高中数学第一章立体几何初步6.1垂直关系的判定第二课时平面与平面垂直的判定学案北师大版.docx

第二课时平面与平面垂直的判定学习目标1.理解二面角的有关概念2.会求简单的二面角的大小3.掌握两平面垂直的判定定理.【主干自填】1二面角及其平面角(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面(3)二面角的记法如图，记作：二面角AB.(4)二面角的平面角以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角如图二面角l，若有Ol；OA，OB；OAl，OBl，则AOB就叫作二面角l的平面角2两个平面互相垂直(1)两个平面互相垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)两个平面互相垂直的判定定理【即时小测】1思考下列问题(1)如何用字母来记作二面角？提示：如图，棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角AB.有时为了方便，也可在，内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角PABQ.如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角l或PlQ.(2)判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有其他的判定定理吗？提示：面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直这个定理简称“线面垂直，则面面垂直”2下列说法：两个相交平面组成的图形叫作二面角；异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系其中正确的是()A B C D提示：B3设l是直线，是两个不同的平面()A若l，l，则 B若l，l，则C若，l，则l D若，l，则l提示：B对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在内也可能平行于；对于选项D，直线l可能在内或平行于或与相交4如图，已知：PA垂直于圆O所在平面AB是圆O的直径，C是圆周上一点则图中垂直的平面共有_对提示：3平面PBC平面PAC；平面PAC平面ABC；平面PAB平面ABC.例1如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，PD平面ABCD，点E在侧棱PB上求证：平面AEC平面PBD.证明PD平面ABCD，AC平面ABCD，PDAC.又ABCD为正方形，ACBD，PDBDD，AC平面PBD.又AC平面AEC，平面AEC平面PBD.类题通法证明平面与平面垂直常用的两种方法(1)证明一个平面过另一个平面的一条垂线(2)证明二面角的平面角是直角在四面体ABCD中，BDa，ABADCBCDACa，如图求证：平面ABD平面BCD.证明ABD是等腰三角形，取BD的中点E，连接AE，CE，则AEBD.在ABD中，ABa，BEBDa，AEa.同理CEa.在AEC中，AECEa.ACa，AC2AE2CE2，AECE.又BDCEE，AE平面BCD.又AE平面ABD，平面ABD平面BCD.例2如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AA1中点，求平面B1DE和底面ABCD所成二面角的正切值解延长B1E和BA交于点F，连接DF，则DF是所求二面角的棱，E是AA1的中点，故B1EEF，从而AFABCD，四边形FACD为平行四边形，DFCA.CABD，DFDB.B1B平面ABCD，BB1DF，DF平面BB1D，故B1DDF.B1DB是所求二面角的平面角在RtB1BD中，tanB1DB.故平面B1DE与底面ABCD所成二面角的正切值为.类题通法求二面角大小的步骤(1)找出这个平面角(2)证明这个角是二面角的平面角(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小如图所示，在ABC中，ABBC，SA平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于D，E，SAAB，SBBC，求二面角EBDC的大小解SA平面ABC，SAAC，SABC，SAAB，SABD.由已知SCED，SEEC，SBBC.SCBE，DEBEE，SC平面BED，SCBD.又BDSA，SCSAS，BD平面SAC.AC平面SAC，BDAC.同理BDDE，即EDC是二面角EDBC的平面角设SA1，则SAAB1，而ABBC，SBBC，SC2，在RtSAC中，DCS30，EDC60.二面角EBDC为60.例3如图，PAO所在的平面，AB是O的直径，C是O上一点，AEPB于E，AFPC于F.求证：(1)平面AEF平面PBC；(2)PBEF.证明(1)AB是O的直径，C在圆上，ACBC.又PA平面ABC，PABC.又ACPAA，BC平面PAC.又AF平面PAC，BCAF.又AFPC，PCBCC，AF平面PBC.又AF平面AEF，平面AEF平面PBC.(2)由(1)知AF平面PBC，AFPB.又AEPB，AEAFA，PB平面AEF.又EF平面AEF，PBEF.类题通法解决线线、线面、面面垂直关系要注意三种垂直关系的转化关系，即线线垂直线面垂直面面垂直.如图，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点，求证：(1)DEDA；(2)平面BDM平面ECA；(3)平面DEA平面ECA.证明(1)如图，取EC的中点F，连接DF.因为EC平面ABC，BC平面ABC，所以ECBC.又BDCE，所以BD平面ABC，所以BDBC，BDBA.因为CECA2BD，所以四边形DBCF是矩形，所以DFCE.因为DFBCAB，EFBD，EFDDBA90，所以DEFADB，所以DEDA.(2)取AC的中点N，连接MN、BN，则MN綊EC，而DB綊EC，所以MN綊DB，所以点N在平面BDM内因为EC平面ABC，BN平面ABC，所以ECBN.因为ABC是正三角形，点N为AC的中点，所以BNAC.又ACECC，所以BN平面ACE.因为BN平面BDM，所以平面BDM平面ECA.(3)因为DMBN，BN平面ACE，所以DM平面ACE.又DM平面ADE，所以平面DEA平面ECA.易错点判断面面位置关系时依据图形直观得出典例如图所示，已知ABCDA1B1C1D1为长方体，且底面ABCD为正方形，试问截面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗？错解设AC与BD的交点为O，连接B1O，则B1O是截面ACB1与对角面BB1D1D的交线因为B1O是底面的斜线，所以截面ACB1与底面不垂直，从而截面ACB1不可能与对角面BB1D1D垂直错因分析错解中由B1O与底面不垂直，就断定截面ACB1不可能与对角面BB1D1D垂直，这是没有根据的正解因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD.因为BB1底面ABCD，所以ACBB1.又BDBB1B，故AC对角面BB1D1D.又AC截面ACB1，所以截面ACB1对角面BB1D1D.课堂小结1.证明两个平面垂直的主要途径：(1)利用面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.2.证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的.3.下面的结论，有助于判断面面垂直：(1)mn，m，n；(2)m，n，mn；(3)，.1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角D1ABC的大小是()A30 B45 C60 D90答案B解析易知ABAD，ABAD1，所以D1AD就是二面角D1ABC的平面角，显然D1AD45，所以二面角D1ABC的大小是45.2在空间四边形ABCD中，ADBC，BDAD，则必有()A平面ABD平面ADCB平面ABD平面ABCC平面BCD平面ADCD平面ABC平面BCD答案C解析因为ADBC，BDAD，BDBCB，所以AD平面BCD.又AD平面ADC，