学生对周期函数概念的理解.pdf

华东师范大学 硕士学位论文 学生对周期函数概念的理解 姓名 吴健 申请学位级别 硕士 专业 教育 数学教育 指导教师 熊斌 20071001 摘要 函数是高中数学的核心内容 而函数的周期性是函数教学中的重点和难点 学生对周期 函数的理解水平如何 笔者通过对学生问卷调查 希望得到一些结论 为教学提供指导意见 本研究通过对1 1 7 位初三学生问卷测试作为前测 分析学生在还没有学习周期函数之前 对 周期的了解水平 对4 1 9 位高一和高二学生作了测试 并对部分学生作了访谈 按不同年级 不同类型学校 不同性别三个维度分析 考查了学生对周期现象 周期函数的概念 不完全 归纳周期函数以及周期函数的性质四个方面的理解状况 得到以下结论 1 学生对周期现象的理解 周期现象是生活中的常见现象 对学生来说 是非常熟悉的 用这种实例作为学习周期 函数的铺垫是合理的 学生对周期现象举例不足的主要有两个原因 一是周期现象描述不清 楚 所说事例跟周期有关系 但表达不完整 二是认为只要 有规律 就是周期 从不同年 级看 高一最好 其次是初三 最后是高二 从学校类型看 重点中学好于普通中学i 从不 同性别看 男生好于女生 2 学生对函数周期概念的理解 学生对周期函数概念的理解水平不高 在概念的理解上 学生多从直观来认识 没有对 概念的内涵做深化理解 对周期与最小正周期的认识是最差 对周期函数的图象的认识也存 在问题 从不同年级看 高二好于高一 从学校类型看 重点中学略高于普通中学 从不同 性别看 男生好于女生 3 学生对不完全归纳周期的理解 学生对不完全归纳周期的理解较好 由于这类问胚都是通过学生的直觉感知 对背景越 熟悉 学生对题目中所隐含的周期关系越快判断出 不同年级和学校类型在理解上没有差异 而男生要比女生的理解要好一些 4 学生对周期函数性质应用的理解 学生对周期函数性质的理解比较肤浅 能够理解周期与奇偶性及对称性的学生不多 学 生理解函数的周期是通过直观的函数模型 从年级上看 高二要好于高一 从学校类型看 重点中学明显好于普通中学 而男女生在理解上没有明显的差异 教学中 要更新教学观念 让学生注重理解 挖掘概念的内涵和外延 提高学生的思维 能力 关键词 周期现象周期函数概念性质理解 A B S T R A C T F u n c t i o ni st h ee g s e a t i a lp a r to f s e n i o rh i g hs c h 0 0 1 M a t h e m a t i ca n di t sp e r i o di st h es l r e s sa n d d i f f i e u l t yi nt h et e a c h i n go f F u n c t i o n I no r d e rt oe x a m i n es t u d e n t su n d e r s t a n d i n gt o w a r d sP e r i o d i e F u n c t i o n w ea d o p tq u e s t i o n n a i r ei n v e s t i g a t i o n l o o k i n gf o rs o m ev a l u a b l ef i n d i n gf o rO U I m a t h e m a t i c 8t e a e l a i n g I nt h i sr e s e a r c h w ef i r s te x a m i n el1 7s t u d e n t sw h oh a v en o tl e a m tP e r i o d i c F u n c t i o nm i d d l es c h o o lt oa n a l y s es t u d e n t s u a d e r s t a n d i n g1 e v e lt o w a r d sp e r i o d T h e n W ee x a m i n e 4 1 9s t u d e n t si nG r a d ela n dG r a d e2i nS e n i o rh i 曲s c l a o o la n di n t e r v i e ws o m es t u d e n t s A c c o r d i n g t od i f f e r e n tg r a d e d i f f e r e n ts c h o o lp a t t e r na n ds e x w ee x a m i n es t u d e n t s u n d e t s t a n d i a go nt h e c o n c e p to f P e r i o dP h e l l o m e l l O l la n dP e r i o d i eF u n c t i o n w e l l t h en a t u r eo f P e r i o d i cF u n e t i O i l W ed r a ws o m ee o n e l u s i o mh e r e i n a f t e r 1 S t u d e a t s t m d e m t a n d i n gt o w a r d sP e r i o dP h e n o m e n o n P e f i o dP h c n o l n e n o ni st h ec o m m o np h a l l O l l l c n o ni nd a i l yl i r ea n di ti sf a m i l i a rt oO l D s t u d e n t s T a k i n gt h e s ea x a m p l e st ol e a di n t oF u n c t i o nl e a r a i n gi sq u i t eu s e f u l T h e r e mt w om a i ni e a s o l l si n s t u d e n t s l a c ko fe x a m p l e st o w a r d sP e r i o dP h c n o n c m o n F i r s tt h e t r i p t i o no ft h eP e r i o d l h a l o m c n o ni sn o td e a r T h o u g ht h e yr e c o g n i z t h er e l a t i o nb c t w e 吼t h ee x a m p l e sa n dt h e P 甜o a t h e i rd e s c r i p t i o ni sn o tc o m p l e t e T w o t h e yr e g a r di fl h e r ei sr e g u l a r i t yt h e r ei sp e r i o d F r o md i f f e r e n tg r a d c s c n i o l lu n d e B t a n d i n gi st h eb e s t j u n i o r3t h en e x ta n dl l a l i O I r2t h el a s t F r o md i f f e r e n ts e h 0 0 Ip a t t e r n k e ym i d d l es e h o o Ii sb c t t C l t h o r d i n a r ym i d d l es c h 0 0 1 F r o ms e x b o y sa r cb e t t e rt h a n 鲫s 2 lS t u d e n t s u n d e r s t a n d i n gt o w a r d st h ec o n c e p to f P e r i o d i eF u n c t i o n S t u d e n t s u n d e r s t a n d i n gt o w a r d st h ed e f i n i t i o no f P e r i o d i cF u n c t i o ni sn o td e e p T h e ya l w a y s u n d e r s t a n dt h ec o n c e p td i r e c t l y n e i r g a r dt o w a r d sp e r i o da n dm i n i m a lp o s i t i v ep e r i o di st h e w o n t A n dt h e r ea f ea l s oS O n l t p r o b l e m eu n d e r s t a n d i n gt h ei m a g eo fP e r i o d i cF u n c t i o n F r o m d i f f e r e n tg r a d e s 吼i o r2i sb e t t 日t h a ns 枷O r1 F r o md i f f e r e n ts c h o o lp a t t e r n k e ym i d d es c h o o li s s i g h f l yb e t t e rt h a ao r d i l ym i d d l es c h 0 0 1 F r o md i f f e r e n ts b o y sa r eb e t t e rt h a ng i r l s 3 S t u d e n t s u n d e r s t a n d i n gt o w a r d sN o n c o m p l c t ep m o d S t u d e n t s u n d e r s t a n d i n gt o w a r d sN o n e o m p l e t ep e r i o di sg o o d F o rt h eq u e s t i o n 删 c o m m o ni nd a i l yf i f e i f t h eb a e k g r o u di s1 1 1 0 1 f a m i l i a r s t u d e n t sc a nf m dt h ep e r i o d i cr e l a t i o m h i p i nt h eq u e s t i o n sf a s t e r T h e r ei s1 1 0d i f f e r e n c eb e t w e e l ld i f f e r e n tg r a I ea n dd i f f e r e n ts c h o o lp a t t e r n i nt m d e t 3 t a n d i n gt h eN o n c o m p l e t ep e r i o d B u tb o y sd ob e t t e rt h a ng 汕 f 4 S t u d e n t s u n d e r s t a n d i n gt o w a r d sI h ea d o p t i o no f t h en a t u r eo f t h el e r i o d i eF u n e t i O I L S t u d e n t s u n d e r s t a n d i n gt o w a r d st h en a t l l o ft l a eP e r i o d i cF u n e t i O ni s1 0 W O n l yaf e w s t u d e n t sm u n d e r s t a n dp e r i o da n di t sp a r i t ya n ds y m m e t r y S t u d e n t su n d e r s t a n dt h ep e r i o do f f u n c t i o nt h r o u g hr e a l i s t i cm o d e l F r o m 毋 a l d e s e n i o r2i sb e t t e rt h a ns e n i o r1 F r o ms c h o o l p a t t e r n k e ym i d d l ei so b v i o u s l yb e t t e rt h a no r d i m a r yM i d d l eS c h 0 0 1 T h e r ei s1 1 0d i f f e r e n c e b e t w e e nb o y sa n dg i r l s O nt h eC O U I I o ft e a c h i n g w es h o u l du r d a t eU a e h i n gm e t h o d sa n dl e ts t u d e n t sp a ym O T e a t t e n t i o ni nu n d e r s t a n d i n g M e a n w h i l e w es h o u l dd i gi n t e n s i o na n de x t e n s i o n d e v e l o ps t u d e n t s l e a m i n ga b i l i t yi ne x c a u a t i n gp e l i o d sm e a n i n g K E YW O I S p e r i o dp h e n o m e n o n p e r i o d i cf u n c t i o n c o n c e p t n a t u r e 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果 据我所知 除文中已经注明引用的内容外 本论文不包含其他个人已 经发表或撰写过的研究成果 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体 均已 在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名 蜒帆鲤 本人完全了解华东师范大学有关保留 使用学位论文的规定 学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版 有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅 有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索 有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版 保密的学位论文在解密后适用本规定 言三型杜日期 国 够 导师签名 型A 第一章问题提出和研究的意义 1 1 问题研究的背景 新一轮课程改革正在全国各地逐步地有序推进 在这一次的课改中 无论是 课程的的制定 还是教材的编写 都体现出了与以往所不同的地方 高中数学 课程标准 指出 学生的数学学习活动不应只限于接受 记忆 模仿和练习 高 中数学课程还应倡导自主探索 动手实践 合作交流 阅读自学等学习数学的方 式 这些方式有助于发挥学生学习的主动性 使学生的学习过程成为在教师引导 下的 再创造 过程 l 在数学学习活动中机械地模仿和练习 成了当前很多学 生学习数学的基本方法 在解题过程中 只知道去套模式 而根本不讲数学思想 和数学方法 学生长期在这样的训练之外 已经变得只会解熟题 而不知道该如 何去理解数学 教师在数学概念的教学中 往往不太重视概念的形成过程 不是 让学生在概念形成的过程中去理解数学问题的本质 而是通过对具体题型的训练 来巩固概念 这在短时间内看来是有效的 学生对各种可能的题型做到了熟能生 巧 可是由于不清楚概念形成的过程 不知道知识的来龙去脉 这对后面的学习 的迁移是不利的 学生对相关知识的联系也没有网络结构 这样的学习效果是事 倍功半的 1 2 问题的提出和研究的意义 函数是数学思想的核心 也是高中数学教学的核心内容 函数在生活和生产 中都有很强的应用 很多的性质直接来自于生活实践中 例如函数的周期性就在 生活中有着广泛地存在 而函数的周期性是一个抽象的概念 学生在理解和应用 上都存在着一定的困难 可是这种困难的形成原因如何 希望通过学生对函数周 期的理解调查 弄清楚原因 并且以点带面 从而带动学生对其他函数性质的掌 握 以此落实学生领悟函数与方程 数形结合等数学思想 提高学生的数学素养 通过笔者对各类文献资料的查阅 发现对函数周期性的研究大部分都是解题 研究 对周期理解的实证研究很少 所以希望通过笔者的研究 能够获得一些有 指导意义的结论 为教学服务 啪 1 3 函数周期教学现状 1 3 1 教学现状及分析 教材对函数的周期性的呈现是以三角函数y s i n x 的为载体的o 通过对函 数图象的学习 以及对诱导公式s i n x 2 J 万 s i n x k Z 的回顾 认识到图象所 具备的 周而复始 的变化规律 从而得出周期函数的概念 教材通过这样的安 排 旨在刻画三角函数的周期本质 把三角函数作为周期函数的一个数学模型 而没有对一般函数的周期性作展开讨论 在这样的教学安排下 学生对函数的周 期性的理解往往是一知半解的 有些学生对概念的理解更多的建立图象为基础上 的 学生对函数周期的理解程度是与其学习过程有着密切的关系的 教师是教学 过程的主导者 所以教师的教学过程是否合理 是否符合学生的学习心理 是学 生理解函数的周期性起着至关重要的作用 教师对所教内容难度和深度的把握 教学设计中的层次性 对学生预备知识的分析 对教学内容的难点和重点的分析 都要做到心中有底 这样的教学才会更有效率 教学效果会更明显 1 3 2 学习现状及分析 受应试教育的影响 学生的学习过程变的机械 更多的是在做模仿 而缺乏 了自己的理解和创造 很多的学生学完了函数的周期性这块内容后 只完成了这 一 一个过程的递进 Y s i n x 的周期是2 厅一Y s i n a x 们的周期是竺 至于这 国 一 个周期为什么是竺 他也就不清楚了 知识形成的过程被忽略 只记住了一些 零零碎碎的枝节 这种 掐头去尾烧中段 1 的学法 肯定是得不到好的效果 的 学生的学习需要经历三个阶段 1 模仿阶段 2 操作阶段 3 创 造阶段 在模仿阶段 学生按老师上课的例题中方法去解同类问题 不知道方法 的来龙去脉 原理和实质而是机械的套用 上面的例子就处于这个阶段 操作阶 段为了对知识的巩固 但是这种操作必须是有意义的操作 而不应是反复的机械 性操作 通过操作巩固 去新的知识或是同化 或是建构 这样的操作才是有意 义的 创造是学习的最高层次 对学生的学习提出了很高的要求 需要学生理解 问题的情境 用合理的数学思想和方法去分析它与旧知识的联系 通过合理的转 化 寻求解决问题的方法 第二章文献综述 2 1 文献研究 在着手本研究之前 查阅了关于函数周期性问题的研究十几篇文章 大致研 究以下几个方面 1 周期函数的概念研究 主要有王仲英 刘秋菊的 浅谈周期函数的概念 嘲 林振岳的 浅谈概念 教学一一对周期函数概念教学的体会 旧 张剑湖 叶峰的 浅谈函数的周期性 硼等 主要从周期函数的概念的内涵上做了深层的剖析 使潜在的内容得以必 要且足够的展现 具体谈到了 T 是不为零的常数 T 值可正可负 1 f 取定 义域内每一个值 而不是定义域内的某一个 某几个或无穷多个值 对于定义 域内的每一个工的值加非零常数T 有f x 乃 f x 而不是对定义域中洲的 值加非零常数T 有f o x D 厂 纵 T 是一个非零的常数 而不是非零的 变数 函数f x 的定义域至少一段无界 两段有界的函数不可能具备周期性 的 若T 是函数的周期 则n T n 加也一定是函数的周期 周期函数未必 有最小正周期 单调函数均为非周期函数 图象重复出现的不一定是周期函 数 反之 周期函数也未必是图象重复出现 2 函数的周期性质的研究 函数的周期性质的研究主要集中在于对称问题的关系上 主要有陈金跃的 具有 对称性的周期函数 侧吴会平的 函数的对称性 周期性及应用 朱派文的 浅谈抽象函数的周期性问题 黄静 张新元的 函数周期性与图象对称性 的关系及应用 祁正红的 抽象函数的周期 1 2 1 彭永成的 函数的周期性 和函数的对称性之间联系研究 1 3 1 魏桂珍的 对周期函数的进一步探索 孙亦器的关于两周期函数之和的最小正周期问剐1 5 他们大部分都对函数的周 期中涉及到的对称问题提出了一些性质 并给与了证明 综合这些观点 主要有 1 有两条对称轴的函数是周期函数 2 有两个对称点的函数是周期函数 3 有一个对称点和一条对称轴的函数是周期函数 以上文章都从周期函数的某一方面进行剖析和论述 都有自己独到的见解 对周期函数的内涵与外延做了精彩的评点 但是 上述文章都是从某一方面做了 论述 对知识的进行了一些总结概括 没有对函数周期性对全面的研究 更缺乏 实证性的研究 从学生的角度入手 他们的理解程度如何 对教学方法和教学设 计的指导 实践性不强 3 张卓颖在其硕士论文 普通高中学生对函数概念的理解程度的研究 曾对各层次的高中学生对函数的周期性进行了研究分析 她对学生的理解水平划 分了四个层次 分别是D 一不清楚函数周期性的含义 C 一理解函数周期性的含 义 B 一理解函数周期性的含义 掌握周期函数的图象的特征 能够准确求出一 些简单周期函数的周期 A 一理解函数周期性的含义 掌握周期函数的图象的特 征 运用函数的周期性解决一些常见的数学问题 能够求出较复杂周期函数的周 期 由于高一年级学生在组织测试时还没有学习函数的周期性 故没有进行测试 只对高二和高三学生对函数的周期性的理解做了测试 得出的结论是 高二年 级学生对函数周期性的理解程度 6 1 3 的学生达到了A 水平 6 0 7 的学生达 到了B 水平 7 1 6 的学生处于C 水平 8 0 6 4 的学生处于D 水平 高二年级 学生在对函数的周期性的理解程度在各水平上的人数分布不均衡 8 0 以上的高 二学生对函数的周期性的理解程度处于D 水平 总体上来讲 只有接近2 0 的 高二学生达到了 普通高级中学数学课程标准 中的相关要求 普通高级中学 高三年级学生对函数的周期性的理解程度 3 1 1 9 的学生达到了A 水平 2 1 8 2 的学生达到了B 水平 4 2 1 的学生处于C 水平 4 2 7 8 的学生处于D 水平 高三年级学生在对函数的周期性理解程度的各水平上的人数分布不均衡 多于 4 0 的高三学生对函数的周期性的理解程度处于D 水平 总体上来讲 接近6 0 的高三年级学生达到了 普通高级中学数学课程标准 中的相关要求 1 上面有关函数周期性的研究对周期理解水平的划分可做适当借鉴 可由于是 在对函数概念理解中谈到周期性 所以分析上不够精细 4 平萍在其硕士论文 学生对反函数概念的理解 中 对函数的函数知 识的一重要组成部分 反函数 从三个方面作了研究 并按不同年级统计 得出 了学生对反函数概念定义的理解水平不一 对反函数和原函数关系的理解并不乐 观 认识比较狭窄和对反函数存在性的理解较好 但判断反函数是否存在的方法 单一 对函数某一方面的理解的研究方法是值得借鉴的地方 但是统计的维度 不够全面 2 2 理论基础 2 2 1 数学概念的理解 耵 数学概念的理解 并不是对孤立的单一概念的简单分析 往往涉及与之有着 逻辑联系的相关概念和有着非逻辑联系系的概念 每一个概念都是认知网络结构 中的一员 对它的理解的深刻与否 除了取决于对内部图式结构的认识外 很大 程度上取决于它与相关知识的联系的多少与强弱 心理学的研究表明 学生数学 概念的获得首先有一个心理表征的建构过程 但是概念的心理表征并非是一张 心理照片 而是主体对独特类型神经活动的体验时所产生的一些 可建构性 的神经事件 在概念的教学中 应当充分调动学生头脑中相关的知识经验 促使 学生主动参与对常识材料进行探幽入微的探究性活动 在探究中丰富由自发性概 念想科学概念发展过程中的体验 从而把握概念理解的本质特征 构建概念的 恰 当的 心理表征 函数的周期性的概念是抽象的 学生对函数周期性的概念建立合理心理表 征 并把周期的概念同化到函数概念的认知网络结构中 建立合理的图式 研究 学生对周期概念的理解困难 可以知道学生在建立概念网络结构中的问题 从而 寻找合理的周期概念的认知结构 2 2 2 认知心理学下的函数周期教学 认知心理学认为学习过程就是 信息加工 的过程 即接受信息 编码和存 入记忆 利用记忆材料作出决定 指导外部行为 具体而言就是知识的获得和 贮存以及问题解决的过程 知识的获得是接受信息的过程 这种获得当然也包括 对已获得知识的记忆 阿特金森 R A t k i n s o n 和希弗林 R S h i f f r i n 提出的多 存贮模型的主要内容就是人类的记忆有三种不同的信息存贮系统 感觉记录器 短时记忆和长时记忆 这三种记忆在结构 保持信息的形式和时间 功能等方面 是存在的很大的差异的 外界信息进入感觉记录器 这种记录是无意义的 是对 于输入信息原样的完全的输入保存 但一般保持不到1 秒就消退了 感觉记录器 从输入信息中选取需要进一步加工的信息 进入短时记忆系统 短时记忆的功能 是短时保持少量从感觉记录和长时记忆中选取的信息 进行有意义的加工 长时 记忆则是信息和信息加工规则的仓库 它的功能是在不用时保存各种信息以及信 息加工规则以被取用 长时记忆中所贮存的信息主要来自短时记忆 但有一部分 记忆也可能直接来自感觉记录 学生在某个问题做出判断 他的主要依据是短时 记忆中的内容 此时 长时记忆的知识是通过记忆的 激活 把有关的信息由长 时记忆 提取 到短时记忆中 在这样的记忆过程中 通过对知识的合理编码 让更多的内容转化为长时记忆 并在需要输出的时候能激活 对我们的教学就尤 为重要 要获得这样的效果 我们可以采用 图式 和 精致 所谓 图式 斯根普认为 概念的结构称之为图式 除去其中所包括的各个个别概念单独具有 的性质外 图式的新的功能就在于 这是对于已有知识的整合 并为将来的学习 活动提供了工具 使真正的理解成为可能 个别的概念一定要融入与其他概 念合成的概念结构中才有效用 除了所谓最基本的初级概念之外 每一个概念都 是由若干较低阶层的概念合并发展得来的 而这个概念其后又与其他概念结合发 展出更高阶的概念 因此每个概念都是发展过程中的一个阶段 认知心理学家 通常将对所学命题有所增添或补充的过程称为精致 在概念的教学挖掘概念的 内涵与外延 能有效提高回忆 对认知结构的形成是有利的 相对于 知识的获得和贮存 而言 问题解决 常常被看成知识的应用 是指如何综合地 创造性地应用已有的知识去解决那种非单纯练习题式的问题 认知心理学认为要完善 问题解决 就要弄清 问题空间 所谓 问题空间 是指任务范围的内部心理表征 包括对目标 现有状态与目标状态的差别 可以 执行哪些操作等等的理解 由于 问题空间 的建构直接依赖于主体已有的知识 和经验 因此 这就清楚地表明了解题活动并不能被看成与主体已有的知识和经 验完全无关 就内在的思维活动而言 解决问题的过程可被看成 问题空间 的 不断转换 解题者通过阅读问题和理解建构起了最初的 问题空间 然后 随 着 问题空间 与来自外部和长时记忆的信息的 接触 它不断发生新的变化 最后 问题的解决就取决于解题者最终能否成功地建构出关于所面临问题的一个 合适的内在表征 m 这对我们在教学函数周期性的启示 函数的周期性是函数所有性质的一个方 面 要把周期性融入在函数性质的整体理解中 2 2 3 建构下的函数周期教学 建构主义认为学习是一种特殊的认识活动 首先 知识并不能简单地由教师 或其他人传授给学生 而只能由每个学生依据自身已有的知识和经验主动地加以 建构 由于学生已有的知识和经验在新的学习活动中发挥了重要的作用 在教学 过程中 就不能就事论事 而要注意前后知识问的融合 其次 学习活动是一个 顺应 的过程 也即是认知框架的不断变革或重组 而后者又正是新的学习活 动与认知结构相互作用的直接结果 学习不是单一的量变过程 必然包含一定的 质变的阶段 在学生的认知结构重组的过程中 必然有对于错误和不恰当的观念 的纠正和更新 这种纠正和更新 是内在的观念冲突的结果 如在解决问题过程 中出现了错误 或是由于新的学习内容未能很好地得到消化 从而就与已有的知 识或经验构成了直接的冲突 这样的冲突将有力地促使人们去进行新的思考和探 索 在认知结构的重组中 包含了新的认知结构对原有的认知结构的取代 这样 的取代过程往往不是一次就能完成的 而要经过多次的反复和深化 在学校这样 的学习环境中 学生的学习是在教师的直接指导下进行的 所以学生的建构过程 是具有继承性的 除教师外 同学间的相互作用对与学习活动也有重要的影响 在建构主义下 教师在教学活动中的主导地位仍是不容置疑的 由于学习是 学生主动的建构活动 而并非对于知识被动的接受 因此 教师不应成为知识的 授予者 而应成为学生学习活动的促进者 教师应当努力调动学生的学习积极性 并且要发挥好教学组织者的作用 对学生的建构过程发挥 导向 作用 使得学 生的学习过程是沿着正确的方向进行的 而不是漫无目的的胡乱建构 在函数周期的教学中 周期概念的建立 周期性质的认知结构的形成 需要 教师引导学生如何建立学习相关知识的必备经验和预备知识 如对周期的直观经 验等 并且在学生已有周期概念 但对概念的认识不完善的情况下 要通过对某 些错误的诊断来完善学生周期概念的认知结构的完整 2 3 本论文的主要研究工作 在高中阶段的数学教学内容中 函数是最重要的一个内容 学生对于函数 基本性质的把握 存在着很大的困难 尤其是函数的周期性 更是教学中的一个 难点 由于周期性不仅是函数的一个重要性质 也是生活非常重要的 个现象 通过对函数厨期住的学习 可以培养学生的数学理解能力和应用意识 提高学生 的思维灵活性 然而 由于教材对函数的周期性叙述较少 仅仅是让学生体会三 角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 在周期函数概念本身以及周期的性 质的应用又菲常抽象 学生在学这 知识时普遍感到很难 那么学生对函数的周 期性到底理解如何 为了明确这些问题 本研究拟对以下的具体内容做深入的研 究 2 3 1 学生对周期现象的理解 数学知识来源于生活 是生活常识的理论升华 周期现象普遍存在于现实生 活中 正是生活中这么多的周期现象的存在 而对于这些周期现象的直观体验 对理解函数的周期性质 有着直接的联系 学生对生活中的周期现象了解多少 这样的了解水平是否对理解函数的周期概念有直接的联系 这是本研究要考虑的 现实基础 2 3 2 学生对函数周期性概念的理解 人民教育出版社2 0 0 0 年版的高中数学教科书 必修 池1 和2 0 0 4 版的普通高 中课程标准实验教科书必修4 中对周期的概念的描述是相同的 一般地 对于 函数Y f x 如果存在一个不为零的常数T 使得当一取定义域中的每一个值 时 f C x 即 习都成立 那么把函数Y f x 叫做周期函数 不为零的常数 T 叫做这个函数的周期 对于这样的一个概念 在表达中采用了数学化的符号 语言 学生感觉对它的理解可能有点困难 那么究竟学生是如何理解函数的周期 性概念的 理解的水平如何 它对周期现象的理解是否会相互促进 本研究将从 这些方面作全面的分析 2 3 3 学生对不完全归纳周期性的理解 函数的概念是宽泛的 数列也是一个特殊的函数 数列中也会存在周期性 而这样的周期的表现形式更多的是以不完全归纳方式呈现的 本研究将了解学生 对不完全归纳周期性的思维形成 对周期的转化认识 2 3 4 学生对周期性质的应用的理解 周期性是函数的一个重要的性质 但是它不是函数的唯一性质 也不是所有 函数所必备的性质 它会与函数的其它性质相辅相成 相互依托 学生能否合理 的建构函数的周期性质 有效地解题 本研究将对这个问题进行调查分析 并迸 步分析学生是如何运用头脑中的表象 去建构函数的周期性的 通过本研究 明确学生对函数周期的学习现状 明确学生在理解函数周期中 的规律 从而更有有效地指导我们有针对性的开展教学 使得学生对函数周期的 认识能够上一个层次 并以此为起点 对函数教学提供一些类比的经验 同时对 其他知识点的教学提供借鉴 2 4 研究设计 2 4 1 研究思路 本研究希望了解学生对函数的周期性概念的理解状况 在编制测试问卷之 前 查阅大量的期刊杂志和有关硕博论文 同时结合笔者长期在教学中的体会 从中找到研究角度和具体内容 通过对这些资料的非类整理 明确了要研究的方 向与内容 编制了一份预测试卷 见附录1 在高一年级进行了预测后 对测 试结果做了简要的分析 通过对数据的基本分析 发现了对周期函数概念的测试 不够全面 周期函数性质的两个问题问法雷同 对学生的测试分析缺乏过程的评 价 所以对预测试卷中的一个题目改成了主观题 通过这些修改后 形成了正式 的测试卷 见附录2 3 并在测试的基础上对部分学生进行了访谈 嘲 2 4 2 研究对象 参与本研究的是4 1 9 名高中学生和1 1 7 名初三学生 这4 0 0 名高中学生来自 浙江省平湖中学高一 9 高一 1 0 两个班共8 5 名学生 其中男生4 3 名 女生4 2 名 高二 1 0 高二 1 2 两个班共1 1 5 名学生 其中男生7 1 名 女 生4 4 名 以及浙江省平湖市乍浦中学高一 9 高一 1 0 两个班的学生共 1 1 1 名学生 其中男生6 5 名 女生4 6 名 高二 6 高二 1 0 两个班共1 0 8 名学生 其中男生4 8 名 女生6 0 名 初三学生均来自平湖市乍浦镇初级中学初 三 5 6 8 班 其中女生6 0 人 平湖中学是省一级重点中学 学生素质 很好 每年的高考重点率在嘉兴市的重点中学名列前茅 乍浦中学是一所普通中 学 在招生顺序上是排在该地区最后 这两所学校基本代表了该地区高中学生的 两端 乍浦镇初级中学是一所农村学校 学生的素质参差不齐 但由于本研究测 试是在5 月份进行 一些升入普通高中无望的学生已经录取在职业类学校 所以 并没有参与到本次测试 所以每个班级的人数都为3 0 多名 测试对象之所以这 样选择 是考虑周期性并不是一个纯理论的问题 在生活中可以找到数学的模型 特别是不完全归纳的周期问题 所以希望在还没有系统学过周期概念的初三学生 中做测试 是希望了解学生对周期的经验和预备知识情况 分别在重点中学和普 通中学各选4 个班级 是希望了解在周期性的理解中优秀学生与一般学生的有没 有相关性 对男女学生的比较 也可以知道性别对周期性理解的是否不同 2 4 3 研究方法 本研究运用问卷调查和访谈相结合的方法 通过问卷调查可以了解学生对周 期现象 函数周期性概念 不完全归纳周期性 以及对周期性质的应用的理解 通过访谈可以迸一步了解学生回答问题时的思维过程以及未在测试卷中所呈现 的思维活动 在数据处理上 采用E X C E L 程序进行统计分析 2 4 4 测试过程 1 预测试 2 0 0 7 年4 月上旬编制好预测试卷 于4 月1 1 日在笔者所在学 校高一 4 共5 6 名学生进行测试 之后进行数据分析 2 正式测试 2 0 0 7 年4 月底对测试卷做了修改 于2 0 0 7 年5 月中旬对平 湖中学高一 9 1 0 班8 5 名学生和高二 1 0 1 2 班1 1 5 名学生 乍 浦镇初级中学初三 5 6 8 班1 1 7 名测试 在5 月下旬对乍浦中学高一 9 1 0 班1 1 1 名学生和高二 6 1 0 班1 0 8 名学生进行测试 测试 时间为2 5 分钟 之后进行数据分析与处理 在测试过程中 本人直接参与乍浦中学高一 9 1 0 的监试 其他班级 的测试委托他人进行 所测试班级的数学任课老师都和笔者相熟 在测试之前 都亲自和这些老师及朋友讲明了测试的要求 测试过程中 定要闭卷 要独立完 成 由于这些老师们的认真负责 本次测试的试卷回收 学生的答题认真程度都 得到了保证 确保了本次测试的信度 第三章研究结果与分析 3 1 学生对周期现象的理解及周期函数的预备知识 3 1 1 对初三学生的两个问卷调查 周期现象是生活中 个比较普遍的现象 这样的生活实例也很多 为了了解 生活常识对学生理解周期的关系 先在初三学生中作了一个调查 调查问卷中设 计了了一个题目 你是否知道生活中的周期现象 供学生回答选择的有三个标 准 分别是 比较熟悉 B 听说过 c 不知道 学生回答情况统计表l 和图1 表1 初三学生对周期现象的了解情况问卷统计 男生女生合计 选项 人数百分比人数百分比人数百分比 A71 6 2 8 1 82 4 3 2 2 52 1 3 7 B3 37 4 7 4 5 27 0 2 7 8 57 2 6 5 C36 9 8 45 4 l 75 9 8 测试人数 4 3 1 0 0 7 4i 0 0 1 1 7 1 0 0 由上述表和图可以看出 只有3 个男生和4 个女生认为不知道周期现象 大 1 部分的学生都选择了 听说过 只有三多一点的学生认为对周期现象比较熟悉 5 从访谈中 学生被问到他们对周期现象的了解途径是什么 大部分学生提到了是 电视及课外书籍 几乎没有学生讲到是老师的介绍 因为教材没有出现周期现象 的表述 所以老师就不会特意去提这样的一个名称 周期函数是高中数学的教学内容 初三的学生对生活中的周期现象也有较多 的接触 并且也已经学习函数的概念 所以设计了第2 个问卷是 你知道数学中 的周期函数吗 选项同样给出了三个 A 比较熟悉 B 听说过 C 不知 道 A 比较熟悉 B 听说过 C 不知道 初三学生对周期函数的了解情况 见表2 和图2 表z 初三学生对周期函数的了解情况统计 男生 女生合计 选项 人数 百分比 人数 百分比人数百分比 A2 4 6 5 4 5 4 1 65 1 3 B2 2 5 1 1 6 4 1 5 5 4 l 6 35 3 8 5 C1 94 4 1 9 2 93 3 1 9 4 84 1 0 4 测试人数 4 31 0 0 7 41 0 0 1 1 71 0 0 由上述表和图可以看出 只有2 个男生和4 个女生认为周期函数比较 分别 有5 1 1 6 的男生和5 5 4 1 的女生选择了 听说过 另有4 4 1 9 的男生和 3 3 1 9 女生选择了 不知道 与第1 个问卷调查的结果相比 有更多的初三学 生不知道周期函数 这个比率男生提高了3 8 而女生也提高了2 8 从总体 上看 不知道周期函数的初三学生比不知道周期现象的多了3 5 学生对周期 函数的了解分化为两种类型 分别是 听说过 或 不知道 笔者本人也曾从 事过多年的初中数学教学 对初中数学的教学内容 教学模式及教学策略也比较 熟悉 初三的学生对函数概念的理解更偏重于具体的直观的函数以及对函数图象 特征的描述 在教学理念上 更侧重于演绎的方法 学生不知道周期函数的概念 事实上他们对周期函数的了解应该比他们自己所认为的程度要高 确实在访谈 中 大部分学生说到不知道周期函数是因为老师没有讲过 可是从后面以具体问 题对初三学生的测试结果看 学生对周期函数还是有所了解的 初中测试卷的第3 题和高中测试卷的第6 题 分别要求学生给出生活中的周 期现象的实例 因为初三学生没有讲过周期 所以在测试卷中给出了一个例子 海 水会发生潮汐现象 大约在每一昼夜的时间里 潮水会涨落两次 这种现象就是 我们称之为周期现象 然后让学生举例 分别对初三 高一 高二学生的回答 作了统计 统计的方法是根据学生的回答水平来进行的 把学生的回答水平分为 四个层次 分别是 A 周期现象举例正确 表述完整 B 所举事例具有周期特征 但描述没有体现或不完整 C 举例错误 D 没有回答 3 1 2 不同年级学生对周期现象的理解 不同年级学生对周期现象举例的回答水平的测试结果见表3 表3 不同年级学生对周期现象的理解 初三高一高二 回答水平 人数百分比人数百分比人数百分比 A9 48 0 3 4 1 7 79 0 3 1 1 7 17 6 6 8 B2 01 7 0 9 1 36 6 3 94 0 4 C32 5 6 73 5 7 2 31 0 3 1 D00 0 031 5 3 1 6 7 1 7 测试人数 1 1 71 0 0 1 9 61 0 0 2 2 31 0 0 从上表可以看出 学生对周期现象理解最好的是高一年级 有超过9 0 的学 生能够正确的表述生活中有周期现象的事例 其次是初三年级 也有超过8 0 的学生能够合理的举例 最差的是高二年级 高二年级的学生能达到这个程度的 不到8 0 而且高二年级中回答水平在C 与D 的学生合计将近2 0 不同年级 对周期现象的理解的比较见图3 为什么高二年级的学生在回答这个问题上的水平是最低的 参与测试的高 二年级是使用大纲教材的晟后一届学生 高一和初三都使用课程标准教材 在课 程改革后 教师的上课理念有了明显的转变 更注重了知识的背景和引入 强调 了知识的来源和生活化 在同样经过新课改的初三和高一学生的比较 回答水平 在C 和D 两项之和上 初三的学生要低于高一的学生 而且初三的学生没有回答 的学生为0 个 经过分析 看来在初中测试卷中先给出了一个实例起了作用 有 研究表明 在概念教学中给出启蒙例对学生的理解是有很大的促进作用的 o 3 1 3 不同类型学校学生对周期现象的理解 不同类型学校学生对周期现象的理解的测试结果统计见表4 表4 不同类型学校学生对周期现象的理解统计 重点中学普通中学 回答水平 人数百分比人数百分比 A 1 7 78 8 5 0 1 7 l 7 8 0 8 B1 3 6 5 0 9 4 1 1 C 7 3 5 0 2 31 0 5 0 D31 5 0 1 67 3 1 测试人数2 0 01 0 0 2 1 9i 0 0 从上面的表中可以看出 有接近9 0 的重点中学的学生能非常准确的描述周 期现象 而在普通中学中 这个比率要低了超过l O 重点中学中只有5 的学 生的回答在C 和D 水平上 而在普通中学中 处于这两个水平的学生接近2 0 重点中学的学生对周期现象举例水平的分布基本上在A 水平 而其他水平的分布 呈递减趋势 虽然普通中学学生的回答水平也以A 水平为主 但是他们在其他三 个水平的分布却是C 水平最多 学生对周期现象的理解不如重点中学的学生 不 同类型学校学生对周期现象的理解见图4 从学生回答情况中分析 重点中学学生的回答要好于普通中学的学生 这样 的差距也体现了两种不同类型学校学生的文化背景上的不同以及语言表达上的 差异 重点中学的学生的见识要比普通中学的学生广 所以在所举例子的背景也 涉及到方方面面如 钱塘江的潮汐 每个月的月相变化 等等 但是普通中学 的学生的大部分学生