利用已知条件 先求出数列的前几项 根据前几项的特点透彻分析 发现规律 猜想结论 已知数列 an 中 a1 1 且点p an an 1 n n 在直线x y 1 0上 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn sn表示数列 bn 的前n项和 试问 是否存在关于n的关系式g n 使得s1 s2 s3 sn 1 sn 1 g n 对于一切不小于2的自然数n恒成立 若存在 写出g n 的解析式 并加以证明 若不存在 试说明理由 解 1 由点p an an 1 在直线x y 1 0上 即an 1 an 1 且a1 1 即数列 an 是以1为首项 1为公差的等差数列 则an 1 n 1 1 n n n 2s2 s1 s1 1 以上 n 1 个等式等号两端分别相加得nsn s1 s1 s2 s3 sn 1 n 1 即s1 s2 s3 sn 1 nsn n n sn 1 n 2 令g n n 故存在关于n的关系式g n n 使得s1 s2 s3 sn 1 sn 1 g n 对于一切不小于2的自然数n恒成立 教师备选题 给有能力的学生加餐 答案 c 2 已知数列 an 的前n项和为sn 且sn n 5an 85