全概率公式及其应用技巧.pdf

第1 4 卷第2 期高等数学研究V01 14 No 2 2 0 1 1 年3 月 S T U D I E SI Nc O L L E G EM A T H E M A T l C S 一 一一 M a r 三一垫 L 全概率公式及其应用技巧 符方健 琼台师范高等专科学校数理系 海南海口5 7 1 1 0 0 摘耍对全概率公式的内涵进行剖析 引申与扩展 构造性地运用全概率公式计算一些复杂事件的概率 通 过实例探讨其应用技巧 关键词全概率公式 内涵剖析 应用技巧 中图分类号0 2 1 L 工 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 8 1 3 9 9 2 0 1 1 0 2 一0 0 5 2 0 4 全概率公式内涵丰富 应用广泛 是概率论中一 个非常重要的公式 本文将对全概率公式的内涵进 行深入剖析 引领学生窥其 庐山真面目 然后循序 渐进地讲解其应用 从而帮助学生系统 深入地掌握 全概率公式的理论体系 1 全概率公式 定义1 E 1 设 0 F P 为概率空间 若 A i F f I 2 以 满足 A i A j 一彩 i 歹 i f 1 2 靠 UA n 则称A A A 为n 的一个完备事件组或称为0 的一个划分 定理1 E 1 3 设 以 F P 为概率空间 A l A 2 A 为n 的一个划分 且 P A t 0 i 1 2 n 则对于任一事件B F 有 P B 一 P A P BA i l 上式称为全概率公式 2 内涵剖析 2 1 蕴涵的数学思想方法 全概率公式蕴含了化整为零 化复杂为简单的 数学思想 P C B P B A l 表示将一个复杂事件B 的概率分解成若干个简单事 收稿日期 2 0 0 9 0 4 2 6 修改日期 2 0 1 1 0 1 2 6 基金项目 海南省自然科学基金资助项目 8 0 8 2 5 0 作者简介 t 符方健 1 9 6 8 男 海南琼海人 剐教授 主要从事马尔 可夫链理论研究 E m a i l lf u i a n g j i a n I Z 6 c o 玑 件B A 之和的概率 这就是全概率公式的基本思路 2 2公式的本质 全概率公式的本质是 全概率公式中的P B 是一种平均概率 是条件概率P BA 的加权平 均 其中加在每个条件概率上的权重就是作为条件 的事件A f 发生的概率 2 3目标事件与完备事件组的关系 样本空间n 中的任一目标事件B 总是由n 中若 干个基本事件构成的 而当n 被完备事件组A A z A 划分时 所有基本事件无一例外地被归类于 A A A 中 所以 B 中的基本事件也必然属于 完备事件组A A A 也可以说 B 中的基本事 件被分配到A A A 中去了 这样 当A A A 划分J f 2 时 同时也划分了B 需要说明的是 B 的元素不一定参与划分者A 的全部元素 所以B 不能用它们的和表示 而只能用 积B A 表示 另外 尽管目标事件B 有时是被完备事 件组中部分事件划分了 但总可以广义地认为是被 全部事件划分了 只是没参与划分的事件是没分着 B 的任何元素 也就是说与B 的积为不可能事件 这 样 B 就可以表示成B 分别与完备事件组中各个事 件的积之和 2 2 4 全 的含义 从定理1 的描述来看 使用全概率公式计算目 标事件B 的概率 必须是找到样本空间n 的一个完 备事件组A A A 而这一完备事件组恰恰可 以理解为是事件B 产生的行个原因 全概率公式相 当于将产生B 的全部原因一一进行考察 将每一个 可能性都考虑进来 这就是 全 的含义所在 概括 来说 全 指的是对目标事件B 有贡献的全部原 因 应用中要将全部原因找出来 缺一不可 才构成 样本空间的完备事件组 万方数据 第1 4 卷第2 期 符方健 奎概率公式及其应用技巧 5 3 2 5公式的直观作用 由于公式包含了乘法公式 P B A l P A i P BA 即先有A 后有B A 对B 的发生均有一定作用 只 有A 发生了 才有B 发生的可能性 A t 是B 发生的 全部 原因 因此 我们可视为公式的直观作用是 知因求果 2 6公式蕴涵的运算 公式中包含了两个主要的运算过程 1 概率的加法公式 P B P B A i i l 2 概率的乘法公式 P B A P A P BlA i 因此 全概率公式是加法公式与乘法公式的综 合运用 2 7 运用公式的关键 运用公式的关键是寻找其中的完备事件组A A A 分割 A 是为了计算P B 而人为地引 入的 选择适当可以使计算大为简化 选择不适当 则不利于问题的解决 2 8 运用公式的一般步骤 1 找出样本空间n 的完备事件组 2 求P A f I 3 求P BA 4 求目标事件的概率P B 注l全概率公式是概率论中一个非常重要的 公式 它的理论严密 概括性强 要从理论上系统地 认识全概率公式 必须从测度论的角度去研究学习 要用到转移概率的知识等 不过 对于不同学历层次 的学生 要求的深度是不一样的 基于上面的几点分 析 基本上认识了公式的内涵 至于从测度论角度去 进一步研究可参考文献 3 中第五章或文献E 4 3 中 第四章 本文不再深入探讨 下面将从简单到复杂 循序渐进地例举一些精彩的例子 欣赏全概率公式 的风采 体会活用全概率公式的乐趣 深化对全概率 公式理论体系的认识 3 应用探究 3 1 条件简明 直接应用公式 例1某人到武汉参加会议 他乘火车 轮船 汽车或飞机去的概率分别为0 2 0 1 0 3 和0 4 如 果他乘火车 轮船 汽车前去 迟到的概率分别为 1 3 1 1 2 和1 4 乘飞机不会迟到 求他开会迟到的 概率 分析引起目标事件 开会迟到 的所有可能的 原因 交通工具 为火车 轮船 汽车或飞机 显然它们 构成了完备事件组 分析第二层条件可见 P BlA 也已知 因此本题可直接应用全概率公式来解 解以B 表示事件 开会迟到 以A A A A 分别表示某人乘火车 轮船 汽车或飞机去的事件 则 A i 1 2 3 4 为一完备事件组 由全概率公式得 上 P B P A i P BfA t 0 1 5 i 1 3 2条件复杂 扩展应用公式 例2甲 乙 丙三人向同一敌机射击 设甲 乙 丙射中的概率分别为0 4 0 5 0 7 又设甲射中 时敌机坠毁的概率为0 6 甲射不中乙射中时敌机 坠毁的概率为0 3 只有丙射中时敌机坠毁的概率 为0 1 求敌机坠毁的概率 分析目标事件 敌机坠毁 的发生是由于 甲 乙 丙的射击引起 而 甲射中 乙射中 丙 射中 是可以同时发生的 是相容事件 关于如何 对相容事件构成的样本空间进行划分 进而用全 概率公式求解 文 5 曾对全概率公式有所扩展 证明了下面这个推论 推论1 t 5 3设 0 F P 为一概率空间 风 为 F 中任意事件列 相容或互不相容 有限或可列无限 多个 且对一切竹有 P B 0 UB 一n 若令 m 1 B B 一UB I P B 0 则对一切A F 有 P A P B P C AlB 考虑到题中第二层条件与推论l 可见 本题可 用推论1 求解 解设A 表示 敌机坠毁 B 表示 甲射中 B 表示 乙射中 B 表示 丙射中 且表示 三人 皆射不中 另设 B 7l B l B 72 B 2 一B 1 B 3 B 3 一 B 1UB 2 3 B 7 B 一UB i B 则B 7 表示 甲射中 B 7 表示 甲射不中而乙射 中 B 表示 只有丙射中 B 7 表示 三人皆射不 中 它们构成一个完备事件组 其中 万方数据 5 4高等敦学研究 2 0 1 1 年3 月 P B 7 I P B I 0 4 P B 72 P B 2 一P B 1 8 2 0 3 P P 骂 一P 马骂 一P 易岛 P B l B 2 8 3 0 2 1 P B 7 P B t B B 一0 0 9 且由已知得 P AlB 0 6 P AJB 0 3 P AlB 0 1 P AB 0 根据推论1 得 P A 一 P B P AIB 0 3 5 1 3 3全概率公式在复合试验中的运用 一般地 在复合试验中 使用全概率公式求解的 问题其试验具有层次性 前几次试验结果的交叉为 样本空间的一个分割 最后一次试验的结果为目标 事件 以三层次为例 可得下面推论 推论2 设事件组 A j f 1 2 竹 B 歹 1 2 优 是先后两个试验过程中的划分 C 为目标事件 若 P C 0 P A i 0 P B i 0 P C A 圆 j 0 f 1 2 再 歹 1 2 1 那么 P O P A P B jlA P C IA s j 证明P C P UA nC P F 亟 A c P A c I J t 一 妻J 1P E 川c 3 B C 砉砉P A t B i C P A P 马IA cIA 出 例3已知甲袋中有2 个白球1 个黑球 乙袋中 有1 个白球3 个黑球 丙袋中有2 个白球3 个黑球 现从甲袋中任取1 球放入乙袋中 再从乙袋中任取1 球放入丙袋中 最后从丙袋中任取l 球 求最后从丙 袋中取出的那个球是黑球的概率 解设A f 0 1 表示 从甲袋中取出i 个黑 球放人乙袋中 马 f 0 1 表示 从乙袋中取出 f 个黑球放人丙袋中 C 表示 从丙袋中取出的那个 球是黑球 由题意得 P A 2 3 P A 1 1 3 P B oIA 2 s P B lA 一3 5 P B olA 1 1 5 P B lIA 1 4 5 P CIA B o P ClA l B o s 6 P CIA B 1 P CIA B 4 6 由推论2 得 P C 一1 1 1 8 3 4 全概率公式的构造性运用 对全概率公式的内涵掌握得好 可以构造完备 事件组 解决一些复杂的看似与全概率公式无关的 问题 从而体验到活用全概率公式的乐趣 尤其在随 机过程与可靠性理论中应用更广泛 由于篇幅所限 仅举一例予以说明 例4 在研究系统的可靠性时 假定系统由一系 列元件以某种方式联接而成 把元件或系统在时间区 间 o 刀内正常工作 B P 不出现故障 的概率称作元 件或系统 在该时间区间内 的可靠性 或可靠度 图 1 中 电路由5 个元件组成 它们工作状态是相互独立 的 元件的可靠性都是夕 求系统的可靠性 圈1由5 个元件组成的电路系统 分析表面上看 本题似乎无法用全概率公式 求解 但我们可以考虑以第3 个元件为考察对象构 造完备事件组 进而可用全概率公式求解 解设A f 1 2 3 4 5 表示 第i 个元件 正常工作 则 P A p f 1 2 3 4 5 设A 表示 系统正常工作 注意图1 中的电路 当第3 个元件正常工作时 可视为两个并联系统串联而成 图2 当第3 个元件发生故障时 可视为两个串联系 统并联而成 图3 由此可见 A 3 与石构成一个完备 圈2两个并联系统相串联 圈3两个串联系统相并联 事件组 易计算得这两个系统的可靠性分别为 P AIA 3 矿 2 一夕 2 P AI 瓦 夕2 2 一夕2 于是可由全概率公式得 P A P A 3 P AIA P A 3 P AIA 3 2 p 2 2 p 3 5 十2 户5 万方数据 重积分和线面积分中的一个典型题目 段耀勇1 周畅2 1 十目 民蕾I 裴 H t 月n 0 6 s 啪l2 i 邮t 麂 月 盹目 女7 1 0 1 2 1 H 授课班槛 镕 自 一m i 日 题目 m 日 分析m 镕 目 f 目 g g 对i 自分 日 透自 t 女 E 自目 H 重8 目 女e0 1 7 Z2 女m 蝽 日 A 2 童 1 0 0 8 1 3 9 9 2 0 1 1 0 2 0 0 S 5 0 2 问韪 其中z 为由y z 2 十z 与 一1 y 一2 所围成的表 面的外侧 图1 解涪1 直接法 设 z 为立体上表面的上侧 z 为立体下表面的下蜘 为立体侧面的外侧 则 一F 篇一 4 寿 坦南一 经过投影 代人和定号 得 日 2 0 1 O l0 4 日 2 0 l O 一0 7 一z o t 自 1 9 s g 一 月 m m H t M B t 日 E m a i l d u n y n E 1 2 e n 月 19 7 9 女 H 匕 4 目 日 H m AE m a i l l 唧h 曲 1 2 6 n 女i m 1 目 M 2 匕京 芈日 2 0 0 4 3 4 叼 目传 f 垒 率公E 一 d t 8 8 f J j 自 腕 m 2 0 0 5 2 s 4 2 3 胡P I 隽 镕 率t i m M F 科 自 目1 自 一 7 雨e n 一一 胖 4 南一4 筹扣 根据投影区域的特点 改用极坐标计算 得 m 牡 19 9 目3 3 4 3 5 7 4 严 安目度论讲Z M 2 mn 自 科 m m 2 0 0 6 9 3 1 0 7 妇 方健垒 宰 目十 其 月 目目 报 2 0 0 8 2 3 0 3 3 A n a l y s i sa n dA p p l i c a t i o no ft h eL a wo